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1、数学数学(shxu)概率论与数理统计概率论与数理统计3第一页，共85页。第三章第三章 二维随机变量二维随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数对于任意实数对于任意实数对于任意实数对于任意实数 x,y,x,y,x,y,x,y,二元函数二元函数二元函数二元函数 F(x,y)=P(Xx Yy)=P(Xx,Yy)F(x,y)=P(Xx Yy)=P(Xx,Yy)F(x,y)=P(Xx Yy)=P(Xx,Yy)F(x,y)=P(Xx Yy)=P(Xx,Yy)称为称为称为称为(chn wi)(ch
2、n wi)(chn wi)(chn wi)二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量(X,Y)(X,Y)(X,Y)(X,Y)的（联合）分布函数。的（联合）分布函数。的（联合）分布函数。的（联合）分布函数。由概率(gil)可加性求得：第1页/共85页第二页，共85页。第三章第三章第三章第三章 二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量(su j(su j bin lin)bin lin)基本性质(xngzh)：10 F(x,y)1，且，F(,y)=0,F(x,)=0,F(,)=0,F(+,+)=1;2F(x,y)关于 x,y 单调递增；3.右连续；二维离散随机变量(su j bin
3、lin)(X,Y)的分布律：显然第2页/共85页第三页，共85页。第三章第三章 二维随机变量二维随机变量(su j(su j bin lin)bin lin)YX0100.10.310.30.3解：按概率的乘法(chngf)公式计算得：PX=0,Y=0=PX=0*PY=0|X=0=2/5*1/4=0.1PX=0,Y=1=2/5*3/4=0.3PX=1,Y=0=3/5*2/4=0.3PX=1,Y=1=3/5*2/4=0.31.一箱子(xing zi)5 件产品，2 正品 3 次品，。不放回相继抽取两件产品。定义随机变量：2.X1（第一次取到次品），0（第一次取到正品）;3.Y1（第二次取到次品）
4、，0（第二次取到正品）。第3页/共85页第四页，共85页。第三章第三章 二维随机变量二维随机变量(su j(su j bin lin)bin lin)解：2.二维随机变量（X,Y）中 X 以相等的概率(gil)取值 1,2,3,4，而 Y 则以等概率(gil)取到 1 X 间的整数值。写出其分布律。XY123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16第4页/共85页第五页，共85页。第5页/共85页第六页，共85页。第三章第三章 二维随机变量二维随机变量(su(su j bin lin)j bin lin)二维连续型随机变量(X,Y)的分布
5、(fnb)函数和密度函数：两边(lingbin)同时除以 y，得再同时除以 x，得令x,y 趋向于零第6页/共85页第七页，共85页。第7页/共85页第八页，共85页。第三章第三章 二维随机变量二维随机变量(su(su j bin lin)j bin lin)二维连续型随机变量(su j bin lin)(X,Y)的分布函数和密度函数：性质(xngzh)：第8页/共85页第九页，共85页。第四章第四章第四章第四章 随机变量随机变量随机变量随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)的数字特征的数字特征的数字特征的数字特征作业(zuy)2，3，4，5，7，8，10，11，14，
6、15第9页/共85页第十页，共85页。第三章第三章第三章第三章 二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量(su j(su j bin lin)bin lin)由概率(gil)的性质可得 C1/A。3.设 G 是平面(pngmin)上的一个有界区域，面积为 A，二维随机变量(X,Y)只在 G 中取值，且每一个点取值都是“等可能的”，问它的概率密度？解:第10页/共85页第十一页，共85页。二维正态分布密度(md)函数：第11页/共85页第十二页，共85页。第三章第三章 二维随机变量二维随机变量(su j(su j bin lin)bin lin)4.已知(X,Y)的分布(fnb)函数为求
