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1、本章结构方法性工具 ARMA模型的性质 平稳序列建模序列预测 练习与补充第1页/共185页3.1 3.1 方法性工具 差分运算延迟算子线性差分方程第2页/共185页差分运算 一阶差分一阶差分 p p阶差分阶差分 k k步差分步差分第3页/共185页延迟算子延迟算子的定义延迟算子的性质用延迟算子表示差分运算 第4页/共185页延迟算子的定义 延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻一个时刻 记记B B为延迟算子，有为延迟算子，有 第5页/共185
2、页延迟算子的性质 第6页/共185页用延迟算子表示差分运算用延迟算子表示差分运算p阶差分阶差分 k k步差分步差分第7页/共185页线性差分方程 线性差分方程线性差分方程 齐次线性差分方程齐次线性差分方程第8页/共185页齐次线性差分方程的解特征方程特征方程的根称为特征根，记作 1 1,2 2,p齐次线性差分方程的通解不相等实数根场合有相等实根场合复根场合第9页/共185页非齐次线性差分方程的解非齐次线性差分方程的解 非齐次线性差分方程的特解使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解zt非齐次线性差分方程的通解齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和zt第10页/共185页3.2 3.
3、2 ARMA模型的性质 AR模型（Auto Regression Model）MA模型（Moving Average Model）ARMA模型（Auto Regression Moving Average model）第11页/共185页3.2.1 AR模型AR模型的定义AR模型平稳性判别平稳AR模型的统计性质第12页/共185页AR模型的定义AR(p)的定义AR(p)的中心化变换自回归系数多项式AR(p)的特征方程特征方程与系数多项式第13页/共185页AR(p)的定义具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p)特别当 0=0时，称为中心化AR(p)模型第14页/共185页 ARA
4、R(p p)序列中心化变换序列中心化变换称yt为xt的中心化序列，令第15页/共185页自回归系数多项式引进延迟算子，中心化AR(p)模型又可以简记为 自回归系数多项式第16页/共185页特征方程中心化AR(p)模型 可以看成p阶常系数非齐次线性差分方程它对应的齐次方程的特征方程为也称为AR(p)模型的特征方程第17页/共185页特征方程与系数多项式特征方程 的根与系数多项式 的零点根互为倒数第18页/共185页AR模型平稳性判别 判别原因判别方法第19页/共185页判别原因 AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的例如第20页/共185页例3.1:考察如下四个模
5、型的平稳性第21页/共185页例3.13.1平稳序列时序图第22页/共185页例例3.13.13.13.1非平稳序列时序图非平稳序列时序图第23页/共185页判别方法特征根判别平稳域判别AR(1)模型平稳条件AR(2)模型平稳条件第24页/共185页特征根判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质，等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在单位圆外第25页/共185页平稳域判别平稳域第26页/共185页ARAR(1)(1)模型平稳条件模型平稳条件AR(1)模型特征方程特征根平稳域第27页/共185页ARAR(2)(2)模型平稳条
6、件模型平稳条件AR(2)模型特征方程特征根平稳域第28页/共185页例3.13.1平稳性判别模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳第29页/共185页平稳平稳ARAR模型的统计性质模型的统计性质均值方差协方差自相关系数偏自相关系数第30页/共185页均值 如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有根据平稳序列均值为常数，且 t 为白噪声序列，有推导出第31页/共185页方差Green函数方差AR(1)模型的Green函数和方差第32页/共185页Green函数定义AR模型的传递形式其中系数Gj,j=1,2,称为Green函数第33页/共185页Green函数递推公
7、式原理方法待定系数法递推公式第34页/共185页方差平稳AR模型的传递形式两边求方差得第35页/共185页例3.2 求平稳AR(1)模型的方差平稳AR(1)模型的传递形式为Green函数为平稳AR(1)模型的方差第36页/共185页协方差函数在平稳AR(p)模型两边同乘xt-k，再求期望根据得协方差函数的递推公式例题第37页/共185页例3.3 3.3 求平稳AR(1)模型的协方差递推公式平稳AR(1)模型的方差为协方差函数的递推公式为第38页/共185页例3.4 3.4 求平稳AR(2)模型的协方差平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为第39页/共185页自相关系数自相关系数的定义平稳AR
8、(p)模型的自相关系数递推公式第40页/共185页常用AR模型自相关系数递推公式AR(1)模型AR(2)模型第41页/共185页ARAR模型自相关系数的性质模型自相关系数的性质拖尾性呈复指数衰减例题第42页/共185页例3.5 考察如下AR模型的自相关图第43页/共185页例例3.53.53.53.5自相关系数按复指数单调收敛到零第44页/共185页例例3.53.53.53.5第45页/共185页例例3.53.53.53.5自相关系数呈现出“伪周期”性第46页/共185页例例3.53.53.53.5自相关系数不规则衰减第47页/共185页偏自相关系数定义 对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自
9、相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量xt-1,xt-2,xt-k+1的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，xt-k对xt影响的相关度量。用数学语言描述就是第48页/共185页偏自相关系数的计算滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。第49页/共185页偏自相关系数的偏自相关系数的截尾性截尾性AR(p)模型偏自相关系数p阶截尾第50页/共185页例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图第51页/共185页例例3.53.5理论偏自相关系数样本偏自相关图第52页/共185页例例3.53.5理论偏自相关系数样本偏自相关图第53页/共185页例例3.53.
