平稳时间序列分析.docx

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1、编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第31页 共31页第3章 平稳时间序列分析本章教学内容与要求：了解时间序列分析的方法性工具；理解并掌握ARMA模型的性质；掌握时间序列建模的方法步骤及预测；能够利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。本章教学重点与难点：利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。计划课时：21（讲授16课时，上机3课时、习题3课时）教学方法与手段：课堂讲授与上机操作3.1 方法性工具一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。在统计上，我么通常是建立一个线性模型来拟合该序

2、列的发展，借此提取该序列中的有用信息。ARMA(auto regression moving average)模型是目前最常用的一个平稳序列拟合模型。时间序列分析中一些常用的方法性工具可以使我们的模型表达和序列分析更加简洁、方便。一、差分运算（一）p阶差分相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算。记为的1阶差分：对1阶差分后的序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分，记2为的2阶差分：2=-以此类推，对p-1阶差分厚序列再进行一次1阶差分运算称为p阶差分。记p为的p阶差分：p=p-1-p-1（二）k步差分相距k期的两个序列值之间的减法运算称为k步差分运算。记k为的k步差分：k=例：简单

3、的序列：6，9，15，43，8，17，20，38，4，10，1阶差分： ，即1阶差分序列：3，6，28，-35，9，3，18，-34，6，2阶差分：2=-=32=-=222=-=-40即2阶差分序列2：3，22，-63，-54，-6，16，-52，-40，2步差分：2 2 2即2步差分序列：9，34，-7，-26，12，21，-16，-28二、延迟算子（滞后算子）（一）定义延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨去了一个时刻。记B为延迟算子，有（二）性质1.2.3.若c为任一常数，有4.对任意两个序列和，有5.，其中（三）用延迟算子表示差分运算

4、1.p阶差分=例如上例中，因此，15-18+6=343-30+9=222.k步差分k =三、线性差分方程在实践序列的时域分析中，线性差分方程是非常重要的，也是极为有效的工具，事实上，任何一个ARMA模型都是一个现象差分方程。因此，ARMA模型的性质往往取决于差分方程的性质。为了更好地讨论ARMA模型的性质，先简单介绍差分方程的一般性质。常系数微分方程是描述连续时间系统的动态性工具，相应的，描述离散型时间系统的主要工具就是常系数差分方程。（一）线性差分方程的定义定义：称如下形式的方程为序列的线性差分方程： （1）式中，为实数；为t的已知函数。特别地，若，则差分方程 （2） 称为齐次线性差分方程。

5、否则，成为非齐次线性差分方程。（一） 齐次线性差分方程的解设,带入齐次线性差分方程（2）得，方程两边同除以，得特征方程 （3）这是一个一元p次方程，应该至少有p个非零实根，称这p个实根为特征方程（3）的特征根，不防记作.特征根的取值情况不同，齐次线性差分方程的解会有不同的表达形式。1、 为p个不同的实根，（2）的解为 ，为任意常数。2、 中有相同实根。假设为d个相同实根，为不同实根，则（2）的解为，为任意常数。3、中有复根（自己看）（三）非齐次线性差分方程的解线性差分方程（1）的解是齐次线性差分方程（2）的通解+非齐次线性差分方程（1）的一个特解构成。例1、 求解以下线性差分方程设代人得，同除

6、以得，得所以，齐次方程的通解为=例2、求解以下线性差分方程(1) 、求齐次方程的通解设代人得，同除以得，得所以，齐次方程的通解为=(2) 、求非齐次方程的特解（非唯一，求解方式可多种，只要找到一个解满足方程即可）设代入原方程得： 2c=9,c=9/2，即为原方程的一个特解（3）、所以原方程的解四、时间序列模型与线性差分方程（意义）线性差分方程在实际序列分析中有重要的应用，常用的时序模型和某些模型自协方差函数合自相关系数都可以视为线性差分方程，而线性差分方程对应的特征根的性质对判断模型的平稳性有非常重要的意义。3.2 ARMA模型的性质一、AR模型（一）定义：具有如下结构的模型称为p阶自回归模型

