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1、上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出教学目的掌握第二型曲面积分的定义和计算公式教学内容 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出教学目的：教学目的：掌握第二型曲面积分的定义和计算公式掌握第二型曲面积分的定义和计算公式教学内容：教学内容：曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式(1)(1)基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积基本要求：掌握用显式
2、方程的第二型曲面积分的定义和计算公式分的定义和计算公式(2)(2)较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系分的联系上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出&曲面的侧曲面的侧&第二型曲面积分概念第二型曲面积分概念&第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算&两类曲面积分的联系两类曲面积分的联系上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出 曲面分类 双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典
3、型)一、一、曲面的侧曲面的侧上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出设连通曲面设连通曲面 S 上处处有连续上处处有连续设设 M0 为曲面为曲面 S 上一点，确定上一点，确定方向为正方向，另一个方向为负方向方向为正方向，另一个方向为负方向.L 为为 S 上任一经过点上任一经过点 M0 且不超出且不超出 S 边界的闭曲线边界的闭曲线.设点设点 M 从从 M0 出发，沿出发，沿 L 连续移动，连续移动，M 在在 M0 点与点与M0变动的切平面（或法线）变动的切平面（或法线）曲面在曲面在M0 点的一个法线点的一个法线有相同的法线方向，有相同的法线方向，当点当点 M 连续移动时，其法线方
4、向连续移动时，其法线方向也连续变动，最后当也连续变动，最后当 M 沿沿 L 回到回到M0 时，若这时时，若这时 M 的的法线方向仍与法线方向仍与 M0 点的法线方向一致，则称此曲面点的法线方向一致，则称此曲面 S 为为双侧曲面；若与双侧曲面；若与 M0 的法线方向相反，则称的法线方向相反，则称 S 为单侧曲为单侧曲面面上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出1.问题的提出问题的提出从给定曲面从给定曲面 S 的负侧流向正侧，的负侧流向正侧，设某流体以一定的速度设某流体以一定的速度求单位时间内流经曲面求单位时间内流经曲面 S 的流量的流量 E 如果流体的流速是不变的常向量如果流体的
5、流速是不变的常向量 v，S 是平面，其正侧的单位法向量为是平面，其正侧的单位法向量为 no,时间内流经曲面时间内流经曲面 S 的流量的流量 E 为：为：E=v no S S 的面积记为的面积记为 S，则单位，则单位二、二、第二型曲面积分的概念第二型曲面积分的概念上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出将曲面将曲面 S 任意分成任意分成 n 块块,设该点的单位法向量为：设该点的单位法向量为：流经该点的流速为流经该点的流速为在小曲面块在小曲面块 Si 的正侧上的正侧上任取一点任取一点Si i=1,2,.,n上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出则单位时间内流经小曲
6、面则单位时间内流经小曲面 Si的流量近似地等于的流量近似地等于其中其中 Si 为小曲面为小曲面Si 的面积的面积.记记它们是它们是 Si 的正侧分别在坐标面的正侧分别在坐标面面积的近似值，于是单位时间面积的近似值，于是单位时间 yz,zx 和和 xy 上投影区域上投影区域内流经小曲面内流经小曲面 Si 的流量的流量上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出也近似地等于也近似地等于故单位时间内由曲面故单位时间内由曲面 S 的负侧流向正侧的的负侧流向正侧的 总流量总流量上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出2.第二型曲面积分的定义第二型曲面积分的定义设设 P,Q,R
7、 为定义在双侧曲面为定义在双侧曲面 S 上的函数，在上的函数，在 S 所所指定的一侧作分割指定的一侧作分割 T，把，把 S 分为分为 n 个小曲面个小曲面 S1,S2.,Sn,记记 分别表示分别表示 Si 在三个坐标轴上的投影区域的面积在三个坐标轴上的投影区域的面积,在在 Si 上任取一点上任取一点若若上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数 P,Q,R 在曲面在曲面 S 所指定所指定一侧上的第二型曲面积分，也称为对坐标的曲面积分一侧上的第二型曲面积分，也称为对坐标的曲面积分或或记作记作常简记为常简记为上一页上一页 下一页下一页 主主