10、5理论偏自相关系数样本偏自相关图第54页/共185页例3.5理论偏自相关系数样本偏自相关系数图第55页/共185页3.2.2 MA模型MA模型的定义MA模型的统计性质MA模型的可逆性第56页/共185页MA模型的定义具有如下结构的模型称为q阶自回归模型，简记为MA(q)特别当 =0时，称为中心化MA(q)模型第57页/共185页移动平均系数多项式引进延迟算子，中心化MA(q)模型又可以简记为 q阶移动平均系数多项式第58页/共185页MA模型的统计性质常数均值常数方差自协方差函数自相关系数偏自相关系数第59页/共185页常数均值均值为特别地，中心化MA(q)的均值为零第60页/共185页MA模
11、型的方差方差第61页/共185页自协方差函数自协方差函数q阶截尾第62页/共185页自相关系数自相关系数q阶截尾第63页/共185页常用常用MAMA模型的自相关系数模型的自相关系数MA(1)模型MA(2)模型第64页/共185页偏自相关系数滞后k偏自相关系数由Yule-Walker方程确定可以证明:偏自相关系数是拖尾的第65页/共185页例3.6 考察如下MA模型的相关性质第66页/共185页MAMA模型的自相关系数截尾模型的自相关系数截尾 第67页/共185页MAMA模型的自相关系数截尾模型的自相关系数截尾 第68页/共185页MAMA模型的偏自相关系数拖尾模型的偏自相关系数拖尾 第69页/
12、共185页MAMA模型的偏自相关系数拖尾模型的偏自相关系数拖尾 第70页/共185页MAMA模型的可逆性模型的可逆性MA模型自相关系数的不唯一性例3.6中不同的MA模型具有完全相同的自相关系数和偏自相关系数第71页/共185页可逆的定义可逆MA模型定义若一个MA模型能够表示成为收敛的AR模型形式，那么该MA模型称为可逆MA模型可逆概念的重要性一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。第72页/共185页可逆MA(1)模型 第73页/共185页MA模型的可逆条件MA(q)模型的可逆条件是：MA(q)模型的特征根都在单位圆内等价条件是移动平滑系数多项式的根都在单位圆外第74页/共185页逆函数的递
13、推公式原理方法待定系数法递推公式第75页/共185页例3.6续 考察如下MA模型的可逆性第76页/共185页(1)(2)逆函数逆转形式第77页/共185页(3)(4)逆函数逆转形式第78页/共185页3.2.3 ARMA模型ARMA模型的定义平稳条件与可逆条件传递形式与逆转形式ARMA模型的统计性质第79页/共185页ARMA模型的定义具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为ARMA(p,q)特别当 0=0时，称为中心化ARMA(p,q)模型第80页/共185页系数多项式引进延迟算子，中心化ARMA(p,q)模型又可以简记为 p阶自回归系数多项式q阶移动平均系数多项式第81页/共185
14、页平稳条件与可逆条件ARMA(p,q)模型的平稳条件p阶自回归系数多项式(B)=0的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定ARMA(p,q)模型的可逆条件q阶移动平均系数多项式(B)=0的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定第82页/共185页传递形式与逆转形式传递形式逆转形式第83页/共185页ARMAARMA(p p,q q)模型的统计性质模型的统计性质均值协方差自相关系数第84页/共185页ARMA模型的相关性自相关系数拖尾偏自相关系数拖尾第85页/共185页例3.7 考察ARMA模型的相关性拟合模型ARMA
15、(1,1):并直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质。第86页/共185页自相关系数和偏自相关系数拖尾性样本自相关图样本偏自相关图第87页/共185页ARMAARMA模型相关性特征模型相关性特征模型模型自相关系数自相关系数偏自相关系数偏自相关系数AR(p)拖尾拖尾p阶截尾阶截尾MA(q)q阶截尾阶截尾拖尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾拖尾拖尾第88页/共185页3.3平稳序列建模 建模步骤模型识别参数估计模型检验模型优化第89页/共185页建模步骤平稳非白噪声序列计算样本相关系数模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测YN第90页/共185页计算样本相关系数样本自相关系数样本偏自相关系
16、数第91页/共185页模型识别基本原则选择模型选择模型拖尾拖尾p阶截尾阶截尾AR(p)q阶截尾阶截尾拖尾拖尾MA(q)拖尾拖尾拖尾拖尾ARMA(p,q)第92页/共185页模型定阶的困难因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的 或 仍会呈现出小值振荡的情况由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数 ，与 都会衰减至零值附近作小值波动？当 或 在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？第93页/共185页样本相关系数的近似分布样本相关系数的近似分布Barl
