3.1变化率与导数、导数的计算53040.ppt

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1、3.1 3.1 变化率与导数、导数的计算变化率与导数、导数的计算第三编第三编 导数及其应用导数及其应用要点梳理要点梳理1.1.函数函数y y=f f(x x)从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率的平均变化率 函数函数y y=f f(x x)从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率为的平均变化率为 ，若若x x=x x2 2-x x1 1,y y=f f（x x2 2）-f f（x x1 1），则平均变化率），则平均变化率可表示为可表示为 .基础知识基础知识 自主学习自主学习2.2.函数函数y y=f f（x x）在）在x x=x x0 0处的导数处的导数 （1 1）定义）定义 称函

2、数称函数y y=f f（x x）在）在x x=x x0 0处的瞬时变化率处的瞬时变化率 =为函数为函数y y=f f（x x）在）在x x=x x0 0处的导数，记作处的导数，记作f f（x x0 0）或）或y y|x x=x x0 0，即即f f(x x0 0)=)=.（2 2）几何意义）几何意义 函数函数f f(x x)在点在点x x0 0处的导数处的导数f f(x x0 0)的几何意义是在曲线的几何意义是在曲线y y=f f（x x）上点）上点 处的处的 .相应地，相应地，切线方程为切线方程为 .(x x0 0,f f(x x0 0)切线的斜率切线的斜率y y-y y0 0=f f(x

3、x0 0)()(x x-x x0 0)3.3.函数函数f f(x x)的导函数的导函数 称函数称函数f f(x x)=)=为为f f（x x）的导函）的导函 数，导函数有时也记作数，导函数有时也记作y y.4.4.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 原函数原函数 导函数导函数 f f（x x）=c c f f(x x)=)=f f(x x)=)=x xn n(n nQ Q*)f f(x x)=)=f f(x x)=sin)=sin x x f f(x x)=)=f f(x x)=)=coscos x x f f(x x)=)=f f(x x)=)=a ax x f f(x x)=)=

4、coscos x x0 0-sin-sin x xa ax xlnln a a(a a0)0)nxnxn n-1-1e ex x5.5.导数运算法则导数运算法则 （1 1）f f（x x）g g(x x)=;(2)(2)f f(x x)g g(x x)=;(3)=(3)=(g g(x x)0).)0).6.6.复合函数的导数复合函数的导数 复合函数复合函数y y=f f(g g(x x)的导数和函数的导数和函数y y=f f(u u),),u u=g g(x x)的的 导数间的关系为导数间的关系为y y =，即，即y y对对x x的的 导数等于导数等于 的导数与的导数与 的导数的乘积的导数的乘

5、积.f f(x x)=e)=ex x f f(x x)=)=f f(x x)=)=logloga ax x f f(x x)=)=f f(x x)=)=lnln x x f f(x x)=)=(a a0,0,且且a a1)1)f f(x x)g g(x x)f f(x x)g g(x x)+)+f f(x x)g g(x x)y yu uy y对对u uu u对对x xx xu ux x基础自测基础自测1.1.在曲线在曲线y y=x x2 2+1+1的图象上取一点（的图象上取一点（1 1，2 2）及附近一点）及附近一点 （1+1+x x，2+2+y y），则），则 为为（）A.A.x x+2+

6、2B.B.x x-2-2 C.C.x x+2+2D.2+D.2+x x-解析解析 y y=（1+1+x x）2 2+1-1+1-12 2-1=(-1=(x x)2 2+2+2x x,=x x+2.+2.C2.2.设设正正弦弦函函数数y y=sin=sin x x在在x x=0=0和和x x=附附近近的的平平均均变变化化率率为为k k1 1,k k2 2,则则k k1 1,k k2 2的大小关系为的大小关系为（）A.A.k k1 1k k2 2B.B.k k1 1k k2 2 C.C.k k1 1=k k2 2D.D.不确定不确定 解析解析 y y=sin=sin x x,y y=(sin=(s