7、解:第12页/共85页第十三页，共85页。第三章第三章第三章第三章 二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量(su(su j bin lin)j bin lin)5.设二维随机变量(su j bin lin)(X,Y)具有概率密度试求：(1)分布(fnb)函数 F(x,y)；(2)P(XY)。解：第13页/共85页第十四页，共85页。第三章第三章第三章第三章 二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量(su(su j bin lin)j bin lin)试求：(2)P(X0)的指数分布，求 EX 和 DX。解：第42页/共85页第四十三页，共85页。第四章第四章第四章第四章 随机
8、变量随机变量随机变量随机变量(su j(su j bin lin)bin lin)数字特征数字特征数字特征数字特征数学期望数学期望数学期望数学期望(qwng)(qwng)(qwng)(qwng)和方和方和方和方差差差差例6 设 X N(0,1),求 EX,DX。解：第43页/共85页第四十四页，共85页。第四章第四章 随机变量数字随机变量数字(shz)(shz)特征特征数学数学(shxu)(shxu)期望期望和方差的性质和方差的性质数学期望的性质数学期望的性质方差的性质方差的性质E(C)=CD(C)=0E(CX)=CE(X)D(CX)=C2D(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)X,Y 相互独
9、立，相互独立，D(XY)=D(X)+D(Y)X,Y相互独立，相互独立，E(XY)=E(X)E(Y)D(X)=0的充要条件是的充要条件是PX=C=1第44页/共85页第四十五页，共85页。第四章第四章 随机变量随机变量(su j(su j bin lin)bin lin)数字特征数字特征数学期望数学期望(qwng)(qwng)和方差和方差的性质的性质相互独立(dl)条件下第45页/共85页第四十六页，共85页。第四章第四章 随机变量随机变量(su j(su j bin lin)bin lin)数字特征数字特征数学期望数学期望(qwng)(qwng)和方差和方差的性质的性质相互独立(dl)条件下第
10、46页/共85页第四十七页，共85页。第四章第四章 随机变量数字随机变量数字(shz)(shz)特征特征数学期望数学期望(qwng)(qwng)和和方差的性质方差的性质例1 设 X N(),求 EX,DX。解：令 则 第47页/共85页第四十八页，共85页。第四章第四章 随机变量随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)数字特征数字特征数学期望数学期望(qwng)(qwng)和和方差的性质方差的性质例2 设 X B(n,p)，求 E(X)和 D(X)。解：设相互独立(dl)的0-1分布的随机变量：第48页/共85页第四十九页，共85页。第四章第四章 随机变量数字随机变量数字
11、(shz)(shz)特征特征数学数学数学数学(shxu)(shxu)(shxu)(shxu)期望和方差的期望和方差的期望和方差的期望和方差的性质性质性质性质例3 设 X B(n,p),EX=12,DX=8.求 n 和 p。解：由 EX=np=12,DX=np(1-p)=8,得 n=36,p=1/3.第49页/共85页第五十页，共85页。第四章第四章第四章第四章 随机变量随机变量随机变量随机变量(su j(su j bin lin)bin lin)数字特征数字特征数字特征数字特征数学数学数学数学(shxu)(shxu)(shxu)(shxu)期望和方差期望和方差期望和方差期望和方差的性质的性质的
12、性质的性质例4 X,Y N(0,1/2),相互独立(dl)，求|X-Y|的均值和方差解：第50页/共85页第五十一页，共85页。第四章第四章 随机变量随机变量(su j(su j bin lin)bin lin)数字特征数字特征随机变量函数随机变量函数(hnsh)(hnsh)数学数学期望期望设 g(x)是实值连续函数，且级数或广义积分(jfn)绝对收敛，则用下式计算函数的期望：比直接计算来得简便。第51页/共85页第五十二页，共85页。第四章第四章 随机变量随机变量(su j(su j bin lin)bin lin)数字特征数字特征随机变量随机变量(su(su j bin j bin lin
13、)lin)函数数函数数学期望学期望例1 设随机变量X在区间(q jin)(0,)内服从均匀分布，求 Y=sinX 的数学期望。解：第52页/共85页第五十三页，共85页。第四章第四章 随机变量数字随机变量数字(shz)(shz)特征特征随机变量函数数学随机变量函数数学随机变量函数数学随机变量函数数学(shxu)(shxu)(shxu)(shxu)期望期望期望期望例2 某应季商品，每售出 1kg 获利润 6 元，如到季末处理每 kg 亏损(ku sn)2 元，设某商店在季节内这种商品的销售量 X 是随机变量，服从区间(8,16)内均匀分布。为获利最大，问商店应进多少货？解：第53页/共85页第五