17、ettQuenouille第94页/共185页模型定阶经验方法95的置信区间模型定阶的经验方法如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎95的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为d。第95页/共185页例2.5续选择合适的模型ARMA拟合1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列。第96页/共185页序列自相关图第97页/共185页序列偏自相关图第98页/共185页拟合模型识别自相关图显示延迟3阶之后，自相关系数全部衰减到2倍标准差范围内波动，这表明序列明显地
18、短期相关。但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程相当连续，相当缓慢，该自相关系数可视为不截尾 偏自相关图显示除了延迟1阶的偏自相关系数显著大于2倍标准差之外，其它的偏自相关系数都在2倍标准差范围内作小值随机波动，而且由非零相关系数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该偏自相关系数可视为一阶截尾 所以可以考虑拟合模型为AR(1)第99页/共185页例3.8美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORT序列 第100页/共185页序列自相关图第101页/共185页序列偏自相关图第102页/共185页拟合模型识别自相关图显示除了延迟1阶的自相关系数在2倍标准差范围之外，其它阶数的自相关
19、系数都在2倍标准差范围内波动。根据这个特点可以判断该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。同时，可以认为该序列自相关系数1阶截尾偏自相关系数显示出典型非截尾的性质。综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，为拟合模型定阶为MA(1)第103页/共185页例3.91880-19851880-1985全球气表平均温度改变值差分序列 第104页/共185页序列自相关图第105页/共185页序列偏自相关图第106页/共185页拟合模型识别自相关系数显示出不截尾的性质偏自相关系数也显示出不截尾的性质综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，可以尝试使用ARMA(1,1)模型拟合该序列第107页/共18
20、5页参数估计待估参数 p+q+2个未知参数常用估计方法矩估计极大似然估计最小二乘估计第108页/共185页矩估计原理样本自相关系数估计总体自相关系数样本一阶均值估计总体均值，样本方差估计总体方差第109页/共185页例3.10 求AR(2)模型系数的矩估计AR(2)模型Yule-Walker方程矩估计（Yule-Walker方程的解）第110页/共185页例3.11 求MA(1)模型系数的矩估计MA(1)模型方程矩估计第111页/共185页例3.12 求ARMA(1,1)模型系数的矩估计ARMA(1,1)模型方程矩估计第112页/共185页对矩估计的评价优点估计思想简单直观不需要假设总体分布计
21、算量小（低阶模型场合）缺点信息浪费严重只用到了p+q个样本自相关系数信息，其他信息都被忽略估计精度差通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘估计迭代计算的初始值 第113页/共185页极大似然估计原理在极大似然准则下，认为样本来自使该样本出现概率最大的总体。因此未知参数的极大似然估计就是使得似然函数（即联合密度函数）达到最大的参数值 第114页/共185页似然方程由于 和 都不是 的显式表达式。因而似然方程组实际上是由p+q+1个超越方程构成，通常需要经过复杂的迭代算法才能求出未知参数的极大似然估计值 第115页/共185页对极大似然估计的评价优点极大似然估计充分应用了每一个观察值所提供的信
22、息，因而它的估计精度高同时还具有估计的一致性、渐近正态性和渐近有效性等许多优良的统计性质缺点需要假定总体分布第116页/共185页最小二乘估计原理使残差平方和达到最小的那组参数值即为最小二乘估计值 第117页/共185页条件最小二乘估计实际中最常用的参数估计方法假设条件残差平方和方程解法迭代法第118页/共185页对最小二乘估计的评价优点最小二乘估计充分应用了每一个观察值所提供的信息，因而它的估计精度高条件最小二乘估计方法使用率最高缺点需要假定总体分布第119页/共185页例2.5续确定1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的口径 拟合模型：AR(1)估计方法：极大似然估计