7、in x x)=)=coscos x x,k k1 1=coscos 0=1 0=1，k k2 2=coscos =0 =0，k k1 1k k2 2.A3.3.曲曲线线y y=x x3 3-3-3x x2 2+1+1在在点点（1 1，-1-1）处处的的切切线线方方程程为为（）A.A.y y=3=3x x-4-4B.B.y y=-3=-3x x+2+2 C.C.y y=-4=-4x x+3+3D.D.y y=4=4x x-5-5 解解析析 由由y y=3=3x x2 2-6-6x x在在点点（1 1，-1-1）的的值值为为-3-3，故故切切线方程为线方程为y y+1=-3(+1=-3(x x-

8、1)-1)，即，即y y=-3=-3x x+2.+2.B4.4.若若函函数数y y=f f(x x)在在R R上上可可导导且且满满足足不不等等式式xf xf(x x)-f f(x x)恒恒成成立立，且且常常数数a a,b b满满足足a ab b,则则下下列列不不等等式式一一定定成成立的是立的是（）A.A.af af(b b)bf bf(a a)B.B.af af(a a)bf bf(b b)C.C.af af(a a)bf bf(b b)D.D.af af(b b)bf bf(a a)解析解析 令令g g(x x)=)=xf xf(x x),),g g(x x)=)=xf xf(x x)+)+

9、f f(x x)0.0.g g(x x)在在R R上为增函数，上为增函数，a ab b,g g（a a)g g(b b),),即即af af(a a)bf bf(b b).).B5.5.设设P P为为曲曲线线C C：y y=x x2 2+2+2x x+3+3上上的的点点，且且曲曲线线C C在在点点P P处处切切线线倾倾斜斜角角的的取取值值范范围围是是00，则则点点P P横横坐坐标标的的取值范围为取值范围为（）A.A.B.B.-1-1，0 0 C.C.0 0，1 1D.D.解析解析 y y=x x2 2+2+2x x+3+3，y y=2=2x x+2.+2.曲线在点曲线在点P P(x x0 0,

10、y y0 0)处切线倾斜角的取值范围是处切线倾斜角的取值范围是 0,0,曲线在点曲线在点P P处的切线斜率处的切线斜率00k k1.1.02 02x x0 0+21,-1+21,-1x x0 0 .A题型一题型一 利用导数的定义求函数的导数利用导数的定义求函数的导数【例例1 1】求函数求函数y y=在在x x0 0到到x x0 0+x x之间的平均变化之间的平均变化 率率.紧扣定义紧扣定义 进行进行 计算计算.解解思维启迪思维启迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析探究提高探究提高 求函数求函数 f f（x x）平均变化率的步骤：）平均变化率的步骤：求函数值的增量求函数值的增量f f =f f（

11、x x2 2）-f f（x x1 1）；）；计算平均变化率计算平均变化率解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了单，只要注意运算过程就可以了.知能迁移知能迁移1 1 利用导数定义，求函数利用导数定义，求函数 在在x x=1=1处处的导数的导数.解解 方法一方法一 （导数定义法）（导数定义法）方法二方法二 （导函数的函数值法）（导函数的函数值法）题型二题型二 导数的运算导数的运算【例例2 2】求下列函数的导数求下列函数的导数.（1 1）y y=2=2x x3 3+x x-6-6；（2 2）y y=；（3 3）y y=(=

12、(x x+1)(+1)(x x+2)(+2)(x x+3)+3)；（4 4）y y=-sin (1-2cos=-sin (1-2cos2 2 ）；）；（5 5）.如如式式子子能能化化简简的的，可可先先化化简简，再再利利用用导导数公式和运算法则求导数公式和运算法则求导.思维启迪思维启迪解解 （1 1）y y=6=6x x2 2+1.+1.(3)(3)方法一方法一 y y=(=(x x2 2+3+3x x+2)(+2)(x x+3)+3)=x x3 3+6+6x x2 2+11+11x x+6+6，y y=3=3x x2 2+12+12x x+11.+11.方法二方法二y y=(x x+1)(+1

