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1、LOGO北京戏曲艺术职业学院北京戏曲艺术职业学院乐乐 娟娟第十八章 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a a，b b，斜边为，斜边为c c，那么，那么 ；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的证明证明方法证明方法1 1：数方格：数方格（1 1 1 1）观察图）观察图）观察图）观察图1-11-11-11-1 正方形正方形正方形正方形A A A A中含有中含有中含有中含有 个个个个小方格，即小方格，即小方格，即小方格，即A A A A的面积是的面积是的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。个单位面积。个单
2、位面积。正方形正方形正方形正方形B B B B的的的的面积是面积是面积是面积是 个单位面积。个单位面积。个单位面积。个单位面积。正方形正方形正方形正方形C C C C的面积是的面积是的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。个单位面积。个单位面积。1616925 你是怎样得到正方形你是怎样得到正方形c 的面积的面积。ABC图图1-1（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）（2 2 2 2）在）在）在）在图图图图1-21-21-21-2中，正方中，正方中，正方中，正方形形形形A A A A，B B B
3、 B，C C C C中各含有多少个小中各含有多少个小中各含有多少个小中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少方格？它们的面积各是多少方格？它们的面积各是多少方格？它们的面积各是多少？（3 3 3 3）你）你）你）你能能能能发现图发现图发现图发现图1-11-11-11-1中中中中三个正方形三个正方形三个正方形三个正方形A A A A，B B B B，C C C C的面积的面积的面积的面积之间有什么关系吗？之间有什么关系吗？之间有什么关系吗？之间有什么关系吗？图图图图1-21-21-21-2中呢？中呢？中呢？中呢？SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜即：两条直角边上的正方形面积
4、之和等于斜边上的正方形的面积边上的正方形的面积ABC图图1-1ABC图图1-2 （3 3 3 3）分别以）分别以）分别以）分别以5 5 5 5厘米、厘米、厘米、厘米、12121212厘米为直角边作出一个直角三角形，厘米为直角边作出一个直角三角形，厘米为直角边作出一个直角三角形，厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度并测量斜边的长度并测量斜边的长度并测量斜边的长度,（2 2 2 2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？）中的规律对这个三角形仍然成立吗？）中的规律对这个三角形仍然成立吗？）中的规律对这个三角形仍然成立吗？（1 1 1 1）你能用三角形的）你能用三角形的）你能用三角形的）你能用
5、三角形的边长表示正方形的面积吗？边长表示正方形的面积吗？边长表示正方形的面积吗？边长表示正方形的面积吗？（2 2 2 2）你能发现直角三）你能发现直角三）你能发现直角三）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么角形三边长度之间存在什么角形三边长度之间存在什么角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。关系吗？与同伴进行交流。关系吗？与同伴进行交流。关系吗？与同伴进行交流。直角三角形两直角边的直角三角形两直角边的直角三角形两直角边的直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方平方和等于斜边的平方平方和等于斜边的平方平方和等于斜边的平方ABC图图1-1ABC图图1-2勾股定理的证明证明方法证明方法2
6、 2：拼三角形：拼三角形同学们动手一起拼同学们动手一起拼利用拼图来验证勾股定理：利用拼图来验证勾股定理：cab 1 1、准备四个全等的直角三角形（设直角三、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为角形的两条直角边分别为a a，b b，斜边为斜边为c c）；2 2、你能用这四个直角三角形拼成一个以斜你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边边c c正方形吗？拼一拼试试看正方形吗？拼一拼试试看?3.你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？cabcabcabcabcab c2=4ab/2+(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2a2+b2=c2大大正方形的面积可以表示为正方
7、形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为c24ab/2-(b-a)2cabcabcabcab(a+b)2=c2+4ab/2a2+2ab+b2=c2+2aba2+b2=c2大大正方形的面积可以表示为正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为(a+b)2c2+4ab/2勾股定理的证明证明方法证明方法3 3：赵爽弦图，动手拼图：赵爽弦图，动手拼图cabcab勾股定理的证明证明方法证明方法4 4：美国总统加菲尔德的证明方法：美国总统加菲尔德的证明方法在直角三角形中，已知两边可以求第三边在直角三角形中，已知两边可以求第三边在直角三角形中，已知两边可以求第三边在直角三角形中，已知两边可以求第
8、三边例例1 1 如图，在如图，在RtABCRtABC中中,BC=24,AC=7,BC=24,AC=7,求求ABAB的长。的长。在在RtABC中中,根据勾股定理根据勾股定理解：解：B24AC7如果将题目变为：如果将题目变为：在在RtABCRtABC中中,AB=25,BC=24,AB=25,BC=24,求求ACAC的长呢？的长呢？2524 例例2 2 已知等边三角形已知等边三角形ABCABC的边长是的边长是6 6cmcm，(1)(1)求高求高ADAD的长；的长；(2)(2)S SABCABCABCD解：解：(1)(1)ABC是等边三角形，是等边三角形，AD是高是高在在RtABD中中,根据勾股定理根
9、据勾股定理 例例3 3 如图，如图，ACB=ABD=90ACB=ABD=90，CA=CBCA=CB，DAB=30DAB=30，AD=8AD=8，求，求ACAC的长。的长。解：解：ABD=90，DAB=30BD=AD=4在在RtABD中中,根据勾股定理根据勾股定理在在RtABC中，中，又又AD=8ABCD308练练习习1.1.在在ABCABC中，中，C=90C=90.(1)(1)若若a=6a=6，c=10c=10，则，则b=b=;(2)(2)若若a=12a=12，b=9b=9，则，则c=c=;3.3.如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，CDCD为斜边为斜边ABAB上的高，你可以
10、得上的高，你可以得出哪些与边有关的结论？出哪些与边有关的结论？CABDmnh(3)(3)若若c=25c=25，b=15b=15，则，则a=a=;202.2.等边三角形边长为等边三角形边长为1010，求它的高及面积。，求它的高及面积。ba 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，D D点在点在CBCB延长线上，延长线上，求证：求证：ADAD2 2-AB-AB2 2=BD=BDCDCDABCD证明：证明：过过A作作AEBC于于EEAB=AC，BE=CE在在Rt ADE中，中，AD2=AE2+DE2在在Rt ABE中，中，AB2=AE2+BE2 AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)=DE2-BE2=(DE+BE)(DE-BE)=(DE+CE)(DE-BE)=BDCDLOGO