23、模型口径第120页/共185页例3.8续确定美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORTS序列拟合模型的口径 拟合模型：MA(1)估计方法：条件最小二乘估计模型口径第121页/共185页例3.9续确定1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列拟合模型的口径 拟合模型：ARMA(1,1)估计方法：条件最小二乘估计模型口径第122页/共185页模型检验模型的显著性检验整个模型对信息的提取是否充分参数的显著性检验模型结构是否最简第123页/共185页模型的显著性检验目的检验模型的有效性（对信息的提取是否充分）检验对象残差序列判定原则一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样
24、本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列 反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效第124页/共185页假设条件原假设：残差序列为白噪声序列备择假设：残差序列为非白噪声序列第125页/共185页检验统计量LB统计量第126页/共185页例2.5续检验1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的显著性 残差白噪声序列检验结果延迟阶数延迟阶数LB统计量统计量P值值检验结论检验结论65.830.3229拟合模型拟合模型显著有效显著有效1210.280.50501811.380.8361第127页/共185页参数显著性检验目
25、的检验每一个未知参数是否显著非零。删除不显著参数使模型结构最精简 假设条件检验统计量第128页/共185页例2.5续检验1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列极大似然估计模型的参数是否显著参数检验结果检验参数检验参数t统计量统计量P值值结论结论均值均值46.120.0001显著显著6.720.0001显著显著第129页/共185页模型优化问题提出当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。优化的目的选择相对最优模型 第130页/共185页例例3.13 3.13 3.13 3.13 拟合某一化学序列拟合某一化学序列
26、第131页/共185页序列自相关图第132页/共185页序列偏自相关图第133页/共185页拟合模型一根据自相关系数2 2阶截尾，拟合MA(2)模型参数估计模型检验模型显著有效 三参数均显著 第134页/共185页拟合模型二根据偏自相关系数1阶截尾，拟合MA(1)模型参数估计模型检验模型显著有效 两参数均显著 第135页/共185页问题同一个序列可以构造两个拟合模型，两个模型都显著有效，那么到底该选择哪个模型用于统计推断呢？解决办法确定适当的比较准则，构造适当的统计量，确定相对最优第136页/共185页AIC准则最小信息量准则（An Information Criterion）指导思想似然函数
27、值越大越好 未知参数的个数越少越好 AIC统计量第137页/共185页SBC准则AIC准则的缺陷在样本容量趋于无穷大时，由AIC准则选择的模型不收敛于真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数个数要多 SBC统计量第138页/共185页例3.13续用AIC准则和SBC准则评判例3.13中两个拟合模型的相对优劣 结果AR(1)优于MA(2)模型模型AICSBCMA(2)536.4556543.2011AR(1)535.7896540.2866第139页/共185页3.4序列预测线性预测函数序列xt的第 l 步预测值第140页/共185页预测方差最小原则预测方差最小原则预测误差 et(l)预测方差最
28、小原则由此，用传递形式，得到第141页/共185页序列分解预测误差预测值第142页/共185页误差分析估计误差期望方差第143页/共185页AR(p)序列的预测预测值预测方差9595置信区间第144页/共185页例3.143.14已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型（单位：万元/每月）今年第一季度该超市月销售额分别为：101101，9696，97.297.2万元请确定该超市第二季度每月销售额的95的置信区间 第145页/共185页例例3.143.14解：预测值计算解：预测值计算四月份五月份六月份第146页/共185页例例3.143.14解：预测方差的计算解：预测方差的计算Green函数方差
29、第147页/共185页例例3.143.14解：置信区间解：置信区间公式估计结果预测时期预测时期95置信区间置信区间四月份四月份（85.36，108.88）五月份五月份（83.72，111.15）六月份六月份（81.84，113.35）第148页/共185页例2.5:北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合与预测图 第149页/共185页MA(q)序列的预测预测值预测方差第150页/共185页例3.15已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模型（单位：万）：最近3年的常驻人口数量及一步预测数量如下：预测未来5年该地区常住人口的95置信区间年份年份统计人数统计人数预测人数预测人数200210411