13、)(x x+2)+2)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2)(+2)(x x+3)+3)=(x x+1)(+1)(x x+2)+(+2)+(x x+1)(+1)(x x+2)+2)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2)+2)=(=(x x+2+2+x x+1)(+1)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2)+2)=(2=(2x x+3)(+3)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2)+2)=3=3x x2 2+12+12x x+11.+11.求求函函数数的的导导数数要要准准确确地地把把函函数数分分割割为

14、为基基本本函函数数的的和和、差差、积积、商商及及其其复复合合运运算算，再再利利用用运运算算法法则则求求导导数数.在在求求导导过过程程中中，要要仔仔细细分分析析函函数数解解析析式式的的结结构构特特征征，紧紧扣扣求求导导法法则则，联联系系基基本本函函数数求求导导公公式式.对对于于不不具具备备求求导导法法则则结结构构形形式式的的要要适适当当恒恒等等变变形形，如如（3 3）小小题题;对对于于比比较较复复杂杂的的函函数数，如如果果直直接接套套用用求求导导法法则则，会会使使求求导导过过程程繁繁琐琐冗冗长长，且且易易出出错错，此此时时，可可将将解解析析式式进进行行合合理理变变形形，转转化化为为较较易易求求导

15、导的的结结构构形形式式，再再求求导导数数，如如（2 2）、（4 4）、（5 5）都都是是如如此此.但但必必须须注注意意变变形形的的等等价价性性，避避免免不不必必要要的的运运算算失失误误.探究提高探究提高知能迁移知能迁移2 2 求下列函数的导数求下列函数的导数.（1 1）y y=5=5x x2 2-4-4x x+1+1；(2)(2)y y=(2=(2x x2 2-1)(3-1)(3x x+1)+1)；（3 3）y y=.=.解解 (1)(1)y y=(5=(5x x2 2-4-4x x+1)+1)=(5 =(5x x2 2)-(4)-(4x x)+(1)=10)+(1)=10 x x-4.-4.

16、(2)(2)y y=(2=(2x x2 2-1)(3-1)(3x x+1)=6+1)=6x x3 3+2+2x x2 2-3-3x x-1,-1,y y=(6=(6x x3 3+2+2x x2 2-3-3x x-1)-1)=(6 =(6x x3 3)+2()+2(x x2 2)-(3)-(3x x)-(1)-(1)=18 =18x x2 2+4+4x x-3.-3.【例例3 3】求下列复合函数的导数求下列复合函数的导数.(1)(1)y y=(2=(2x x-3)-3)5 5;(2)(2)y y=;=;(3)(3)y y=sin=sin2 2（2 2x x+）;(4)(4)y y=ln(2=ln

17、(2x x+5).+5).思维启迪思维启迪 先正确地分析函数是由哪些基本函数经过先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成怎样的顺序复合而成;求导时求导时,可设出中间变量可设出中间变量,注意注意要逐层求导不能遗漏要逐层求导不能遗漏,每一步对谁求导每一步对谁求导,不能混淆不能混淆.解解 (1)(1)设设u u=2=2x x-3,-3,则则y y=(2=(2x x-3)-3)5 5由由y y=u u5 5与与u u=2=2x x-3-3复合而成复合而成,y y=f f(u u)u u(x x)=()=(u u5 5)(2)(2x x-3)=5-3)=5u u4 42 2=10=10u

18、u4 4=10(2=10(2x x-3)-3)4 4.（2 2）设）设u u=3-=3-x x,则则y y=由由y y=u u 与与u u=3-=3-x x复合而成复合而成.由复合函数的定义可知，中间变量的选择由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程本函数，逐步确定复合过程.探究提高探究提高(3)(3)

19、设设y y=u u2 2,u u=sin=sin v v,v v=2=2x x+,+,（4 4）设）设y y=lnln u u,u u=2=2x x+5,+5,则则知能迁移知能迁移3 3 求下列复合函数的导数求下列复合函数的导数.(1)(1)y y=;=;(2)(2)y y=x x ;(3)(3)解解 (1)(1)y y=-3(1-3=-3(1-3x x)-4-4(1-3(1-3x x)=.)=.题型三题型三 导数的几何意义导数的几何意义【例例4 4】（1212分）已知曲线方程为分）已知曲线方程为y y=x x2 2,（1 1）求过）求过A A（2 2，4 4）点且与曲线相切的直线方程；）点且

