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1、微分方程建模邢培旭 微分方程建模的思想和方法微分方程建模的思想和方法 微分方程建模的简单实例微分方程建模的简单实例 微分方程的平衡点、稳定性微分方程的平衡点、稳定性主要内容 案例案例 微分方程建模微分方程建模23一、微分方程建模的思想一、微分方程建模的思想v微分方程是研究函数变化规律的有力工微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛和实际的应用。具，有着广泛和实际的应用。最简单的微分方程：设最简单的微分方程：设最简单的微分方程：设最简单的微分方程：设 表示表示表示表示t t时刻人口时刻人口时刻人口时刻人口的密度：的密度：的密度：的密度：4 一、微分方程建模的思想一、微分方程建模的思想微分方
2、程建模：微分方程建模：（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经过）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经过实践检验的规律和定理；实践检验的规律和定理；（2）利用微元法。）利用微元法。（3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经济）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不同学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求解的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、近
3、似这些现象。近似这些现象。5 1.估计死亡时间估计死亡时间 二、微分方程建模的简单实例二、微分方程建模的简单实例 在凌晨在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体的温度是时警察发现一具尸体，测得尸体的温度是29，当，当时环境的温度是时环境的温度是21.1h后尸体温度下降到后尸体温度下降到27，若人体正常，若人体正常的体温是的体温是37，估计死亡时间。，估计死亡时间。6 二、微分方程建模的简单实例二、微分方程建模的简单实例 1.估计死亡时间估计死亡时间解方程得：解方程得：T(t)=29时，时，t这时求得的这时求得的t是死者从死是死者从死亡时间到尸体被发现所经亡时间到尸体被发现所经历的时间。因此可得，死
4、历的时间。因此可得，死者的死亡时间大致在前一者的死亡时间大致在前一天晚上的天晚上的10：35.7 三、微分方程的平衡点及稳定性三、微分方程的平衡点及稳定性 实际中，对于很多问题的微分方程模型并不需要求其实际中，对于很多问题的微分方程模型并不需要求其一般解，而是需要求其某种理想状态下的解，这种解称为一般解，而是需要求其某种理想状态下的解，这种解称为平衡点。平衡点。8 三三 .微分方程的平衡点及其稳定性微分方程的平衡点及其稳定性 平衡点的概念平衡点的概念9 三三.微分方程的平衡点及其稳定性微分方程的平衡点及其稳定性 平衡点的概念平衡点的概念10 三三 .微分方程的平衡点及其稳定性微分方程的平衡点及
5、其稳定性 平衡点的概念平衡点的概念11 三三 .微分方程的平衡点及其稳定性微分方程的平衡点及其稳定性 2.一阶方程的平衡点及稳定性一阶方程的平衡点及稳定性12 三三 .微分方程的平衡点及其稳定性微分方程的平衡点及其稳定性 3.微分方程组的平衡点及稳定性微分方程组的平衡点及稳定性13 战争的预测与评估问题战争的预测与评估问题 问题的提出问题的提出 由于国与国之间和地区之间的种族歧视、民族由于国与国之间和地区之间的种族歧视、民族矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成了局部矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成了局部战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处
6、于敌对状态，必然会导致敌对双方的军备竞赛，军事装对状态，必然会导致敌对双方的军备竞赛，军事装备现已成为决定战争胜负的重要因素备现已成为决定战争胜负的重要因素军事装备军事装备:军事实力的总和，主要包括武器装军事实力的总和，主要包括武器装备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等 现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不同兵种的特点同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的在不同的区域参加战斗，都对战争的结果产生一定的影响结果产生一定的影响14 问题的提出问题的提出现在要求建立数学模型讨论的问题：现在要求建立数学模型讨论
7、的问题：(1)(1)分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多因素之间的相互关系进行讨论；因素之间的相互关系进行讨论；(2)(2)在多兵种的作战条件下，对作战双方的战在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析势进行评估分析.（3 3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。15 2.模型的假设模型的假设16 3.模型的建立与求解模型的建立与求解17 3.模型的建立与求解模型的建立与求解特征方程为：特征方程为：p0,q0稳稳定，定，q0不不稳定稳定.18 3.模型的建立与求解模型的建立与求解19 3.模型的建立与求解模型的建立与求解