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1、牛顿莱布尼兹两人同时创立了微积分导数及其应用3.1.13.1.1变化率问题变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化 导数研究的问题 的快慢程度变化率问题第一次第二次0.62dm0.16dm问题一:气球膨胀率气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为当气球的空气容量从当气球的空气容量从V1增加到增加到V2时，时，气球的平均膨胀率是多少？气球的平均膨胀率是多少？思考思考 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h h(单位单位:m):m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t t(单位单位:s s)存在函数关系存在函数关系 如果用运
2、动员在某段时间内的平均速度如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运描述其运动状态动状态,那么那么:在在0 t 0.5这段时间里这段时间里,在在1 t 2这段时间里这段时间里,问题二:高台跳水 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度,并并思考下面的问题思考下面的问题:(1)运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?平均速度不能准确反映该段段时间里运动状态平均速度不能准确反映该段段时间里运动状态.探究探究式子式子平均变化率的定义若设若设x=x2-x
3、1,y=f(x2)-f(x1)则平均变化率为则平均变化率为这里这里x看作是相对于看作是相对于x1的一的一个个“增量增量”可用可用x1+x代替代替x2同理同理 y=f(x2)-f(x1)yx=f(x2)-f(x1)x2 x1=f(x1+x)f(x1)x称为函数称为函数 f(x)从x1到到 x2的的平均变化率平均变化率.思考思考?观察函数观察函数f(x)f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率 表示什么表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线直线直线直线ABABABAB的斜率的斜率的斜率的斜率例例1 1、已知函数、已知函数 ，分别计算
4、，分别计算 在下列区间上在下列区间上 的平均变化率：的平均变化率：（1 1）11，33；（2 2）11，22；（3 3）11，1.11.1432.1例例2.求函数求函数y=5x2+6在区间在区间2，2+x 内的平均变化率。内的平均变化率。解 y=5(2+x)2+6-(522+6)=20 x+5x2所以平均变化率为1.一质点运动的方程为一质点运动的方程为s=12t2，则在一段时间，则在一段时间1，2内的平均速度为（）内的平均速度为（）A4 B8 C 6 D6C课堂练习课堂练习2.设函数设函数y=f(x)，当自变量，当自变量x由由x0改变到改变到x0+x时，函数时，函数的改变量为（）的改变量为（）
5、Af(x0+x)B f(x0)+x Cf(x0)x Df(x0+x)f(x0)D 3.3.已知已知f(x)=2xf(x)=2x2 2+1+1 (1)(1)求求:其从其从x x1 1到到x x2 2的平均变化率；的平均变化率；(2)(2)求求:其从其从x x0 0到到x x0 0+xx的平均变化率，的平均变化率，并求并求x x0 0=1,x=1,x=时的平均变化率。时的平均变化率。（1）2(x1+x2)（2）4x0+2x 5课堂练习课堂练习 在高台跳水中，函数关系在高台跳水中，函数关系 h=-4.9t2+6.5t+10hto如何求如何求2时的瞬时速度？时的瞬时速度？20时时20时时2瞬时速度：瞬
6、时速度：物体在某一时刻的速度物体在某一时刻的速度3.1.2 3.1.2 导数的概念导数的概念t0时时,在在2,2+t 这段时这段时间内间内当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.001时,当t=0.0001时,当t=0.0001时,t=0.00001,t=0.00001,t=0.000001,t=0.000001,当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势?瞬时速度（在局部）先求平均速度，然后（在局部）先求平均速度，然后取极限。取极限。如何求瞬时速度？如何求瞬时速度？lim是什么意思？是什么意思？在其下面的条件下求右面的极限值。在其下面的条
7、件下求右面的极限值。运动员在某一时刻运动员在某一时刻0的瞬时速度如何表示的瞬时速度如何表示?思考思考、函数的平均变化率怎么表示？、函数的平均变化率怎么表示？思考思考导数的定义导数的定义:函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作或或 ,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数的基本步骤是处的导数的基本步骤是:注意：注意：x可正也可负可正也可负.一差、二比、三极限一差、二比、三极限例例1.(1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1
8、附近的平均附近的平均变化率，并求出在该点处的导数变化率，并求出在该点处的导数(3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求，求质点在质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.练习练习3.1.33.1.3导数的几何意义导数的几何意义P Pnoxyy=f(x)割割线线切线切线T（曲线在某一点处）切线的定义（曲线在某一点处）切线的定义当点当点Pn沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点称为点P处的处的切线切线.通过通过逼近逼近的方法，将的方法，将割线趋于的确定位置的割线趋于的确定位置的直线直线定义
9、为切线定义为切线（交点（交点可能不惟一）可能不惟一）适用于各适用于各种曲线。所以，这种定种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的义才真正反映了切线的直观本质。直观本质。此处切线的定义与以此处切线的定义与以前的定义有何不同？前的定义有何不同？思考思考xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)M x y割线与切线的斜率有何关系呢？割线与切线的斜率有何关系呢？即：当即：当x0时，割线时，割线PQ的的斜率的极限斜率的极限，就是曲线，就是曲线在点在点P处的处的切线的斜率切线的斜率，探究探究 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的处的导数的几何意义导数的几何意义，就是曲，就是曲线线 y=f(x)在
10、点在点P(x0,f(x0)处的处的切线的斜率切线的斜率，即曲线，即曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率是处的切线的斜率是 .故故曲线曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:结论结论xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T继续观察图像的运动过程，还有什么发现？继续观察图像的运动过程，还有什么发现？例例1:（1）求函数）求函数y=3x2在点在点(1,3)处的导数处的导数.（2）求曲线）求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.例例2:如图如图,已知曲线已知曲线 ,求求:(1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率;(
11、2)点点P处的切线方程处的切线方程.yx-2-112-2-11234OP即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4.(2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.hto函数的导函数函数的导函数函数在点函数在点 处的导数处的导数 、导函数、导函数 、导数、导数 之间的区别与联系。之间的区别与联系。1）函数在一点 处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在点
12、 处的导数的方法之一。练：设练：设f(x)为可导函数为可导函数,且满足条件且满足条件 ,求曲线求曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切线的斜率处的切线的斜率.故所求的斜率为故所求的斜率为-2.练习练习:小结：小结：1.1.函数的平均变化率函数的平均变化率2.2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)(1)求函数的增量：求函数的增量：f=y=f(xf=y=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1)f f（x x1 1xx）f(xf(x1 1););(2)(2)计算平均变化率计算平均变化率 3.3.函数的平均变化率的几何意义：函数的平均变化率的几何意义：表示函数图象上两点表示函数图象上两点A(xA(x1 1,f(x,f(x1 1),B(x),B(x2 2,f(x,f(x2 2)连线连线（割线）的斜率。（割线）的斜率。4.4.函数在函数在x=xx=x0 0的瞬时变化率的瞬时变化率