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1、一、第一型曲线积分一、第一型曲线积分二、第二型曲线积分二、第二型曲线积分三、第一型与第二型曲线积分的关系三、第一型与第二型曲线积分的关系四、格林公式四、格林公式五、曲线积分与路径无关的条件五、曲线积分与路径无关的条件引入引入 曲线形构件的质量曲线形构件的质量匀质之质量匀质之质量分割分割取近似取近似求求 的质量的质量M M。的线密度的线密度连续，连续，一一.第一型曲线积第一型曲线积分分取极限取极限设二元函数设二元函数 在可求长曲线在可求长曲线有定义有定义.用任意分法用任意分法 将曲线将曲线求和求和分成分成n个小弧：个小弧：长度分别为：长度分别为：积分和积分和1.1.定义定义 设二元函数设二元函数
2、 在可求长曲线在可求长曲线有定义，若当有定义，若当 时，二元时，二元函数函数在曲线在曲线 的积分和存在的积分和存在极限极限 ,即即则称则称 是函数是函数 在曲线在曲线C C的第一型曲线的第一型曲线积分，表为积分，表为其中其中dsds是弧长微元。是弧长微元。积积分分弧弧段段被被积积函函数数积积分分和和式式2.2.存在条件存在条件3.3.推广推广曲线形构件的质量曲线形构件的质量当在光滑曲线弧当在光滑曲线弧C上连续时，上连续时，在在C上的第一型曲线积分存在上的第一型曲线积分存在.性质性质 第一型曲线积分跟曲线的方向无关第一型曲线积分跟曲线的方向无关、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算定理定理
3、 若曲线若曲线是光滑的，即在连续，且不是光滑的，即在连续，且不同时为零，函数在同时为零，函数在C C连续，则函数连续，则函数在在C(A,B)C(A,B)存在第一型曲线积分，且存在第一型曲线积分，且证明证明设任意分法设任意分法T,第第k个小区间对应曲线个小区间对应曲线C上第上第k个小弧个小弧其长为其长为则则曲线曲线C上对应点上对应点作和作和其中其中由由的连续性的连续性下面证明下面证明在闭区间连续，则有界在闭区间连续，则有界在闭区间连续，则在闭区间连续，则一致连续即一致连续即有有有有当时，有当时，有即即当时，有当时，有当时，存在极限，即函数当时，存在极限，即函数在曲线在曲线C上存在第一型曲线积分，即上存在第一型曲线积分，即(1)(2)(3)其它形式的计算方法：其它形式的计算方法：例例 计算计算其中其中例例 计算计算其中其中 是圆周是圆周例例推广推广 若三维欧氏空间若三维欧氏空间 中光滑曲线中光滑曲线的参数方程是的参数方程是则第一型曲线积分为则第一型曲线积分为空间曲线空间曲线 的弧长微分为的弧长微分为例例 计算计算 其中其中C C是圆柱螺旋线：是圆柱螺旋线：1.设是从到的设是从到的一段，计算第一型曲线积分一段，计算第一型曲线积分2计算计算 其中是曲线其中是曲线的一段的一段.例例解解得得