20、与曲线相切的直线方程；（2 2）求过）求过B B（3 3，5 5）点且与曲线相切的直线方程）点且与曲线相切的直线方程.（1 1）A A在曲线上在曲线上,即求在即求在A A点的切线方程点的切线方程.（2 2）B B不在曲线上，设出切点求切线方程不在曲线上，设出切点求切线方程.解解 （1 1）A A在曲线在曲线y y=x x2 2上上,过过A A与曲线与曲线y y=x x2 2相切的直线只有一条，且相切的直线只有一条，且A A为切点为切点.2 2分分 由由y y=x x2 2,得得y y=2=2x x,y y|x x=2=2=4,4=4,4分分 因此所求直线的方程为因此所求直线的方程为y y-4=

21、4(-4=4(x x-2),-2),即即4 4x x-y y-4=0.-4=0.6 6分分 思维启迪思维启迪（2 2）方法一方法一 设过设过B B（3 3，5 5）与与曲曲线线y y=x x2 2相切的直线相切的直线方程为方程为y y-5=-5=k k(x x-3),-3),即即y y=kxkx+5-3+5-3k k,8,8分分 y y=k kx x+5-3+5-3k k,y y=x x2 2得得x x2 2-k kx x+3+3k k-5=0,=-5=0,=k k2 2-4(3-4(3k k-5)=0.-5)=0.整理得整理得:(:(k k-2)(-2)(k k-10)=0,-10)=0,k

22、 k=2=2或或k k=10.=10.1010分分所求的直线方程为所求的直线方程为 2 2x x-y y-1=0,10-1=0,10 x x-y y-25=0.-25=0.1212分分方法二方法二 设切点设切点P P的坐标为的坐标为(x x0 0,y y0 0),),由由y y=x x2 2得得y y=2=2x x,x x=x x0 0=2=2x x0 0,8 8分分由已知由已知k kPAPA=2=2x x0 0,即即 =2=2x x0 0.又又y y0 0=代入上式整理得代入上式整理得:x x0 0=1=1或或x x0 0=5,=5,1010分分切点坐标为切点坐标为(1,1),(5,25),

23、(1,1),(5,25),所求直线方程为所求直线方程为 2 2x x-y y-1=0,10-1=0,10 x x-y y-25=0.-25=0.1212分分由由探探究究提提高高 （1 1）解解决决此此类类问问题题一一定定要要分分清清“在在某某点点处处 的的 切切 线线”，还还 是是“过过 某某 点点 的的 切切 线线”的的 问问 法法.（2 2）解解决决“过过某某点点的的切切线线”问问题题，一一般般是是设设出出切切点点坐坐标标为为P P（x x0 0，y y0 0），然然后后求求其其切切线线斜斜率率k k=f f(x x0 0),写写出出其其切切线线方方程程.而而“在在某某点点处处的的切切线线

24、”就就是是指指“某某点点”为切点为切点.（3 3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确.知能迁移知能迁移4 4 已知曲线已知曲线 .(1)(1)求曲线在求曲线在x x=2=2处的切线方程；处的切线方程；(2)(2)求曲线过点（求曲线过点（2 2，4 4）的切线方程）的切线方程.解解 （1 1）y y=x x2 2,在点在点P P（2 2，4 4）处的切线的斜率）处的切线的

25、斜率k k=y y|x x=2=2=4.=4.曲线在点曲线在点P P（2 2，4 4）处的切线方程为）处的切线方程为y y-4=4(-4=4(x x-2),-2),即即4 4x x-y y-4=0.-4=0.（2 2）设曲线）设曲线 与过点与过点P P（2 2，4 4）的切线）的切线相切于点相切于点 ，则切线的斜率则切线的斜率k k=y y|x x=x x =.=.切线方程为切线方程为y y-即即0 0点点P P（2 2，4 4）在切线上，）在切线上，4=4=即即(x x0 0+1)(+1)(x x0 0-2)-2)2 2=0,=0,解得解得x x0 0=-1=-1或或x x0 0=2,=2,