30、020031081002004105109第151页/共185页例3.15解 随机扰动项的计算第152页/共185页例3.15解 估计值的计算第153页/共185页例3.15解 预测方差的计算第154页/共185页例3.15解 置信区间的计算预测年份预测年份95置信区间置信区间2005（99，119）2006（83，109）2007（87，115）2008（86，114）2009（86，114）第155页/共185页ARMA(p,q)序列预测预测值预测方差第156页/共185页例3.16已知模型为：且 预测未来3期序列值的95的置信区间。第157页/共185页例3.16解：估计值的计算第158
31、页/共185页例3.16解：预测方差的计算Green函数方差第159页/共185页例3.16解：置信区间的计算时期时期95置信区间置信区间101（0.136，0.332）102（0.087，0.287）103（0.049，0.251）第160页/共185页修正预测定义所谓的修正预测就是研究如何利用新的信息去获得精度更高的预测值 方法在新的信息量比较大时把新信息加入到旧的信息中，重新拟合模型 在新的信息量很小时不重新拟合模型，只是将新的信息加入以修正预测值，提高预测精度第161页/共185页修正预测原理在旧信息的基础上，xt+l的预测值为假设新获得一个观察值xt+1，则 xt+l的修正预测值为修
32、正预测误差为预测方差为第162页/共185页一般情况假设新获得p个观察值xt+1,xt+p,则 xt+l的修正预测值为修正预测误差为预测方差为第163页/共185页例3.14续:假如四月份的真实销售额为100万元，求二季度后两个月销售额的修正预测值 计算四月份的预测误差计算修正预测值计算修正方差第164页/共185页修正置信区间预测时期预测时期修正前置信区间修正前置信区间修正后置信区间修正后置信区间四月份四月份（85.36，108.88）五月份五月份（83.72，111.15）（87.40，110.92）六月份六月份（81.84，113.35）（85.79，113.21）第165页/共185页
33、练习与补充练习与补充1.已知AR(1)模型为：求Ext,Var(xt),2 2,22,补充:求Green函数.第166页/共185页练习与补充练习与补充2.已知AR(2)模型为：且 1 1=0.5,=0.5,2 2=0.3,0.3,求 1,2的值.补充:求 11,22.第167页/共185页练习与补充练习与补充3.已知AR(2)模型为：求Ext,Var(xt),k,kk,k=1,2,3补充:求Green函数.第168页/共185页练习与补充练习与补充 4.已知AR(2)模型为：确定c的取值范围,以保证xt为平稳序列,并求 k.补充:求Green函数.第169页/共185页练习与补充练习与补充5
34、.证明对任意常数c,如下定义的AR(3)序列：一定是非平稳序列第170页/共185页练习与补充练习与补充6.对于AR(1)模型:判断如下命题是否正确：(1)(2)(3)(4)(5)第171页/共185页练习与补充练习与补充 7.已知某中心化MA(1)模型1阶自相关系数 1=0.5,求该模型的表达式.第172页/共185页练习与补充练习与补充 8.确定常数C的值,以保证如下表达式为MA(2)模型：第173页/共185页练习与补充练习与补充9.已知MA(2)模型为：求Ext,Var(xt),k(k1).补充:求Green函数.第174页/共185页练习与补充练习与补充10.证明:(1)对任意常数C
35、,如下定义的无穷阶MA序列一定是非平稳序列：(2)xt的1阶差分序列一定是平稳的,并求yt的自相关系数表达式:yt=xt-xt-1第175页/共185页练习与补充练习与补充11.检验下列模型的平稳性与可逆性：(1)(2)(3)(4)(5)(6)第176页/共185页练习与补充练习与补充 12.已知ARMA(1,1)模型为：确定该模型的Green函数,使该模型可以等价表示为无穷阶MA 模型形式.第177页/共185页练习与补充练习与补充 13.某ARMA(2,2)模型为:求Ext,其中:第178页/共185页练习与补充练习与补充14.证明ARMA(1,1)序列的自相关系数为:第179页/共185
36、页练习与补充练习与补充15.对于平稳时间序列,如下等式哪些一定成立?(1)(2)(3)(4)第180页/共185页练习与补充练习与补充 16.对于AR(1)模型为：根据t个历史观察数据,10.1,9.6已求出 求:(1)xt+3的95%的置信区间;(2)假定新获得数据xt+1=10.5,用更新数据求的95%的置信区间.第181页/共185页练习与补充练习与补充17.对模型：表示出超前期l=1和l=2的预测.(1)用差分方程形式;(2)用Green函数形式;(3)用逆转形式.第182页/共185页练习与补充练习与补充 18.对于ARMA(2,1)模型：给定xt-5=34,xt-4=36,xt-3=xt-2=1,xt-1=-16,xt=-35,并假定 t-4=0.(1)计算 及95%的区间;(2)给定xt+1=-37,修正第183页/共185页练习与补充练习与补充 19.现有一个N=100的观测值序列适合AR(2)模型:又知x100=0.8,x99=1.8,的95%的置信区间为(-1.5,0.5)(1)求 (2)如果x101=0,修正上面的预测.第184页/共185页感谢您的观看！第185页/共185页