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1、第一节第一节一、一、第二型第二型曲线积分的概念与性质曲线积分的概念与性质二、二、第二型第二型曲线积分的计算法曲线积分的计算法 三、两种曲线积分之间的联系三、两种曲线积分之间的联系 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二型曲线积分第二型曲线积分 第五章第五章 1.1 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例引例:变力沿平面曲线所作的功变力沿平面曲线所作的功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在在 oxy 平面内从点平面内从点 A 沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧 L 移动到点移动到点 B,求移求移“分割分割”“替代替代”“求和求和”“取极限取极
2、限”常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功解决办法解决办法:动过程中变力所作的功动过程中变力所作的功W.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1)“分割分割”.2)“替代替代”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在机动 目录 上页 下页 返回 结束 3)“求和求和”4)“取极限取极限”(其中d 为 n 个小弧段的 最大长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.定义定义定义定义.设设 L 为为Oxy 平面内从平面内从 A 到到B 的一条的一条有向光滑有向光滑曲线曲线,L分割成分割成n个有向小弧段，个有向小弧段，在在弧
3、段弧段 在在 x 轴和轴和 y 轴上的投影分别为轴上的投影分别为在在 L 上有界。用分点上有界。用分点上任取一点上任取一点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 把有向曲线把有向曲线第第 i 个小个小作和作和记记 为为 n 个小弧段长度的个小弧段长度的 最大值，如果无论最大值，如果无论L怎样分割怎样分割也无论点也无论点上怎样选取，极限上怎样选取，极限总是存在总是存在,且为常数，则称此极限为向量值函数且为常数，则称此极限为向量值函数在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上或对或对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,的的第二型曲线积分第二型曲线积分.记作记作其中其中,L 称为称为积分曲线积
4、分曲线或或 积分路径积分路径.称为称为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 被积函数被积函数,若若 为空间曲线为空间曲线弧弧,可定义可定义 上的第二型曲线积分上的第二型曲线积分称为对称为对 x 的曲线积分的曲线积分;称为对称为对 y 的曲线积分的曲线积分.类似地类似地,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则若曲线若曲线L为一条封闭曲线时，则积分记作为一条封闭曲线时，则积分记作机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.性质性质(1)若若 L 可分成可分成 二条有向光滑曲线弧二条有向光滑曲线弧(2)用用 -L 表示与表示与 L
5、的方向相反的曲线弧的方向相反的曲线弧,则则则则1.2 两种曲线积分之间的关系两种曲线积分之间的关系设设是是空间有向光滑曲线，起点空间有向光滑曲线，起点A,终点终点B,取以弧长取以弧长 s曲线曲线 的切向量为的切向量为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为参数为参数,曲线曲线的参数方程为的参数方程为起点起点A和终点和终点B的坐标表示为的坐标表示为方向余弦为方向余弦为当当L为平面曲线时为平面曲线时则两类曲线积分有如下联系则两类曲线积分有如下联系机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若若 为空间曲线弧为空间曲线弧,记记若记若记,对坐标的曲线积分也可写作对
6、坐标的曲线积分也可写作类似地类似地,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 引例中的变力做功等于引例中的变力做功等于1.3 第二型曲线积分的计算方法第二型曲线积分的计算方法定理定理:在有向光滑曲线在有向光滑曲线 L上有定义且上有定义且参数方程为参数方程为则曲线积分则曲线积分连续连续,L的起点为的起点为A,终点为终点为B，证明证明:存在存在,且有且有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 代入当当L从起点从起点A变到终点变到终点B时，参数时，参数 t 从从变到变到，代入代入特别是特别是,如果如果 L 的方程的方程为为则则定理定理 目录目录 上页上页 下页下
7、页 返回返回 结束结束 如果如果 L 垂直于垂直于 x 轴轴如果如果 L 垂直于垂直于 y 轴轴对空间光滑曲线弧对空间光滑曲线弧 :类似有类似有定理定理 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对空间光滑曲线弧对空间光滑曲线弧 :类似有类似有定理定理 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如果如果 垂直于垂直于 x 轴轴如果如果 垂直于垂直于 y 轴轴如果如果 垂直于垂直于 z 轴轴例例例例1.1.计算计算计算计算其中其中L为为(1)圆圆的一段弧（如图）的一段弧（如图）(2)有向折线有向折线 解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1)原式原式
8、起点起点终点终点机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)有向折线 例例例例2.2.计算计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)原式(2)原式(3)有向折线 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 为折线为折线 ABCOA (如图如图),计算计算解解1:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例3.3.已知已知已知已知为折线为折线 ABCOA (如图如图),计算计算解解2:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例3.3.已知已知已知已知其中其中 L 为为(1)半径为半径为 a 圆心
9、在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周,方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2)从点从点 A(a,0)沿沿 x 轴到点轴到点 B(a,0).解解:(1)取取L的参数方程为的参数方程为(2)取取 L 的方程为的方程为则则则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例4.4.计算计算计算计算例例5.求求其中其中从从 z 轴正向看为顺时针方向轴正向看为顺时针方向.解解:取取 的参数方程的参数方程机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 原点原点 O 的距离成正比的距离成正比,例例6.设一个质点在设一个质点在处受处受恒指向原点恒指向原点,沿椭圆沿椭圆此质点由
10、点此质点由点沿逆时针移动到沿逆时针移动到解解:F 的大小与的大小与M 到到F 的方向的方向力力F 的作用的作用,求力求力F 所作的功所作的功.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二者夹角为二者夹角为 例例7.设设曲线段曲线段 L 的长度为的长度为 s,证明证明续续,证证:设设说明说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在在L上连上连 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例8.将积分化为对弧长的积分,解：解：其中L 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑
11、曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.3.计算计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.1.解解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.沿直求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.设曲线设曲线C C为曲面为曲面与曲面从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)计算曲线积分解解:(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)原式=令利用“偶倍奇零”机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例1.1.计算计算其中L 为沿抛物线解法解法1 取 x 为参数,则从点的一段.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 取 y 为参数,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 作用下,质点由沿移动到解解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例4.4.设在力场设在力场