26、故所求的切线方程为故所求的切线方程为4 4x x-y y-4=0-4=0或或x x-y y+2=0.+2=0.方法与技巧方法与技巧1.1.在在对对导导数数的的概概念念进进行行理理解解时时，特特别别要要注注意意f f(x x0 0)与与(f f(x x0 0)是是不不一一样样的的，f f(x x0 0)代代表表函函数数f f(x x)在在x x=x x0 0处处的的导导数数值值，不不一一定定为为0 0；而而(f f(x x0 0)是是函函数数值值f f(x x0 0)的的导导数数，而而函函数数值值f f(x x0 0)是是一一个个常常量量，其其导导数数一一定定为为0 0，即即(f f(x x0

27、0)=0.=0.2.2.对对于于函函数数求求导导，一一般般要要遵遵循循先先化化简简，再再求求导导的的基基本本原原则则，求求导导时时，不不但但要要重重视视求求导导法法则则的的应应用用，而而且且要要特特别别注注意意求求导导法法则则对对求求导导的的制制约约作作用用，在在实实施施化化简简时时，首首先先必必须须注注意意变变换换的的等等价价性性，避避免免不不必必要要的的运运算失算失误误.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高3.3.复合函数的求导方法复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法 则，将问题转化为基本函数的导数解决则，将问题转化为基

28、本函数的导数解决.（1 1）分分析析清清楚楚复复合合函函数数的的复复合合关关系系是是由由哪哪些些基基本本函函数复合而成的，适当选定中间变量；数复合而成的，适当选定中间变量；（2 2）分分步步计计算算中中的的每每一一步步都都要要明明确确是是对对哪哪个个变变量量求求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系；导，而其中特别要注意的是中间变量的关系；（3 3）根根据据基基本本函函数数的的导导数数公公式式及及导导数数的的运运算算法法则则，求求出出各各函函数数的的导导数数，并并把把中中间间变变量量转转换换成成自自变变量量的的函数；函数；（4 4）复复合合函函数数的的求求导导熟熟练练以以后后，中中间间步步骤骤

29、可可以以省省略略，不必再写出函数的复合过程不必再写出函数的复合过程.失误与防范失误与防范1.1.利利用用导导数数定定义义求求导导数数时时，要要注注意意到到x x与与x x的的区区别别，这里的这里的x x是常量，是常量，x x是变量是变量.2.2.利利用用公公式式求求导导时时要要特特别别注注意意除除法法公公式式中中分分子子的的符符号号，防止与乘法公式混淆防止与乘法公式混淆.3.3.求曲线切线时，要分清点求曲线切线时，要分清点P P处的切线与过处的切线与过P P点的切点的切 线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.4.4.曲曲线线的的切切线线与与曲曲线线的

30、的交交点点个个数数不不一一定定只只有有一一个个，这这和研究直线与二次曲线相切时有差别和研究直线与二次曲线相切时有差别.一、选择题一、选择题1.1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过一质点沿直线运动，如果由始点起经过t t秒后的位秒后的位 移为移为 ，那么速度为零的时刻是，那么速度为零的时刻是 （）A.0A.0秒秒B.1B.1秒末秒末 C.2C.2秒末秒末D.1D.1秒末和秒末和2 2秒末秒末 解析解析 v v=s s（t t）=t t2 2-3-3t t+2+2，令令v v=0=0，得，得t t1 1=1 1,t,t2 2=2.2.D定时检测定时检测2.2.若若点点P P是是曲曲线线y y=x

31、 x2 2-ln-ln x x上上任任意意一一点点，则则点点P P到到直直线线y y=x x-2-2的最小距离为（的最小距离为（）A.1A.1B.B.C.C.D.D.解析解析 过点过点P P作作y y=x x-2-2的平行直线的平行直线,且与曲线且与曲线y y=x x2 2-ln-lnx x 相切，设相切，设P P（x x0 0,x x-lnln x x0 0）,则则k k=y y|x x=x x0 0=2=2x x0 0-2 2x x0 0-=1,-=1,x x0 0=1=1或或x x0 0=(=(舍去舍去).).P P(1,1),(1,1),B3.3.若若曲曲线线y y=x x4 4的的一