14、十四页，共85页。第四章第四章 随机变量随机变量(su j(su j bin lin)bin lin)数字特征数字特征随机变量函数数学随机变量函数数学随机变量函数数学随机变量函数数学(shxu)(shxu)(shxu)(shxu)期望期望期望期望第54页/共85页第五十五页，共85页。第四章第四章 随机变量随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)数字特征数字特征随机变量随机变量随机变量随机变量(su j bin(su j bin(su j bin(su j bin lin)lin)lin)lin)函数数学期函数数学期函数数学期函数数学期望望望望（报童的利润）某报童每天从发
15、行商处购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。如果每份报纸的购进价为a，零售价为b，退回价为c，且满足(mnz)cab。假设已经知道159天报纸需求量的情况，报童每天应购进多少份报纸？需求量100 120 140 160 180 200 220 240 260 280天数 3 9 13 22 32 35 20 15 8 2已知每天需求量（随机变量）X，求平均每天利润多少？第55页/共85页第五十六页，共85页。练习(linx)1.设随机变量(su j bin lin)X 的概率密度为则 EX=，DX=。2.设 X N(1,4),Y N(-1,2)，且 X 与 Y 相互(xingh)独立，则 E
16、(X 2Y)=,D(X 2Y)=。3.设 X R(-3,3)，则 D(1 3X)=.4.盒子内 3 个白球，2 个黑球，从中任取 2 求，设 X为取得白球的个数，求 EX5.有 4 名顾客随机地进入 4 家商店，X 表示没有顾客进入的商店数，求 EX。第56页/共85页第五十七页，共85页。6.设 X 额概率密度为求 EX，DX7.设随机变量 X 是 n 次伯努利试验(shyn)中事件 A 出现的次数，P(A)=p，令8.求 EY。8.设（X,Y）有求EX，EY，E(XY)和 E(X2+Y2)。第57页/共85页第五十八页，共85页。报童报童报童报童(botng)(botng)的的的的利润利润
17、利润利润设天利润(lrn)平均利润(lrn)令近似有即第58页/共85页第五十九页，共85页。第四章第四章 随机变量随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)数字特征数字特征协方差和相关系数当 X,Y 相互(xingh)独立时，有表示(biosh)X,Y 不独立。用这个量表示两个随机变量之间联系的紧密程度第59页/共85页第六十页，共85页。第四章第四章 随机变量随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)数字特征数字特征协方差和相关系数定义(dngy)两个随机变量 X，Y 的协方差：第60页/共85页第六十一页，共85页。第四章第四章 随机变量数字随机变
18、量数字(shz)(shz)特征特征协方差和相关系数将协方差标准化（单位(dnwi)化）越相关(xinggun)正相关(xinggun)越不相关负相关第61页/共85页第六十二页，共85页。第四章第四章 随机变量数字随机变量数字(shz)(shz)特征特征协方差和相关系数第62页/共85页第六十三页，共85页。例1.二维离散随机变量(su j bin lin)(X,Y)的分布律为X Y-10110.20.10.120.100.1300.30.1求 cov(X,Y),XY。解:边缘分布(fnb)分别为X123pk0.40.20.4Y-101pk0.30.40.3E(X)=2,E(Y)=0,E(XY
19、)=0.2,D(X)=0.8,D(Y)=0.6cov(X,Y)=0.2 20=0.2,XY=0.2/(0.80.6)0.5=0.29第63页/共85页第六十四页，共85页。第四章第四章 随机变量随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)数字特征数字特征协方差和相关系数当 X,Y 相互(xingh)独立，线性相关性第64页/共85页第六十五页，共85页。“不相关(xinggun)”和“相互独立”是不同的概念X,Y 相互(xingh)独立X,Y 不相关(xinggun)E(XY)=EXEYcov(X,Y)=0,XY=0反之呢？第65页/共85页第六十六页，共85页。1.设 X
