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1、两因素试验资料的方差分析两因素试验资料的方差分析 两因素试验按水平组合的方式不同，分为两因素试验按水平组合的方式不同，分为交叉交叉分组分组和和系统分组系统分组两类，这里仅以两类，这里仅以两因素交叉分组资两因素交叉分组资料料为例来说明如何进行方差分析。为例来说明如何进行方差分析。考查两个因素对试验指标的影响情况考查两个因素对试验指标的影响情况考查两个因素对试验指标的影响情况考查两个因素对试验指标的影响情况4.1 交叉分组资料的方差分析交叉分组资料的方差分析 设试验考察设试验考察A、B两个因素，两个因素，A因素分因素分a个水平，个水平，B因素分因素分b个水平个水平。所谓交叉分组是指所谓交叉分组是指
2、A因素每个因素每个水平与水平与B因素的每个水平都要搭配因素的每个水平都要搭配，两者交叉搭，两者交叉搭配形成配形成ab个水平组合即处理个水平组合即处理 ，试验因素，试验因素A、B在在试验中处于平等地位试验中处于平等地位。如果将试验单元分成。如果将试验单元分成 ab 个组，每组随机接受一种处理个组，每组随机接受一种处理，因而试验数据也，因而试验数据也按两因素两方向分组，这种试验数据资料称为两按两因素两方向分组，这种试验数据资料称为两向分组资料，也叫交叉分组资料。这种试验以各向分组资料，也叫交叉分组资料。这种试验以各处理是无重复观测值还是有重复观测值又分为两处理是无重复观测值还是有重复观测值又分为两
3、种类型。种类型。对于对于A、B两个试验因素的全部两个试验因素的全部ab个水平个水平组合，每个水平组合只有一个观测值组合，每个水平组合只有一个观测值（无重复），（无重复），全试验共有全试验共有ab个观测值。个观测值。4.1.1 两因素无重复试验资料的方差分析两因素无重复试验资料的方差分析 表表表表1 1 两因素无重复观测值的试验数据模式两因素无重复观测值的试验数据模式两因素无重复观测值的试验数据模式两因素无重复观测值的试验数据模式注：注：注：注：AA因素有因素有因素有因素有a a个水平，个水平，个水平，个水平，BB因素有因素有因素有因素有b b个水平，共计有个水平，共计有个水平，共计有个水平，共
4、计有abab个水平个水平个水平个水平组合，每一组合观测一次，有组合，每一组合观测一次，有组合，每一组合观测一次，有组合，每一组合观测一次，有abab个观测值（表个观测值（表个观测值（表个观测值（表5-205-20），），），），x xij ij 为为为为AA的第的第的第的第i i水平与水平与水平与水平与BB的第的第的第的第j j水平组合观测值。水平组合观测值。水平组合观测值。水平组合观测值。AA的第的第的第的第i i水平水平水平水平b b个观测值之和个观测值之和个观测值之和个观测值之和AA的第的第的第的第i i水平水平水平水平b b个观测值的平均数个观测值的平均数个观测值的平均数个观测值的平均
5、数BB的第的第的第的第j j水平水平水平水平a a个观测值之和个观测值之和个观测值之和个观测值之和BB的第的第的第的第j j水平水平水平水平b b个观测值的平均数个观测值的平均数个观测值的平均数个观测值的平均数abab个观测值的总和个观测值的总和个观测值的总和个观测值的总和abab个观测值的总平均数个观测值的总平均数个观测值的总平均数个观测值的总平均数 两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：式中，式中，式中，式中，为总平均数；为总平均数；为总平均数；为总平均数；i i，j
6、j分别为分别为分别为分别为AAi i、BBj j的效应；的效应；的效应；的效应；i i=i i-，j j=j j-，i i、j j分别为分别为分别为分别为AAi i、BBj j观测值总体平均数，观测值总体平均数，观测值总体平均数，观测值总体平均数，且且且且i i=0=0，j j=0=0；ijij为随机误差，相互独立，且服从为随机误差，相互独立，且服从为随机误差，相互独立，且服从为随机误差，相互独立，且服从NN(0(0，2 2)交叉分组两因素无重复观测值的试验，交叉分组两因素无重复观测值的试验，交叉分组两因素无重复观测值的试验，交叉分组两因素无重复观测值的试验，A A因素因素因素因素的每个水平有