32、一条条切切线线l l与与直直线线x x+4+4y y-8=0-8=0垂垂直直，则则l l的的 方程为方程为（）A.4A.4x x-y y-3=0-3=0B.B.x x+4+4y y-5=0-5=0 C.4 C.4x x-y y+3=0+3=0D.D.x x+4+4y y+3=0+3=0 解解析析 y y=4=4x x3 3=4,=4,得得x x=1,=1,即即切切点点为为（1 1，1 1），所所以以过该点的切线方程为过该点的切线方程为y y-1=4(-1=4(x x-1),-1),整理得整理得4 4x x-y y-3=0.-3=0.A4.4.曲线曲线y y=e=ex x在点（在点（2 2，e

33、e2 2）处的切线与坐标轴所围三角）处的切线与坐标轴所围三角 形的面积为形的面积为 （）A.B.2eA.B.2e2 2 C.eC.e2 2 D.D.解析解析 点（点（2 2，e e2 2）在曲线上，）在曲线上，切线的斜率切线的斜率k k=y y|x x=2=2=e ex x|x x=2=2=e=e2 2,切线的方程为切线的方程为y y-e-e2 2=e=e2 2(x x-2).-2).即即e e2 2x x-y y-e-e2 2=0.=0.与两坐标轴的交点坐标为（与两坐标轴的交点坐标为（0 0，-e-e2 2），（），（1 1，0 0），），S S=D5.5.（20092009全全国国理理，9

34、 9）已已知知直直线线y y=x x+1+1与与曲曲线线y y=ln(ln(x x+a a)相切，则相切，则a a的值为的值为（）A.1A.1B.2B.2C.-1C.-1D.-2D.-2 解解析析 设设直直线线y y=x x+1+1与与曲曲线线y y=ln(ln(x x+a a)的的切切点点为为（x x0 0,y y0 0）,则则y y0 0=1+=1+x x0 0,y y0 0=ln(=ln(x x0 0+a a),),又又y y=即即x x0 0+a a=1.=1.又又y y0 0=ln(=ln(x x0 0+a a),),y y0 0=0,=0,x x0 0=-1,=-1,a a=2.=

35、2.B6.6.（20092009安徽文，安徽文，9 9）设函数设函数 其其中中 ，则则导导数数f f(1)(1)的的取取值值范范围围是是 （）A.A.-2-2，2 2B.B.，C.C.，2 2D.D.，2 2 解析解析 由已知由已知f f(x x)=sin)=sin x x2 2+coscos x x,D二、填空题二、填空题7.7.如如图图所所示示，函函数数f f(x x)的的图图象象是是折折线线段段ABCABC，其其中中A A，B B,C C的的坐坐标标分分别别为为（0 0，4 4）,（2 2，0 0）,（6 6，4 4），则则f f（f f（0 0）=；.（用数字作答）（用数字作答）解析解

36、析 由由A A（0 0，4 4），），B B（2 2，0 0）可得线段）可得线段ABAB所在直所在直线的方程为线的方程为f f(x x)=-2)=-2x x+4(0+4(0 x x2).2).同理同理BCBC所在直线所在直线的方程为的方程为f f(x x)=)=x x-2(2-2(2x x6).6).-2 -2x x+4(0+4(0 x x2),2),x x-2(2-2(2x x6),6),所以所以f f(0)=4,(0)=4,f f(4)=2.(4)=2.f f(1)=-2.(1)=-2.答案答案 2 -22 -2所以所以f f(x x)=)=8.8.（20092009福福建建理理，1414

37、）若若曲曲线线f f(x x)=)=axax5 5+ln+ln x x存存在在垂垂直于直于y y轴的切线，则实数轴的切线，则实数a a的取值范围是的取值范围是 .解析解析 f f(x x)=5)=5axax4 4+,+,x x(0,+),(0,+),由题知由题知5 5axax4 4+=0+=0在（在（0 0，+）上有解）上有解.即即a a=-=-在（在（0 0，+）上有解）上有解.x x(0,+),(-,0).(0,+),(-,0).a a(-,0).(-,0).(-,0)(-,0)9.9.（20092009江江苏苏，9 9）在在平平面面直直角角坐坐标标系系xOyxOy中中，点点P P在在曲曲