20、N(1,5),Y N(1,16)，且 X 与 Y 相互(xingh)独立，令Z=2X Y 1，则 E(Z)=,D(Z)=，Y 与 Z的相关系数 XY=.练习(linx)第66页/共85页第六十七页，共85页。2.设随机变量 X 与 Y 的相关系数 XY=0，则（a）D(X Y)=DX DY;（b）相互独立(dl)；（c）可能服从二维均匀分布；（d）E(XY)=EXEY3.设（X,Y）有求相关系数 XY。4.设（X,Y）有求EX，EY 和相关系数 XY。第67页/共85页第六十八页，共85页。第四章第四章第四章第四章 随机变量的数字随机变量的数字随机变量的数字随机变量的数字(shz)(shz)特
21、征特征特征特征作业(zuy)2，3，4，5，7，8，10，11，14，15第68页/共85页第六十九页，共85页。第四章第四章第四章第四章 随机变量数字随机变量数字随机变量数字随机变量数字(shz)(shz)特征特征特征特征车贝雪夫不等车贝雪夫不等式式对任意对任意(rny)证明：证明：用于在没有概率分布情况(qngkung)下估计概率EX2第69页/共85页第七十页，共85页。第四章第四章第四章第四章 随机变量随机变量随机变量随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)数字特征数字特征数字特征数字特征1.1.EX=10,DX=0.05.2.2.P(|X 10|0.4)_.3
22、.3.2.相互相互(xingh)独立的独立的4.4.试证对任给试证对任给第70页/共85页第七十一页，共85页。第四章第四章第四章第四章 随机变量随机变量随机变量随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)数字特征数字特征数字特征数字特征第71页/共85页第七十二页，共85页。第五章第五章 大数定律和大数定律和中心中心(zhngxn)极限定极限定理理大数大数大数大数(d(d(d(d sh)sh)sh)sh)定定定定律律律律大数(d sh)定律表达了算术平均值及频率稳定性 车贝雪夫大数定律的特殊情况设随机变量序列 两两相互独立，且具有相同的数学期望和方差：则对任意 有第72页/
23、共85页第七十三页，共85页。第五章第五章第五章第五章 大数定律和中心大数定律和中心大数定律和中心大数定律和中心(zhngxn)(zhngxn)极极极极限定理限定理限定理限定理证明(zhngmng)：由车贝雪夫不等式N个随机变量的算术平均（几乎）趋向于一个(y)常数第73页/共85页第七十四页，共85页。第五章第五章第五章第五章 大数大数大数大数(d sh)(d sh)定律和中心极定律和中心极定律和中心极定律和中心极限定理限定理限定理限定理大数(d sh)定律贝努里大数定律(dngl)设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意 有证明：
24、设 X1,X2,是独立同分布 B(1,p)的随机变量序列，且 EXi=p,DXi=p(1-p)第74页/共85页第七十五页，共85页。第五章第五章第五章第五章 大数大数大数大数(d sh)(d sh)定律和中心极限定理定律和中心极限定理定律和中心极限定理定律和中心极限定理大数(d sh)定律贝努里大数定律 设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件A在每次试验中发生的概率(gil)，则对任意 有证明：设 X1,X2,是独立同分布 B(1,p)的随机变量序列，且 EXi=p,DXi=p(1-p)当试验次数很大时，事件的概率接近事件发生的频数第75页/共85页第七十六页，共
25、85页。第五章第五章第五章第五章 大数定律大数定律大数定律大数定律(dngl)(dngl)和中心极限定和中心极限定和中心极限定和中心极限定理理理理中心(zhngxn)极限定理独立同分布中心极限定理 只要(zhyo)n 充分大，独立同分布的随机变量之和就近似服从正态分布或隶莫佛中心极限定理当 n 充分大时，第76页/共85页第七十七页，共85页。第77页/共85页第七十八页，共85页。第78页/共85页第七十九页，共85页。第79页/共85页第八十页，共85页。第80页/共85页第八十一页，共85页。第81页/共85页第八十二页，共85页。第82页/共85页第八十三页，共85页。第五章第五章第五章第五章 大数定律和中心极限大数定律和中心极限大数定律和中心极限大数定律和中心极限(jxin)(jxin)定理定理定理定理例20个噪声电压在区间(0,10)上服从(fcng)均匀分布，互相间独立。求其和大于 105 的概率近似值。解：第83页/共85页第八十四页，共85页。第五章第五章第五章第五章 大数定律大数定律大数定律大数定律(dngl)(dngl)和中心极和中心极和中心极和中心极限定理限定理限定理限定理练习(linx)1.掷一枚均匀(jnyn)硬币时，需投掷多少次才能保证正面出现频率在0.4 至 0.6 之间的概率不小于 90%。2.解：第84页/共85页第八十五页，共85页。