控制系统的数学描述.ppt

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1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 （建立系统的数学模型）（建立系统的数学模型）2.1 微分方程的建立及线性化微分方程的建立及线性化2.2 传递函数传递函数 定义、性质、典型元件的传递函数定义、性质、典型元件的传递函数2.3 控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换 组成、等效变换、简化、组成、等效变换、简化、Mason公式公式2.4 自动控制系统例题自动控制系统例题 液位、位置伺服、速度、液压调速液位、位置伺服、速度、液压调速1 要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。建立系统

2、的数学模型。数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式数学表达式。物理量：高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流物理量：高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流。数学表达式：代数方程、微分方程数学表达式：代数方程、微分方程 静态数学模型静态数学模型：系统变量之间与：系统变量之间与时间无关时间无关的静态关系的静态关系 动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性控制系统数学模型的类型时域模型微分方程频域模型频率特性方框图=原理图数学模型复（S）域模型传递函数2建模方法：分析法、实

3、验法实验法实验法（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型。方法方法：频率特性法 最小二乘法(曲线拟合)神经元网络法 模糊模型法 模型验证模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。黑匣子黑匣子输入（充分激励）输入（充分激励）输出（测量结果）输出（测量结果）2.1 微分方程的建立及线性化3分析法分析法根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，推导系统输入输出之间数学关系。建模（微分方程）步骤建模（微分方程）步骤第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描 述系统输出、输入关系的微

4、分方程。第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的输出输入的数学表达式。利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。4例 图是具有转动惯量为J的转子，与弹性系数为K的弹性轴和阻尼 系数为 的阻尼器连接。假设 施加的外扭矩为 ，则系统产生偏离平衡位置的角位移 。试写出角位移 与扭矩 的微分方程。例2.1 如右图所示，写出RC电路的微分方程。解：明确输入量 ，输出量 第一步：环节数学表达式 第二步：消去中间变量5解：应与阻力矩总和平衡，即假设初始状态在平衡位置，扭矩（2.2.1）式中，M1惯性体所产生的阻力矩，为 M2阻尼器所产生的阻尼力矩，为 M3弹性轴所产生的弹性阻力

5、矩，为将M1、M2、M3代入式（），得到描述系统输出输入关系的运动方程式为（2.2.2）牛顿定律6数学工具拉普拉斯变换与反变换 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限拉氏变换基本定理线性定理 位移定理 延迟定理 7 初值定理 微分定理 积分定理终值定理 8工程上典型函数的拉氏变换时域上函数：f(t)脉冲 (t)单位阶跃 速度 加速度 指数 正弦 二阶响应（01）复数（S）域：F（s）19线性微分方程的求解线性微分方程的求解（3）对输出量的拉式变换式进

6、行拉式反变换，得到系统微 分方程的解。线性微分方程的求解方法：解析法、拉普拉斯变换法、计算机辅助求解拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤：（1）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换，变成变量s的代数方程。（2）由变量s的代数方程求出系统输出输入量的拉式变换式。10 例2.3 设线性微分方程为式中，为单位阶跃函数，初始条件为 ，试求该微分方程的解。解：（1）对微分方程中的各项进行拉式变换得（2.1.3）（2）将初始条件代入式（），得11（3）对式（）进行分解：式中对Y（S）进行拉式反变换122.2 传递函数 2.2.1 传递函数的定义和主要性质 传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过

7、程中引申 出来的概念。微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定 外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。不解方程进行系统分析？定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系 统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。13设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令R(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代数方程为：14 性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函

8、数，mn，且所具有复变量函数的所有性质。（物理可实现）性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量 的形式（幅度与大小）无关。性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提 供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理 系统具有完全相同的传递函数。性质4 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号 作用下的输出响应。性质5 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)就可 获得该系统动态特性的完整描述，与其它物理系统 描述不同。15性质6 传递函数与微分方程之间有关系。如果将 置换162.2.2 典型元件的传递函数任何

9、一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。典型环节通常分为以下六种：1 比例环节特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等。式中:K-增益172 惯性环节式中:T-时间常数特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不 能立即复现，输出无振荡。实例：RC网络，一阶水槽(流水)，直流伺服电动机 的传递函数也包含这一环节。3 积分环节特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入 消失，输出具有记忆功能记忆功能。实例：一阶水槽，电动机角速度与角度间的传递 函数，模拟计算机中的积分器等。18特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输 入信号的变化趋势

10、。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递 函数即为理想微分环节或一阶微分环节。二阶微分环节是构成物理系统的伴随产物，一般不单独存在。4 微分环节理想微分二阶微分一阶微分19特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进 行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。可控硅直流闭环调速系统也是一个二阶振荡环节。5 振荡环节式中 阻尼比自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）206 延时（滞后）环节特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固 定的时间间隔。实例：管道压力、流量、皮带运输等物理量的 控制，其数学模型就包含有延迟环节。式中延迟时间常数实际控制系统都含有滞后环节，只是

11、延迟时间常数大小问题（小忽略不计）。21K1是单个电位器的传递系统，是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。图图2.6 电电位位器器12U(t)21qK11qK 电位器的负载效应，一般要求1.电位器实例：实例：22图图2.7 测速发电机TGU(t)永磁铁TG激磁绕组U(t)(a)（b)输出绕组、相互垂直转子角速度（rad/s）输出斜率（v/rad/s）)(s)U(sU(s)图图2.8直流测速发电机交流测速发电机2.测速发电机测量角速度并将它转换成电压量的装置传递函数传递函数23G(s)R(s)C(s)图图2-11 方方框框图图中中的的方方框框信信号号线线方方框框r(t)c(t)信号线：带有箭头的

12、直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。（2）比较点（汇合点、综合点）两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。2.3 控制系统结构（方框）图 控制系统的结构图是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形原理图元件数学模型。特点：直观。（1）方框（方块）:表示输入到输出单向传输间 的函数关系。2.3.1 控制系统结构图的组成24+X1X1+X2X2+X1X1X2+X2-X3图图2-12比比较较点点示示意意图图注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。(3)引出线（分支点、测量点）表示信号测量或引出的位置 图图2-13

13、 分分支支点点示示意意图图)X(s)X(s)R(s)C(s)(1sG)(2sG注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。X3-25几个基本概念及术语+H(s)+R(s)E(s)B(s)N(s)(1sG)(2sGC(s)图图2-14 反反馈馈控控制制系系统统方方块块图图(1)前向通路传递函数-假设N(s)=0 C(s)与误差E(s)之比（打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比）(2)反馈回路传递函数 假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。反馈信号反馈信号控制对象控制器C(s)26(3)开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设N(s)=0

14、主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。推导：因为 右边移过来整理得 27(5)误差传递函数 假设N(s)=0 误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。代入上式，消去G(s)即得：将+H(s)+R(s)E(s)B(s)N(s)(1sG)(2sGC(s)28图2-15 输出对扰动的结构图 利用公式*，直接可得：(6)输出对扰动的传递函数 假设R(s)=0*29（7）误差对扰动的传递函数 假设R(s)=0 图2-16误差对扰动的结构图 利用公式*，直接可得：*30图2-17一阶RC网络 解：由图2-17，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：对其进行拉氏变换得：例1画出下列RC电路的方框（结构）图。31将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC网络的方块图。32