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1、北方民族大学信息与计算科学系第六章第六章 稳定性模型稳定性模型 捕鱼业的持续收获捕鱼业的持续收获 军备竞赛军备竞赛 种群的相互竞争种群的相互竞争 种群的相互依存种群的相互依存 种群的弱肉强食种群的弱肉强食北方民族大学信息与计算科学系稳定性模型稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势间充分长以后过程的变化趋势 平衡状平衡状态是否稳定。态是否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。理论研究平衡状态的稳定性。北方民族大学信息与计算科学系 捕鱼业的持续收获捕鱼业的持续收
2、获问问题题及及 分分析析 在在捕捞量稳定捕捞量稳定的条件下，如何控的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。制捕捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，如果使捕捞量等于自然增长量，渔渔场鱼量将保持不变场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。，则捕捞量稳定。北方民族大学信息与计算科学系产量模型产量模型假假设设 无捕捞时鱼的自然增长服从无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模建模 不需要求解不需要求解x(t),只需知道只需知道x(t)稳定稳定的条件的条件r固有增长率固有增长率,N最大鱼最大鱼量量h(x)=Ex,E捕捞
3、强度捕捞强度x(t)渔场鱼量渔场鱼量北方民族大学信息与计算科学系稳定性判断稳定性判断x0 稳定稳定,可得到稳定产量可得到稳定产量x1 稳定稳定,渔场干枯渔场干枯E捕捞强度捕捞强度r固有增长率固有增长率北方民族大学信息与计算科学系y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)f 与与h交点交点Phmx0*=N/2P*y=E*x北方民族大学信息与计算科学系效益模型效益模型假设假设 鱼销售价格鱼销售价格p 单位捕捞强度费用单位捕捞强度费用c 单位时间利润单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大强度使效益最大.稳定平衡点稳定平衡点求求E使使R(E)
4、最大最大渔场渔场鱼量鱼量收入收入 T=ph(x)=pEx支出支出 S=cE北方民族大学信息与计算科学系EsS(E)T(E)0rE捕捞捕捞过度过度 封闭式捕捞封闭式捕捞追求利润追求利润R(E)最大最大 开放式捕捞开放式捕捞只求利润只求利润R(E)0R(E)=0时的捕捞强度时的捕捞强度(临界强度临界强度)Es=2ERERE*北方民族大学信息与计算科学系 军备竞赛军备竞赛 描述双方描述双方(国家或国家集团国家或国家集团)军备竞赛过程军备竞赛过程 解释解释(预测预测)双方军备竞赛的结局双方军备竞赛的结局假假设设 1）一方军备越大，另一方军备增加越快；）一方军备越大，另一方军备增加越快；2）一方军备越大
5、，对自己军备增长的制约）一方军备越大，对自己军备增长的制约 越大；越大；3）每一方都存在增加军备的潜力。）每一方都存在增加军备的潜力。目的目的北方民族大学信息与计算科学系建建模模x(t)甲方军备数量，甲方军备数量，y(t)乙方军备数量乙方军备数量,本方经济实力的制约；本方经济实力的制约；k,l 对方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g,h 本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的潜力。北方民族大学信息与计算科学系线性常系数线性常系数微分方程组微分方程组的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点P0(x0,y0)=(0,0)代数方代数方程程的根的根北方民族大学信息与计算科学系平衡点平衡点稳定性
6、判断稳定性判断系数系数矩阵矩阵平衡点平衡点(x0,y0)稳定的条稳定的条件件模型模型军备竞赛军备竞赛北方民族大学信息与计算科学系模型的定性解释模型的定性解释双方军备稳定双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值时间充分长后趋向有限值)的条件的条件1)双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才才会稳定，否则军备将无限扩张。会稳定，否则军备将无限扩张。2)若若g=h=0,则则 x0=y0=0,在在 kl 下下 x(t),y(t)0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平。即友好邻国通过裁军可达到永久和平。北方民族大学信息与计算科学系3）若）若 g,h 不为零，即便双方
7、一时和解，使某时不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),y(t)很小，但因很小，但因 ，也会重整军备。，也会重整军备。4）即使某时一方）即使某时一方(由于战败或协议由于战败或协议)军备大减军备大减,如如 x(t)=0，也会因也会因 使该方重整军备，使该方重整军备，即存在互不信任即存在互不信任()或固有争端或固有争端()的单方的单方面裁军不会持久。面裁军不会持久。北方民族大学信息与计算科学系 种群的相互竞争种群的相互竞争自然环境中两个种群之间关系：相互竞争；相自然环境中两个种群之间关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。互依存；弱肉强食。当两个种群相互竞争时，常见的结局是，竞争当两个种群相互竞争时
8、，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。容量。建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。分析产生这种结局的条件。北方民族大学信息与计算科学系模模型型假假设设甲乙两种群独自生存时数量变化均甲乙两种群独自生存时数量变化均服从服从Logistic规律规律;乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比比;甲对乙有同样的作用。甲对乙有同样的作用。对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙大于甲作用，乙大于甲乙的竞争力强乙的竞争力强模型模型北方民族大学信息与计
9、算科学系模型模型分析分析(平衡点及其稳定性平衡点及其稳定性)(二阶二阶)非线性非线性(自治自治)方程方程的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点P0(x10,x20)代数方程代数方程的根的根若从若从P0某邻域的任一初值出发，都有某邻域的任一初值出发，都有称称P0是微分方程的是微分方程的稳定平衡点稳定平衡点北方民族大学信息与计算科学系仅当仅当 1,2 1时，时，P3才有意义才有意义北方民族大学信息与计算科学系平衡点稳平衡点稳定性分析定性分析平衡点平衡点 Pi 稳定条件：稳定条件：p 0 且且 q 0北方民族大学信息与计算科学系种群竞争模型的平衡点及稳定性种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定
10、不稳定平平 衡点衡点 21,11,P1,P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3 是两种群共存的平衡点是两种群共存的平衡点 11,21P1稳定的条件稳定的条件 11?11 21,11P1,P2都不都不(局部局部)稳稳定定0(3)11,21,21,21加上与加上与(4)相区别的相区别的 11 P2 稳定稳定 P3 稳定稳定P1全局稳定全局稳定北方民族大学信息与计算科学系结果解释结果解释对于消耗甲的资源而言，对于消耗甲的资源而言，乙乙(相对于相对于N2)是甲是甲(相相对于对于N1)的的 1 倍。倍。对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙小于甲作用，乙小于甲乙的竞争力
11、弱乙的竞争力弱 P1稳定的条件：稳定的条件：11 21 甲的竞争力强甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝甲达到最大容量，乙灭绝 P2稳定的条件：稳定的条件：11,21 P3稳定的条件：稳定的条件：11,21通常通常 1 1/2，P3稳定条件不满足稳定条件不满足北方民族大学信息与计算科学系 种群的相互依存种群的相互依存甲甲乙乙两两种种群群的的相相互互依依存存有有三三种种形形式式1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时时相互提
12、供食物、促进增长。相互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。相互提供食物、促进增长。北方民族大学信息与计算科学系模模型型假假设设 甲可以独自生存，数量变化服从甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律规律;乙为甲提供食物、促进增长。乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲为乙提供食物；乙受到乙不能独自生存；甲为乙提供食物；乙受到本身的阻滞作用本身的阻滞作用(服从服从Logistic规律规律)。模模型型北方民族大学信息与计算科学系种群依存模型的平衡点及稳定性种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生
13、的平衡点是甲乙相互依存而共生的平衡点稳定条件稳定条件不稳定不稳定平衡点平衡点北方民族大学信息与计算科学系0 11,1 21 P2稳定稳定北方民族大学信息与计算科学系 1 21 前提下前提下P2存在的必要条件存在的必要条件结结果果解解释释 21 甲必须为乙提供足够的食物甲必须为乙提供足够的食物甲为乙提供的食物是乙消耗的甲为乙提供的食物是乙消耗的 2 倍倍 11,1 21条件下使条件下使 1 2 0P:临界状态临界状态 q 0P 不稳定不稳定 北方民族大学信息与计算科学系tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.3
14、00023.97633.92695.10009.616216.72355.2000 9.017316.20649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件用数学软件MATLAB求求微分方程数值解微分方程数值解xy 平面上的相轨平面上的相轨线线北方民族大学信息与计算科学系计算结果（数值，图形）计算结果（数值，图形）x(t),y(t)是周期函数，相图是周期函数，相图(x,y)是封闭曲是封闭曲线线x(t),y(t)xmax 65.5,xmin 6,ymax 20.5,ymin 用数值积分可算出用数值积分可算出 x(t),
15、y(t)一周期的平均值：一周期的平均值：x(t)的平均值约为的平均值约为25,y(t)的平均值约为的平均值约为10。食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)北方民族大学信息与计算科学系用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性北方民族大学信息与计算科学系x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性相轨线相轨线时无相轨线时无相轨线以下设以下设北方民族大学信息与计算科学系y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0 xx0P0 x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相轨线相轨线退化为退化为P点点 存在
16、x1x0 x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相轨线相轨线P中心中心北方民族大学信息与计算科学系相轨线相轨线是封闭曲线是封闭曲线x(t),y(t)是周期函数是周期函数(周期记周期记 T)求求x(t),y(t)在一周期的平均值在一周期的平均值轨线轨线中心中心用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性北方民族大学信息与计算科学系T2T3T4T1PT1 T2 T3 T4x(t)的的“相位相位”领先领先 y(t)模型解释模型解释初值初值相轨线的方向相轨线的方向北方民族大学信息与计算科学系Pr/ad/b捕食者数量与捕食者数量与r成正比成正比,与与a成反比成反比食饵食饵数量与数量与d成正比成正比,与与b成反比成反比北方民族大学信息与计算科学系一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-1,dd+1捕捞捕捞战时战时捕捞捕捞rr-2,dd+2,2 1xy食饵食饵(鱼鱼)减少，减少，捕食者捕食者(鲨鱼鲨鱼)增加增加自然环境自然环境北方民族大学信息与计算科学系两种群模型的几种形式两种群模型的几种形式 相互竞争相互竞争相互依存相互依存弱肉强食弱肉强食