8、 页页返回返回 退出退出若令若令则第二型曲面积分也记作向量形式：则第二型曲面积分也记作向量形式：由第二型曲面积分的定义，流体以速度由第二型曲面积分的定义，流体以速度从曲面从曲面 S 的负侧流向正侧的总流量的负侧流向正侧的总流量上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出称为称为P 在有向曲面在有向曲面S上对坐标上对坐标 y,z 的曲面积分的曲面积分;称为称为Q 在有向曲面在有向曲面S上对坐标上对坐标 z,x 的曲面积分的曲面积分;称为称为R 在有向曲面在有向曲面S上对坐标上对坐标 x,y 的曲面积分的曲面积分;若以若以-S 表示曲面表示曲面 S 的另一侧，则由定义可得的另一侧，则由
9、定义可得上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出3.第二型曲面积分的性质第二型曲面积分的性质 若曲面若曲面 S 由两两无公共内点的曲面由两两无公共内点的曲面 Si i=1,2,.,n 所组成，则所组成，则上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出定理定理22.2取上侧取上侧,是是 S 上的连续函数上的连续函数,则则设光滑曲面设光滑曲面三、三、第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算注：注：积分积分的计算，必须先将曲面的计算，必须先将曲面表示成：表示成：再代公式计算再代公式计算上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出证证:S 取上侧取上侧,上一页上一
10、页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出说明说明:如果积分曲面如果积分曲面 S 取下侧取下侧,则则若曲面若曲面 S 是母线平行于是母线平行于 z 轴的柱面（垂直于轴的柱面（垂直于 xy 坐坐标面）标面）则则上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出(前正后负前正后负)将曲面将曲面 S 表示为表示为若曲面若曲面 S 是母线平行于是母线平行于 x 轴的柱面（垂直于轴的柱面（垂直于 yz 坐坐标面）标面）则则积分积分的计算方法：的计算方法：上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出(右正左负右正左负)若曲面若曲面 S 是母线平行于是母线平行于 y 轴的柱面（垂直于轴
11、的柱面（垂直于 zx 坐坐标面）标面）则则积分积分的计算方法：的计算方法：将曲面将曲面 S 表示为表示为上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出解解例例1.计算曲面积分计算曲面积分 其中其中 S 为球面为球面 外侧在第一和第五卦限部分外侧在第一和第五卦限部分.把把 S 分为上下两部分分为上下两部分上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出思考：思考：上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出例例.计算计算 其中其中 S 是以原点为中心是以原点为中心,边长为边长为 2 的正立方的正立方体的整个表面
12、的外侧体的整个表面的外侧.解解其中其中 S1 是是 S 的顶部的顶部取上侧取上侧 S2 是是S 的底部的底部取下侧取下侧上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出由对称性，有由对称性，有上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出例例.计算计算 其中其中 S 是由平面是由平面 x=y=z=0 和和 x+y+z=1 所围的四面所围的四面体表面的外侧体表面的外侧.解解:设设 S1 是是取上侧取上侧 S2 是是S 的底部的底部取下侧取下侧在在 xy 坐标面上的投影区域为坐标面上的投影区域为 Dxy 先计算积分先计算积分上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出
13、由对称性由对称性上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出例例.计算计算 其中其中 S 是球面是球面取外侧为正向取外侧为正向.解解:设设 S1 是上半球面是上半球面取上侧取上侧 S2 是下半球面是下半球面取下侧取下侧在在 xy 坐标面上的投影区域坐标面上的投影区域先计算积分先计算积分上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出同理可得同理可得所以所以上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出设光滑曲面设光滑曲面 S，其指定一侧的法方向余弦为：，其指定一侧的法方向余弦为：则沿曲面则沿曲面 S 指定一侧的曲面积分指定一侧的曲面积分四、四、两类曲面积分的联系两类曲面积分的联系上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出一般地有一般地有其中其中为曲面为曲面 S 指定一侧的法方向余弦指定一侧的法方向余弦.向量形式：向量形式：其中其中上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出内容小结内容小结1.定义定义上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出2.性质性质3.计算计算设设上正下负上正下负上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出两类曲面积分的联系两类曲面积分的联系: