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1、线代数综合练习题一 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、填空题：2、设则；，1、四阶方阵A的特征值 为1、2、3、4，则；3、设二次型则其秩为 ；4、向量组线性相关，则；5、已知A是满秩矩阵，且则B的秩为 。二、选择题：1、设A为n阶可逆矩阵，是它的伴随矩阵，则 ；2、设A、B均为n阶方阵，且满足AB=0，则必有 ；3、设A是三阶可逆矩阵，则 等于；4、已知 是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解，与 是对应的齐次线性方程组AX=b的基础解系，与
2、为任意常数，则方程组AX=b的通解为 ；5、已知三阶实对称矩阵A的特征值为1、2、3，且对应于1、2的特征向量分别为 和，则对应于3的特征向量为.三、解答下列各题1、已知AX=B-2X，其中求 X.2、求矩阵的秩及一个最大无关列向量组.3、设矩阵A与B相似，其中求 x,y 的值.4、设PB=AP，其中求 .四、有解？有解时求其通解.问当 取何值时，下面的方程组五、设二次型1、试用矩阵形式表示；2、用正交变换将其化为标准型，并指出所用的正交变换.六、设求 AX=b 的解.七、设向量组线性无关，试讨论向量组的线性相关性.一、1、解：=1+2+3+4=102、将A分块而3、解：二次型矩阵为所以二次型
3、的秩为3；4、解：因为三个3维向量线性相关5、解：因为A为满秩方阵，所以A可以写成有限个初等矩阵的乘积，用有限个初等矩阵左乘矩阵B，相当于对B进行了有限次初等行变换，而初等变换不改变矩阵的秩，所以二、1、解：故选(a).2、解：故选(c).3、解：故选(a).4、解：非齐次线性方程组的通解为其对应的齐次线性方程组的通解和它的一个特解的和。已知为非齐次方程组的通解,故选(b).5、解：因为实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是线性无关的，而且是正交的，所以对应于3的特征向量解得基础解系为所以得对应于特征值3的特征向量为故选(d).三、1、解：由AX=B-2X得（A+2E）X=B对矩阵（A+2E
4、B）施行初等行变换2、解：对矩阵A施行初等行变换，使之化为行阶梯形矩阵 则R（A）=3，第1、2、3列是列向量组的一个最大无关组。3、解：因为相似矩阵具有相同的迹，trA=trB ,所以得x-1=y+1,即 x-2=y 又因为相似矩阵有相同的特征值,-1 为矩阵B的一个特征值,所以-1 亦为矩阵A的一个特征值,所以有解得 x=0,y=-2,4、解：因为 PB=AP而 P 可逆四、解：对增广矩阵 B 施行初等行变换此时方程组有解，同解方程组为取 为自由未知量，并令 ，得它的一个特解为对应的齐次方程组的基础解系为于是，原非齐次线性方程组当的通解为五、解：解得取对应的两个正交特征向量单位化得取对应的特征向量令则P为正交矩阵，在正交变换X=PY之下，原二次型化为标准形六、解：由七、解：设一组数使即亦即因线性无关，故只有（1）而其系数行列式（2）所以当 m 为偶数时，方程组（2）有非零解，即有不全为零的数 使（1）式成立，据线性相关性的定义知线性相关；当 m 为奇数时，方程组（2）只有零解，即只有全为零时（1）式才能成立，故此时向量组线性无关。