7、的每个水平有的每个水平有的每个水平有b b次重复，次重复，次重复，次重复，B B因素的每个水平有因素的每个水平有因素的每个水平有因素的每个水平有a a次重次重次重次重复，每个观测值同时受到复，每个观测值同时受到复，每个观测值同时受到复，每个观测值同时受到A A、B B 两因素及随机误差两因素及随机误差两因素及随机误差两因素及随机误差的作用。因此全部的作用。因此全部的作用。因此全部的作用。因此全部 a ab b 个观测值的总变异可以分解个观测值的总变异可以分解个观测值的总变异可以分解个观测值的总变异可以分解为为为为 A A 因素水平间变异、因素水平间变异、因素水平间变异、因素水平间变异、B B因
8、素水平间变异及试验误因素水平间变异及试验误因素水平间变异及试验误因素水平间变异及试验误差三部分；自由度也相应分解。差三部分；自由度也相应分解。差三部分；自由度也相应分解。差三部分；自由度也相应分解。偏差平方和与自由度的分解如下：偏差平方和与自由度的分解如下：偏差平方和与自由度的分解如下：偏差平方和与自由度的分解如下：矫正数矫正数矫正数矫正数 总平方和总平方和总平方和总平方和 A A因素偏差平方和因素偏差平方和因素偏差平方和因素偏差平方和 B B因素偏差平方和因素偏差平方和因素偏差平方和因素偏差平方和各项偏差平方和与自由度的计算公式为各项偏差平方和与自由度的计算公式为:误差平方和误差平方和误差平
9、方和误差平方和 SSSSe e=SSSST T-SSSSAA-SSSSBB 总自由度总自由度总自由度总自由度 dfdfT T=ab-=ab-1 1 A A因素自由度因素自由度因素自由度因素自由度 dfdfAA=a-=a-1 1 B B因素自由度因素自由度因素自由度因素自由度 dfdfBB=b-=b-1 1 误差自由度误差自由度误差自由度误差自由度 dfdfe e=df=dfT T -df dfAA df dfBB =(=(a-a-1)(b-1)1)(b-1)相应均方为相应均方为【例【例【例【例1 1】某厂现有化验员】某厂现有化验员】某厂现有化验员】某厂现有化验员3 3人，担任该厂牛奶酸度人，担
10、任该厂牛奶酸度人，担任该厂牛奶酸度人，担任该厂牛奶酸度（T T）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验，）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验，）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验，）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验，连续连续连续连续1010天的检验分析结果见表天的检验分析结果见表天的检验分析结果见表天的检验分析结果见表5-225-22。试分析。试分析。试分析。试分析3 3名化名化名化名化验员的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸验员的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸验员的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸验员的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸度有无差异（新鲜牛奶的酸度不
11、超过度有无差异（新鲜牛奶的酸度不超过度有无差异（新鲜牛奶的酸度不超过度有无差异（新鲜牛奶的酸度不超过20 T20 T）。化验化验员员B B1 1B B2 2B B3 3B B4 4B B5 5B B6 6B B7 7B B8 8B B9 9B B1010 x xi i.x xi i.A A1 111.7111.7110.8110.8112.3912.3912.5612.5610.6410.6413.2613.2613.3413.3412.6712.6711.2711.2712.6812.68121.33121.3312.13 12.13 A A2 211.7811.7810.710.712.5