38、线线C C：y=xy=x3 3-1010 x+x+3 3上上，且且在在第第二二象象限限内内，已已知知曲线曲线C C在点在点P P处的切线斜率为处的切线斜率为2 2，则点，则点P P的坐标为的坐标为 .解析解析 设设P P（x x0 0,y y0 0）(x x0 00),0),由题意知由题意知 =2,=2,=4.=4.x x0 0=-2,=-2,y y0 0=15.=15.P P点的坐标为（点的坐标为（-2-2，1515）.（-2-2，1515）三、解答题三、解答题10.10.求曲线求曲线f f(x x)=)=x x3 3-3-3x x2 2+2+2x x过原点的切线方程过原点的切线方程.解解

39、f f(x x)=3)=3x x2 2-6-6x x+2.+2.设切线的斜率为设切线的斜率为k k.（1 1）当切点是原点时）当切点是原点时k k=f f(0)=2,(0)=2,所以所求曲线的切线方程为所以所求曲线的切线方程为y y=2=2x x.（2 2）当切点不是原点时，设切点是（）当切点不是原点时，设切点是（x x0 0,y y0 0），），则有则有y y0 0=又又k k=由由得得 所求曲线的切线方程为所求曲线的切线方程为11.11.设设t t0,0,点点P P（t t，0 0）是是函函数数f f(x x)=)=x x3 3+axax与与g g(x x)=)=bxbx2 2+c c的的

40、图图象象的的一一个个公公共共点点，两两函函数数的的图图象象在在点点P P处处有有相相同的切线同的切线.试用试用t t表示表示a a,b b,c c.解解 因为函数因为函数f f(x x),),g g(x x)的图象都过点（的图象都过点（t t,0,0）,所以所以f f(t t)=0,)=0,即即t t3 3+at at=0.=0.因为因为t t0,0,所以所以a a=-=-t t2 2.g g(t t)=0)=0，即，即bt bt2 2+c c=0,=0,所以所以c c=abab.又因为又因为f f(x x),),g g(x x)在点（在点（t t,0,0）处有相同的切线，）处有相同的切线，所

41、以所以f f(t t)=)=g g(t t).).而而f f(x x)=3)=3x x2 2+a a,g g(x x)=2)=2bxbx,所以所以3 3t t2 2+a a=2=2bt bt.将将a a=-=-t t2 2代入上式得代入上式得b b=t t.因此因此c c=abab=-=-t t3 3.故故a a=-=-t t2 2,b b=t t,c c=-=-t t3 3.12.12.设有抛物线设有抛物线C C：y y=-=-x x2 2+x x-4,-4,通过原点通过原点O O作作C C的切的切 线线y y=k kx x,使切点使切点P P在第一象限在第一象限.（1 1）求）求k k的值

42、；的值；（2 2）过点）过点P P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交 点点Q Q的坐标的坐标.解解 （1 1）设点）设点P P的坐标为（的坐标为（x x1 1,y y1 1）,则则y y1 1=k kx x1 1.代入代入得得 P P为切点为切点,=,=(2)(2)过过 P P点点 作作 切切 线线 的的 垂垂 线线,其其 方方 程程 为为 y y=-2=-2x x+5.+5.将将代入抛物线方程得代入抛物线方程得x x2 2-x x+9=0.+9=0.设设Q Q点的坐标为点的坐标为(x x2 2,y y2 2),),则则2 2x x2 2=9,=9,x x2 2=,=,y y2 2=-4.=-4.Q Q点的坐标为（点的坐标为（,-4,-4）.当当k k=时时,x x1 1=-2,=-2,y y1 1=-17.=-17.当当k k=时时,x x1 1=2,=2,y y1 1=1.=1.P P在第一象限在第一象限,所求的斜率所求的斜率k k=.=.返回返回