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1、4.2.1 4.2.1 指数函数的概念指数函数的概念1.1.理解指数函数的概念，理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合了解对底数的限制条件的合理性理性2.2.在解决实际问题中，体会指数函数是一类重要的函在解决实际问题中，体会指数函数是一类重要的函数模型数模型学习目标（学习目标（1 1分钟）分钟）问题导学（问题导学（6 6分钟）分钟）阅读课本阅读课本P54-57P54-57，思考下列问题：，思考下列问题：1.1.指数函数的定义？指数函数的定义？2.2.底数底数a a有何要求？有何要求？3.3.指数函数与幂函数有何不同？指数函数与幂函数有何不同？问题随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高
2、，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式由于旅游人数不断增加，两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，地提高了景区门票价格，而地则取消了景区门票点拨精讲（点拨精讲（2020分钟）分钟）下表给出了，两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量人次人次/万次万次130011009007005003002001 2003 200520072009201120132015时间/年A地景区B地景区人次/万次130011009007005003002001 2003 200520072009201120132015时间/年 A A景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增长量大致相等景区的游
3、客人次近似于直线上升（线性增长），年增长量大致相等（约（约为为1010万次）；万次）；B B景区的游客人次则是非线性增长，年增长量越来越大，景区的游客人次则是非线性增长，年增长量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律但从图象和年增加量都难以看出变化规律.比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的能否通过对地景年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的能否通过对地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？从从200
4、22002年起，将地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到年起，将地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到年后，游客人次是年的年后，游客人次是年的1.111.111 1倍；倍；年后，游客人次是年的年后，游客人次是年的1.111.112 2倍；倍；年后，游客人次是年的年后，游客人次是年的1.111.113 3倍；倍；x x年后，游客人次是年的年后，游客人次是年的1.111.11x x倍倍如果设经过如果设经过x x年后的游客人次为年的年后的游客人次为年的y y倍，那么倍，那么y y 1.11 1.11x x（x x，）这是一个函数，其中指数这是一个函数，其中指数x x是自变量是
5、自变量问题问题当生物死亡后，它机体内原有的碳当生物死亡后，它机体内原有的碳1414含量会按确定的比率衰减含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过（称为衰减率），大约每经过57305730年衰减为原来的一半，这个时间称为年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳按照上述变化规律，生物体内碳1414含量与死亡年数之间有怎样含量与死亡年数之间有怎样的关系？的关系？死亡1年后，生物体内碳14的含量为1-p；死亡2年后，生物体内碳14的含量为(1-p)；死亡3年后，生物体内碳14的含量为(1-p)；死亡5730年后，生物体内碳14的含量为(1-p)5730；死亡
6、x年后，生物体内碳14的含量为(1-p)x.分析：（1）设死亡生物体内碳14含量的年衰减率年衰减率为p，我们把刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，那么根据已知，根据已知，从而，从而 ，所以所以 （是个常数）（是个常数）设生物体内碳14含量为y，死亡年数为x，那么y=(1-p)x 即这是一个以指数这是一个以指数x x（生物体死亡年数）为自变量，生物体内碳（生物体死亡年数）为自变量，生物体内碳1414含量含量y y为为因变量的函数因变量的函数.像这样，衰减率（减少率）为常数的变化方式，我们称为像这样，衰减率（减少率）为常数的变化方式，我们称为指数衰减指数衰减，因此，死亡生物体内碳，因此，死亡生物
7、体内碳1414含量呈指数衰减含量呈指数衰减.如果用字母如果用字母a a代替上述代替上述 两式中的底数两式中的底数1.111.11和和 ，则得则得“”“”形式形式.其中指数其中指数x x是自变量，底数是自变量，底数a a是一个大于是一个大于0 0且不等于且不等于1 1的常的常量量a ax x的系数是的系数是1 1y y 1.11 1.11x x（x x，）一般地，函数一般地，函数y y=f f(x x)=)=a ax x(a a00且且a a1)1)叫做叫做指数函数指数函数，其中指数其中指数x x是自变量，函数的定义域是实数集是自变量，函数的定义域是实数集R.R.指数函数的定义指数函数的定义(1
8、)(1)底数底数a a00且且a a1 1，也，也不含有自变量不含有自变量x.x.(2)(2)指数位置是自变量指数位置是自变量x x，且，且x x的系数是的系数是1.1.(3)(3)a ax x的系数是的系数是1.1.(1)(1)均是以自变量为底的幂；均是以自变量为底的幂；(2)(2)指数为常数；指数为常数；(3)(3)自变量前的系数为自变量前的系数为1 1。例例1.1.下列函数中，哪些是指数函数？下列函数中，哪些是指数函数？(3)y=-4x(4)y=(-4)x(5)y=x(6)y=4 2x(2)y =3 3-x-x (8)y =(2a 1)x (a1/2且且a1)(1)y=4x+1 (2)(
9、2)(5)(5)（6 6）(8)(8)(7)y=x4-1(9)y =3 3x x+1+1例2.（课本114）已知指数函数f(x)=ax(a0，且a1)，且f(3)=，求的f(0)，f(1)，f(-3)值.解：因为f(x)=ax，且f(3)=，则a3=，解得 ，于是所以，总结：待定系数法确定指数函数解析式，只需列一个方程.例例3(3(课本课本P114)P114)在问题中，如果平均每位游客出游一次可给当地在问题中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来带来10001000元门票之外的收入，地景区的门票价格为元门票之外的收入，地景区的门票价格为150150元，比较这元，比较这1515年间，两地旅游收入
10、变化情况年间，两地旅游收入变化情况解：设经过解：设经过x x年，游客给，两地带来的收入分别为年，游客给，两地带来的收入分别为f(x)f(x)和和g g（x x），），则则f f（x x）11501150（10 x+60010 x+600），），g g（x x）=10002781.1110002781.11x x利用计算工具可得，利用计算工具可得，当当x=0 x=0时，时，f f（0 0）g g（0 0）412000412000当当x x10.2210.22时，时，f f（10.2210.22）g g（10.2210.22）结合图可知：结合图可知：当当x x10.2210.22时，时，f f（x
11、 x）g g（x x），），当当x x10.2210.22时，时，f f（x x）g g（x x）当当x x1414时，时，f f（1414）g g（1414）347303347303 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N N，每次的增长率为每次的增长率为p p，经过，经过x x次增长，该量增长到次增长，该量增长到y y，则，则y y=N N(1+(1+p p)x x，x xN.N.形如形如y y=k ka ax x(k kR R，a a00，且，且a a1)1)的函数是刻画指数增长的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的
12、函数模型或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.指数增长模型指数增长模型指数函数概念指数函数概念 函数函数y=ay=ax x(a(a 0 0，且，且a a 1)1)叫做指数函数，其中指叫做指数函数，其中指数数x x是自变量是自变量 ,函数的定义域是函数的定义域是R.R.课堂小结（课堂小结（1 1分钟）分钟）注意：注意：(1)(1)底数底数a a00且且a a1 1，也不含有自变量，也不含有自变量x.x.(2)(2)指数位置是自变量指数位置是自变量x x，且，且x x的系数是的系数是1.1.(3)(3)a ax x的系数是的系数是1.1.当堂检测（当堂检测（1212分钟）分钟）2.2.（课本（课本115115）下列图象中，有可能表示指数函数的是（）下列图象中，有可能表示指数函数的是（）D D C C1.D 2.C1.D 2.C