12、12.512.3512.3510.3210.3212.9312.9313.8113.8112.4812.4811.611.612.6512.65121.12121.1212.11 12.11 A A3 311.6111.6110.7510.7512.412.412.4112.4110.7210.7213.113.113.5813.5812.8812.8811.4611.4612.9412.94121.85121.8512.19 12.19 x.x.j j35.1035.1032.2632.2637.2937.2937.3237.3231.6831.6839.2939.2940.7340.733
13、8.0338.0334.3334.3338.2738.27364.3364.3x.x.j j11.7011.7010.7510.7512.4312.4312.4412.4410.5610.5613.1013.1013.5813.5812.6812.6811.4411.4412.7612.76表表表表2 2 牛奶酸度测定结果牛奶酸度测定结果牛奶酸度测定结果牛奶酸度测定结果A A因素（化验员）有因素（化验员）有因素（化验员）有因素（化验员）有3 3个水平，即个水平，即个水平，即个水平，即a=3a=3；B B因素因素因素因素（天数）（天数）（天数）（天数）有有有有1010个水平个水平个水平个水平 ，
14、即，即，即，即 b b=10=10，共有共有共有共有aab b=310=30=310=30个观测值。个观测值。个观测值。个观测值。1 计算各项偏差平方和与自由度计算各项偏差平方和与自由度 2 列出方差分析表，进行列出方差分析表，进行F检验检验 表表表表3 3 方差分析表方差分析表方差分析表方差分析表变异来源变异来源SSSSdfdfMSMSF F值值显著性显著性化验员间化验员间0.02830.02832 20.01420.01420.5500.550日期间日期间26.759126.75919 92.97322.9732115.240115.240*误差误差0.46350.463518180.02
15、580.0258合计合计27.250927.25092929结果表明，结果表明，3个化验员的化验技术没有显著个化验员的化验技术没有显著差异，不同日期牛奶的酸度有极显著差异。差异，不同日期牛奶的酸度有极显著差异。注：注：注：注：F F0.01(9,180.01(9,18）=3.60=3.60 两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用的情况；的情况；的情况；的情况；若两因素间有交互作用，若两因素间有交互作用，若两因素间有交互作用，若
16、两因素间有交互作用，则每个水平组合中只设则每个水平组合中只设则每个水平组合中只设则每个水平组合中只设 一个试验单一个试验单一个试验单一个试验单位位位位(观察单位观察单位观察单位观察单位)的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：(1)(1)在这种情况下，在这种情况下，在这种情况下，在这种情况下，SSSSe e,dfdfe e实际上是实际上是实际上是实际上是AA、B B 两因两因两因两因素交互作用平方和与自由度，所算得的素交互作用平方和与自由度，所算得的素交互作用平方和与
17、自由度，所算得的素交互作用平方和与自由度，所算得的MSMSe e是交互作用是交互作用是交互作用是交互作用均方均方均方均方 ，主要反映由交互作用引起的变异。，主要反映由交互作用引起的变异。，主要反映由交互作用引起的变异。，主要反映由交互作用引起的变异。(2)(2)这时若仍按前述方法进行方差分析，由于误差这时若仍按前述方法进行方差分析，由于误差这时若仍按前述方法进行方差分析，由于误差这时若仍按前述方法进行方差分析，由于误差均方值大（包含交互作用在内），有可能掩盖试验因素均方值大（包含交互作用在内），有可能掩盖试验因素均方值大（包含交互作用在内），有可能掩盖试验因素均方值大（包含交互作用在内），有可能掩盖试验因素的显著性，的显著性，的显著性，的显著性，从而增大犯从而增大犯从而增大犯从而增大犯型错误的概率。型错误的概率。型错误的概率。型错误的概率。(3)(3)每个水平组合只有一个观测值，无法估计真正每个水平组合只有一个观测值，无法估计真正每个水平组合只有一个观测值，无法估计真正每个水平组合只有一个观测值，无法估计真正的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。