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1、第三节第三节 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法一、换元公式一、换元公式三、小结三、小结 思考题思考题二、分部积分公式二、分部积分公式不定积分不定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法1定理定理一、换元公式2证证34说明说明:1)当当 ,即即区间换为区间换为定理定理 1 仍成立仍成立.2)必需必需注意换元必换限注意换元必换限,原函数中的变量不必代回原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用换元公式也可反过来使用,即即或配元或配元配元不换限配元不换限5例例1 1 计算计算解解令令6例例2 2 计算计算解解7例例3
2、 3 计算计算解解原式原式8例例4 4 计算计算解解令令原式原式9证证1011奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积12证证（1）设）设13（2）设）设1415定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导二、分部积分公式16例例8 8 计算计算解解令令则则17例例9 9 计算计算解解18例例1010 计算计算解解19例例1111 设设 求求解解2021例例1212 证明定积分公式证明定积分公式为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设22积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止23于是于是
3、24内容小结内容小结 基本积分法基本积分法换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法换元换元必必换限换限配元配元不不换限换限边积边代限边积边代限思考与练习思考与练习1.提示提示:令令则则252.设设解法解法1解法解法2对已知等式两边求导对已知等式两边求导,思考思考:若改题为若改题为提示提示:两边求导两边求导,得得得得263.设设求求解解:(分部积分分部积分)27作业作业P249 1(4),(10),(16);6;11 (4),(9),(10)28备用题备用题1.证明证明 证：证：是以是以 为为周期的函数周期的函数.是以是以 为周期的周期函数为周期的周期函数.29解：解：2.右端右端试证试证分部积
4、分积分分部积分积分再次分部积分再次分部积分=左端左端30几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法定积分的换元法三、小结31定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）32思考题思考题133思考题思考题1解答解答34思考题思考题2解解 令令35思考题思考题2解答解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.正确解法是正确解法是36练练 习习 题（第一部分）题（第一部分）3738练习题答案（第一部分）练习题答案（第一部分）3940练练 习习 题（第二部分）题（第二部分）41424344练习题答案（第二部分）练习题答案（第二部分）45