7、，简记为AR(P)：1.AR(P)的三个限制条件：（1），保证了模型的最高阶数为p。（2），要求随机干扰序列为零均值白噪声序列。（3），说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。通常情况下，记AR(P)模型为2. 中心化的AR(P)模型如果则以上自回归模型称为中心化的AR(P)模型：，后面的分析都是针对中心化的模型进行的。3.用延迟算子表示AR(P)： 成为p阶自回归系数多项式。自回归模型描述了后一时刻的行为与前面时刻的行为有关。（二）格林函数（Green函数）设为平稳AR(P)模型的特征根，即的特征根。任取带入特征方程：设为特征多项式的根。任取带入方程得：，两边同时除以得:可见，AR(P)模型自

8、回归系数多项式的根是齐次线性差分方程的特征根的倒数。即由为特征多项式的根可知所以， （为常数） 称为格林函数，代入原模型得，可见，格林（Green）函数是前j个时刻以前进入系统的随机扰动对系统现在的行为即序列值影响的权数。根据待定系数法（略）可以推出格林函数的递推公式：其中，例如：对于AR(1)模型，P=1 对于AR(2)模型，P=2练习AR(3)模型格林函数。AR(3)：P=3（二） AR模型平稳性判别要拟合一个平稳序列，用来拟合的模型显然应该是平稳的，AR模型是常用的用来拟合平稳序列的模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的，因此需要判别模型的平稳性。例如，考察如下四个模型的平稳性（1）

9、（2）（3） （4）拟合这四个序列的序列值，并绘制时序图，可初步判断（1）、（3）平稳，（2）、（4）不平稳（见教材图形）。时序图检验比较粗糙，准确的方法有以下两种：特征根判别与自回归系数判别法。1.特征根判别对于一个自回归系统（格林函数表示法）要使平稳，必须是随着，扰动项对的以下逐渐减少，直至趋于0，即系统随着时间的增长回到均衡位置，那么该系统就是稳定的，因此用格林函数表示就是 时，才能使，即特征根都在单位圆内，或者的根都在单位圆外。 这就是说，要判断一个模型是否平稳，需解气特征方程，判断特征根的情况。那么，是否可以直接从模型额形式或自回归系数的大小来判断？2.自回归系数判别法及平稳域的概念

10、（1）对于AR(1)模型：特征方程为=0，由得，时，模型平稳，平稳域为（2）对于AR(2)模型特征方程为，根据AR(2)模型平稳的条件由根与系数的关系得，则 即又即以上（1）、（2）、（3）三个条件的图形为-=01-1-1-1图中阴影部分为AR(2)模型的平稳域，即模型平稳时自回归系数所满足的条件构成的区域。例：分别用用特征根与自回归系数法判别以下四个模型的平稳性。（1） 1.特征根法：1,所以该模型不平稳2.自回归系数法：，所以模型不平稳（3） ， 所以模型平稳（4）1.特征根法：,所以该模型不平稳2.自回归系数法： ， 所以模型不平稳可见于图形检验是一致的。（四）平稳AR模型的统计性质1均

11、值 平稳两边取期望：，得 对于中心化的AR(p)模型，由于，所以均值2.方差 , 取方差对于平稳序列，由于时，收敛，所以存在所以，平稳序列方差有界，等于常数.例：求AR(1)模型的方差由前面可知，AR(1)模型的格林函数为,所以方差 AR(2)模型的方差（略）3.协方差函数在平稳模型两边同时乘以,再取期望得：，因为所以，自协方差函数的递推公式为：例1：求平稳AR(1)模型的自协方差函数递推公式为： ，例2：求平稳AR(2)模型的自协方差函数递推公式为：，当时，（，自协方差函数和自相关系数的对称性） ，所以， ，4.自相关函数拖尾（1）递推公式：由于，在自协方差等式两边同时除以方差函数，就得到自

12、相关系数的递推公式：例1：求平稳AR(1)模型的自相关系数因为：，所以=，例2：求平稳AR(2)模型的自相关系数 ，（2）自相关系数的性质1）拖尾性：始终有非零取值，不会在大于某个常数之后恒等于02）负指数衰减：随着时间的推移，会迅速衰减，衰减速度为（负指数：1，短期相关性），为的特征根，可视为p阶齐次差分方程。例：考察下面四个AR模型的自相关图（1） （2）（3） （4）由以上判断可知以上四个模型均平稳，拟合其自相关图，均呈现出拖尾性和负指数衰减的特征。见教材54页。5.偏自相关函数截尾（1）含义：对于平稳的AR(p)模型，滞后k自相关系数实际上并不是与之间单纯的相关关系，因为同时还受到中间

13、k-1个随机变量的影响，而这k-1个随机变量又都和具有相关关系，所以，自相关系数实际掺杂了其他变量对与关系的影响，偏自相关系数则是单纯测度对的影响。具体说，对于平稳序列，滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，对的影响的相关度量。可见，偏自相关系数的定义与回归分析中偏回归系数的定义非常相似，因此可以从线性回归的角度，得到偏自相关系数的另一层含义。（2）计算假定为中心化平稳序列，用过去的k期序列值对作k阶自回归拟合，即：由以上分析可知，即为排除中间k-1个变量的干扰之后，对的影响的单纯度量，因此可根据回归系数的求法求出的值（过程

14、略）对于AR(1)模型 对于AR(2)模型 （3）偏自相关系数p步截尾性可以证明，偏自相关系数具有p步截尾性的特征，前面学过AR(p)模型自相关系数具有拖尾性，这是两条判断AR(p)模型的主要依据，即如果模型自相关系数具拖尾偏自相关系数p步截尾 则该模型为p阶自回归模型。例，考察如下四个平稳AR(p)模型的偏自相关系数（1） （2）（3） （4）序号模型(p步截尾)（拖尾）1234见教材58页四个模型的偏自相关系数图。(计算课后98页第3题)，作业：汇总AR(1)、AR(2)模型的统计性质，包括均值、方差、自协方差函数、自相关系数、偏自相关系数。统计性质AR(1) :AR(2): ， ，二、M

15、A模型（一）定义1.定义：具有如下结构的模型称为q阶移动平均模型，简记为MA(q)：2. MA(q)的限制条件：（1），保证了模型的最高阶数为q。（2），要求随机干扰序列为零均值白噪声序列。2. 中心化的MA(q)模型如果则以上移动平均模型称为中心化的MA(q)模型：，后面的分析都是针对中心化的模型进行的。3.用延迟算子表示MA(q)： 成为q阶移动平均系数多项式。（二）MA模型的统计性质1.常数均值当时(有限阶)，当时，2.常数方差3.自协方差函数只与滞后阶数相关，且q阶截尾例如：MA（1）MA（2）模型：4.自相关函数q阶截尾 例如：MA（1）MA（2）模型：5.偏自相关函数拖尾 MA模型

16、的拖尾（证明略）综上，得出以下结论：第一， 有限阶的MA模型一定是平稳的（因为均值和方差均为常数）第二， MA模型q阶截尾，拖尾（AR模型是拖尾，p阶截尾）例3.6：绘制下列MA模型的自相关系数和偏自相关系数，直观考察MA模型自相关系数的截尾性和偏自相关系数的拖尾性。（1） （2）（3） （4）图形见教材61页62页。（三）MA模型的可逆性例3.6四个MA模型中，（1）与（2）具有相同的自相关图，经计算自相关系数也相同；模型（3） 和（4）也具有相同的自相关图，经计算系数也相同。即与模型不是一一对应的关系，这种自相关系数的不唯一给我们将来的工作带来麻烦。因为将来我们是通过样本自相关系数显示出额

17、特征选择合适的模型拟合序列的发展，如果自相关系数和模型之间不是一一对应关系，就导致序列与模型之间不是一一对应的。为了保证一个给定的对应唯一一个MA模型，就要给模型施加约束条件可逆性。1、可逆的定义可以验证。两个MA（1）模型具有如下结构关系时，其相同（1） （2） AR模型的形式要想使以上模型收敛，必须保证,即而模型（2）可写作，要写成收敛的AR模型，需保证，即定义：若一个MA模型能够表示称为收敛的AR模型形式，那么该MA模型称为可逆MA模型，一个唯一对应一个可逆的MA模型。2、MA（q）模型的逆转形式及可逆函数MA模型可写作设为MA(q)模型的特征根，即的特征根。任取带入特征方程： （1）设

18、为特征多项式的根。任取带入方程得：，两边同时除以得: （2）可见，MA (q)模型移动平均系数多项式的根是齐次线性差分方程的特征根的倒数。即由为特征多项式的根可知所以， （为常数） 以上为MA模型的逆转形式，即把MA模型写作无穷阶的AR模型。其中为可逆函数。同理，根据待定系数法（略）可以推出可逆函数的递推公式：其中，例如：对于MA (1)模型，q=1 对于MA (2)模型，q=2练习MA (3)模型可逆函数。MA (3)：q=3总结：AR（p）模型的传递形式：是把AR模型写作无穷阶的MA模型。MA（q）模型的逆转形式：是把MA模型写作无穷阶的AR模型3、可逆性判别（1）特征根判别对于一个移动平

19、均系统（逆转形势）要使可逆，即以上形式收敛，则需 时，才能使，即特征根都在单位圆内，或者的根都在单位圆外。 这就是说，要判断一个MA模型是否可逆，需解其特征方程，判断特征根的情况。那么，是否可以直接从模型的形式或移动平均系数的大小来判断？2.移动平均系数判别法（1）对于MA (1)模型：特征方程为=0，由得，时，模型可逆（2）对于MA (2)模型特征方程为，根据MA (2)模型可逆的条件由根与系数的关系得，则 即又即三、ARMA模型（一）定义1.定义：具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为：2.限制条件：（1），保证了模型的自回归最高阶数为p，移动平均最高阶数为q。（2），要求随机干

20、扰序列为零均值白噪声序列。（3），说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。2. 中心化的模型如果，则以上自回归模型称为中心化的ARMA(p,q)模型：，后面的分析都是针对中心化的模型进行的。3.用延迟算子表示ARMA(p,q)： 成为p阶自回归系数多项式。成为q阶移动平均系数多项式当q=0时，ARMA(p,q)模型就退化成了AR(p)模型。当p=0时，ARMA(p,q)模型就退化成了MA(q)模型。所以，AR(p) 和MA(q)模型实际上是ARMA(p,q)模型的特例。他们统称为ARMA(p,q)模型。而ARMA(p,q)模型的统计性质也正是AR(p) 和MA(q)模型统计性质的有机结合。 （二

21、）平稳条件与可逆条件1. 平稳条件：对于ARMA(p,q)模型，令 显然 是一个均值为零、方差为 的平稳序列，于是ARMA(p,q)模型可写作如下形式：。与分析AR(p)模型平稳性完全类似，容易推出ARMA(p,q)模型的平稳性条件是：P阶自回归系数多项式的根都在单位圆外，或者齐次线性差分方程的特征根都在单位圆内。即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定。2.可逆条件：同理，令，与的性质完全类似，则ARMA(p,q)模型可写作。与分析MA (q)模型可逆性完全类似，容易推出ARMA(p,q)模型的可逆性条件是：q阶移动平均系数多项式的根都在单位圆外，或者齐次线性差分方程的

22、特征根都在单位圆内，即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定。当以及的根都在单位圆外时，ARMA(p,q)模型称为平稳可逆的模型，这是一个由自相关系数唯一识别的模型。（三）传递形式与转逆形式对于一个平稳可逆的ARMA(p,q)模型，其传递形式是：为格林函数。通过待定系数法（略），得到ARMA(p,q)模型格林函数的递推公式为：其中，同理可得到RMA(p,q)模型的逆转形势：，其中为可逆函数。同理，根据待定系数法（略）可以推出可逆函数的递推公式：其中，可见，ARMA模型的传递形式就是把ARMA模型写作无穷阶的MA模型。ARMA模型的逆转形式就是把ARMA模型写作无穷阶的AR模型（四）ARMA（p，q）模型的统计性质1.均值：对于一个非中心化的平稳可逆的ARMA（p，q）模型：两边同时取期望，有2.自协方差函数 3.自相关函数不截尾 4.偏自相关系数不截尾例3.7：拟合ARMA(1,1)模型，并直观考察该模型自相关系数和偏自相关系数，均不截尾，见图3-7（p69）综合考察AR（p）、MA（q）和ARMA（p,q）模型自相关系数和偏自相关系数的性质，得出以下规律：模型自相关系数偏自相关系数AR（p）拖尾P阶截尾MA（q）q阶截尾拖尾ARMA（p,q）拖尾拖尾第 31 页 共 31 页