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1、 微分方程应用举例微分方程应用举例例例弹性横梁的震动问题弹性横梁的震动问题有一质量为有一质量为 m 的电动机的电动机,安装在梁上安装在梁上 A 点点,电电动机开动时动机开动时,产生一垂直于梁的干扰力产生一垂直于梁的干扰力 psin t(p,为常数为常数),使梁发生振动使梁发生振动.梁上梁上 A 点的位移用坐点的位移用坐标标 y 表示表示,梁的弹性恢复力与位移梁的弹性恢复力与位移 y 成正比成正比(比例比例系数为系数为 k 0),求求 A 点的运动规律点的运动规律(不计阻力与重力不计阻力与重力)解解 建立坐标系如图所示建立坐标系如图所示A oyA 点受到的力点受到的力:(1)干扰力干扰力:psi
2、nt(2)弹性恢复力弹性恢复力:ky据牛顿第二定律有据牛顿第二定律有初始条件初始条件:即即 y 满足初值问题满足初值问题:特征方程特征方程:特征根特征根:齐次方程的通解齐次方程的通解:被称为被称为固有频率固有频率 下面求非齐次方程的特解下面求非齐次方程的特解(1)当当 时时,设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解为代入方程整理得代入方程整理得令令解得解得非齐次方程的特解非齐次方程的特解:非齐次方程的通解非齐次方程的通解:由由所以初值问题的解所以初值问题的解(2)当当 时时,设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解为代入方程可得代入方程可得:非齐次方程的特解非齐次方程的特解:非齐次方程的通解非齐次
3、方程的通解:由由 可确定可确定所以初值问题的解所以初值问题的解注意注意:位移位移 y(t)的振幅为的振幅为 将随将随 t 的增大而无限增大的增大而无限增大,从而引起从而引起共振现象共振现象 当当 时时,例例一颗子弹以速度一颗子弹以速度 v0=200 m/s 打进一块厚度打进一块厚度为为 0.1 m 的板的板,然后穿过板然后穿过板,以速度以速度 v1=80 m/s离开板离开板,该板对子弹运动的阻力与运动速度平该板对子弹运动的阻力与运动速度平方成正比方成正比,问子弹穿过板用了多少时间问子弹穿过板用了多少时间?解解0 x设时刻设时刻 t,子弹在木板中移动子弹在木板中移动到到 x=x(t),子弹的质量
4、为子弹的质量为 m 根据牛顿第二定律有根据牛顿第二定律有若记若记 及注意到及注意到 v(0)=200则速度则速度 v=v(t)满足下初值问题满足下初值问题:(可分离变量方程可分离变量方程)由由 v(0)=200设子弹穿透板的所用时间为设子弹穿透板的所用时间为 T,则据题意则据题意又又 v(T)=80 于是有于是有例例求曲线求曲线,使它上面的任一点使它上面的任一点 M 处的切线处的切线 MT与直线与直线 OM 夹定角夹定角.解解设所求曲线为设所求曲线为 y=y(x),M(x,y)y=y(x)M 为曲线上的任意一点为曲线上的任意一点,则则由于由于T y0令令 ,代入方程有代入方程有整理得整理得分离变量有分离变量有积分得积分得则则即即例例将温度为将温度为 100 C 的开水冲进热水瓶且塞紧的开水冲进热水瓶且塞紧 塞子后放在温度为塞子后放在温度为 20 C 的室内的室内,24 小小时时后后,瓶瓶内热水温度降为内热水温度降为 50 C,问问冲冲进进开水开水 12 小小时时后瓶后瓶内热水的温度是多少内热水的温度是多少?(设瓶内热水冷却的速度与设瓶内热水冷却的速度与水的温度和室温之差成正比水的温度和室温之差成正比)解解设时刻设时刻 t 时时,水的温度为水的温度为 T C,则则有有(一阶线性方程一阶线性方程)解得解得由由 T(24)=50