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1、微分方程的应用微分方程的应用数学模型数学模型 根据研究对象的内在规律运用适当根据研究对象的内在规律运用适当的数学工具建立起来的一种数学结构。的数学工具建立起来的一种数学结构。微分方程微分方程是建立数学模型时应用是建立数学模型时应用得最为广泛的工具之一。得最为广泛的工具之一。一、微分方程建模的基本步骤：1、根据已知规律建立微分方程；2、根据已知条件找出初始条件；3、解微分方程(求通解、特解)；4、用所得结果解释实际问题。二、生物医药模型举例例1.（放射性元素的衰变）放射性元素因不断放射出各种射线放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量的现象，称为而逐渐减少其质量的现象，称为衰变衰变。由原子
2、物理学知道，放射性元素镭的衰变由原子物理学知道，放射性元素镭的衰变速度与存量成正比，比例系数为速度与存量成正比，比例系数为k（k0）。如）。如果当时间果当时间t=0时，镭的质量为时，镭的质量为 ，求镭的质量，求镭的质量M关于时间关于时间t的变化规律的变化规律 。解：根据导数的定义，镭的衰变速度就是镭的消耗量关于时间的导数，即将“镭的衰变速度与存量成正比镭的衰变速度与存量成正比”表达成数学语言，即写成微分方程，得设镭在时刻t的留存量为M(t)，则镭从时刻0到时刻t的消耗量为 。分离变量、两边积分，得将初始条件 代入，得因此镭的质量因此镭的质量M关于时间关于时间t 的变化规律为：的变化规律为：当变
3、量关于时间的变化率与变量的量成正比时，这个变量总是按指数规律变化。例如，牛顿冷却定律、化学中的一级反应、早期肿瘤的生长、药物的分解等自然现象，都按指数规律变化。指数生指数生长模型长模型例2.（细菌增殖模型）理想环境：理想环境：（1）除系统本身的繁殖外，没有由系统外向）除系统本身的繁殖外，没有由系统外向系统内的迁入和由系统内向外迁出等情况；系统内的迁入和由系统内向外迁出等情况；（2）系统本身的繁殖不受空间和营养供应的）系统本身的繁殖不受空间和营养供应的限制；限制；（3）温度、湿度等各项环境因素均对系统适）温度、湿度等各项环境因素均对系统适宜。宜。检验人员对某蓄水池定期抽取单位容积水样检验人员对某
4、蓄水池定期抽取单位容积水样观察，测得该水池中大肠杆菌的观察，测得该水池中大肠杆菌的相对增殖率相对增殖率为为单位时间内单位数单位时间内单位数量的生物的增长。量的生物的增长。试分析该水池中大肠杆菌的繁殖规律。试分析该水池中大肠杆菌的繁殖规律。解：解：将关于相对增殖率的关系式进行变量将关于相对增殖率的关系式进行变量分离，得分离，得两边积分，得：两边积分，得：假设初次取样即假设初次取样即t=0t=0时，时，代入上式，有代入上式，有于是有于是有或或即即 是该蓄水池中大肠杆菌密度的极限值。是该蓄水池中大肠杆菌密度的极限值。自然生长方程自然生长方程例3.（药物动力学一室模型）药物动力学药物动力学是一门研究药
5、物、毒物是一门研究药物、毒物及其代谢物在机体内的吸收、分布、代及其代谢物在机体内的吸收、分布、代谢和排泄过程定量规律的科学。谢和排泄过程定量规律的科学。假定药物以恒定的速率假定药物以恒定的速率 进行静脉滴进行静脉滴注，试求体内药量随时间的变化规律。注，试求体内药量随时间的变化规律。解：解：假定药物在体内假定药物在体内按一级速率过程按一级速率过程消除，消除速率消除，消除速率常数为常数为k k.设静脉滴注设静脉滴注t时刻体内药量为时刻体内药量为x(t),则有则有此方程是一个可分离变量的一阶微分方程，此方程是一个可分离变量的一阶微分方程，易求得其在初始条件易求得其在初始条件t=0时时x=0下的特解为
6、下的特解为 静脉滴注的速率越大，最后体静脉滴注的速率越大，最后体内药量的稳定水平越高。内药量的稳定水平越高。例4.（流行病数学模型）无移除的流行病模型：无移除的流行病模型：（1）感染通过一个团体成员之间的接触而传播，）感染通过一个团体成员之间的接触而传播，感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除；感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除；（2）团体是封闭的，总人数为）团体是封闭的，总人数为N，最初假设只，最初假设只有一个感染者；有一个感染者；（3）团体种各成员之间接触机会均等，因此易）团体种各成员之间接触机会均等，因此易感者转化为感染者的变化率与当时的易感人数感者转化为感染者的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘积成正比。和感染人数的乘积成正比。解：解：记时刻记时刻t的未感染人数为的未感染人数为S，已感染人，已感染人数为数为I，根据以上假设即可建立下面，根据以上假设即可建立下面的微分方程：的微分方程：其中其中代入上式，得代入上式，得分离变量后积分，得分离变量后积分，得再由初始条件再由初始条件 ，可得可得因此，有因此，有整理后得：整理后得：结论：对于无移除的流行病，最终将导结论：对于无移除的流行病，最终将导致团体内全部成员被感染。致团体内全部成员被感染。