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1、 山东理工职业学院 高等数学1.7函数的连续性1.7 函数的连续性第一章一、增量设函数设函数 ，当自变量，当自变量 从初值从初值 变到终值变到终值 ，那么终值与初，那么终值与初值的差值的差 ，叫做，叫做自变量自变量 的增量（或改变量）的增量（或改变量），记为，记为 ，即即 定义定义 自变量的增量注意 可以是正值、负值1.7 函数的连续性第一章叫做叫做函数的增量函数的增量(或改变量）或改变量），记作记作 当自变量当自变量 由由 变到变到 时，函数时，函数 由由 变到变到 ，我们把差值，我们把差值即即 函数的增量注意 可以是正值、负值、零1.7 函数的连续性第一章例例1 1设设 ,求适合下列条件的
2、自变量的增量求适合下列条件的自变量的增量 和和函数增量函数增量 ：（1 1）当）当 由由 变到变到（2 2）当）当 由由 变到变到解解（1 1）（2 2）1.7 函数的连续性第一章二、函数的连续性的概念定义定义1设函数设函数 在点在点 的某邻域内有定义，如果当自变量的某邻域内有定义，如果当自变量 在在 处的增量处的增量 趋近于零时，函数趋近于零时，函数 的相应增量的相应增量 也也趋近于零，趋近于零，即即 (1)(1)那么称那么称函数函数 在点在点 处连续处连续，称为函数称为函数 的的连续点连续点.函数在点 处连续1.7 函数的连续性第一章函数函数 的连续性反映了的连续性反映了 随随 的渐变而渐
3、变的特征的渐变而渐变的特征.即自变量即自变量 在在 处有微小改变时处有微小改变时,相应的函数值相应的函数值 也有微也有微小改变小改变.1.7 函数的连续性第一章若记若记 ，则，则 ，相应地函数的改变量，相应地函数的改变量当当 时时,即即 ;,;,即即 于是于是,函数在点函数在点 连续定义的连续定义的(1)(1)式式,又可记作又可记作 设设函数函数 在在点点 的某邻域内有的某邻域内有定义定义，若若 （2 2），则称，则称函数函数 在在点点 处连续处连续，称为函数称为函数 的的连续点连续点.定义定义21.7 函数的连续性第一章函数函数 在在点点 的某邻域内有的某邻域内有定义定义0102极限极限 存
4、在存在03函数在函数在点点 处处连续连续必须同时满足必须同时满足以下三个条件以下三个条件1.7 函数的连续性第一章例例2 2讨论函数讨论函数 在在 处是否连续？处是否连续？解解函数函数 在在 处有定义，处有定义，且且于是于是所以，函数所以，函数 在在 处连续处连续.1.7 函数的连续性第一章例例3 3讨论函数讨论函数 在在 处是否连续？处是否连续？解解函数函数 在在 处有定义，处有定义，且且于是于是所以，函数所以，函数 在在 处处不不连续连续.1.7 函数的连续性第一章课课堂堂练练习习DA.B.C.D.当当 ()()时时,函数函数 在在 处连续处连续.函数函数 在在 处连续处连续 解析解析1.
5、7 函数的连续性第一章设设函数函数 在在点点 的某邻域内有的某邻域内有定义定义，若若 （或（或 ），则称，则称函数函数 在在点点 处左处左(右右)连续连续.定义定义3 左、右连续函数函数 在点在点 连续的充要条件是：函数连续的充要条件是：函数 在点在点既左连续，又右连续，既左连续，又右连续，即即说明说明1.7 函数的连续性第一章例例4 4讨论函数讨论函数在点在点 ，处的连续性处的连续性.解解 因为因为 的定义域是的定义域是 ，所以，所以 在在 和和 处都有定处都有定义义,（1 1）在点）在点 处处所以所以 在在点点 处处不连续不连续.不左连续不左连续右右连续连续且且1.7 函数的连续性第一章例
6、例4 4讨论函数讨论函数在点在点 ，处的连续性处的连续性.解解（2 2）在点）在点 处处左连续左连续右右连续连续所以所以 在在点点 处连续处连续.1.7 函数的连续性第一章课课堂堂练练习习解析解析 函数函数在在点点 处有定义，处有定义，且且所以所以 在在点点 处连续处连续.左连续左连续右右连续连续函数函数 在在 处（处（）A.连续连续 B.左、右都不连续 C.不连续，但左连续 D.不连续，但右连续 A1.7 函数的连续性第一章如果函数如果函数 在开区间在开区间 内每一点都连续，那么称内每一点都连续，那么称函数函数 在区间在区间 内连续内连续，或称函数，或称函数 为区间为区间 内的内的连续连续函
7、数函数，区间，区间 称为函数称为函数 的的连续区间连续区间.定义定义4如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 上有定义，在区间上有定义，在区间 内连续，且在右端点内连续，且在右端点 处左连续，在左端点处左连续，在左端点 处右连处右连 续，即续，即 那么称函数那么称函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续.在几何上，连续函数的图像是一条连续不间断的曲线1.7 函数的连续性第一章 函数的间断点 如果如果函数函数 在在 处不连续，那么称函数处不连续，那么称函数 在在 处处是间断的，是间断的，点点 称作函数称作函数 的的间断点或不间断点或不连续连续点点.定义定义5点 是函数 间断点的可能情形：（1）函数）函数
8、 在在 的左、右邻域内有定义，而在的左、右邻域内有定义，而在 没有定义；没有定义；（3）极限极限 存在，但不等于存在，但不等于（2）极限）极限 不存在；不存在；1.7 函数的连续性第一章 间 断 点 和 都存在第一类间断点第二类间断点跳跃间断点可去间断点无穷间断点 振荡间断点振荡不存在振荡不存在在在 处无定义，处无定义，存在存在 和 至少有一侧不存在1.7 函数的连续性第一章解解是其间断点是其间断点（1）函数函数 在在 处无定义，处无定义，是是可去可去间断点间断点（2）函数函数 在在 处无定义，处无定义，是其间断点是其间断点是无穷间断点是无穷间断点例例5 5求下列函数的间断点，并说明间断点属于
9、哪一类？求下列函数的间断点，并说明间断点属于哪一类？（1 1）（2 2）（3 3）1.7 函数的连续性第一章解解 （3）是函数是函数 的跳跃间断点的跳跃间断点 例例5 5求下列函数的间断点，并说明间断点属于哪一类？求下列函数的间断点，并说明间断点属于哪一类？（1 1）（2 2）（3 3）例例 函数函数是间断点是间断点当当 时时 在在 和和 之间振荡之间振荡 (振荡间断点）振荡间断点）（不存在不存在）1.7 函数的连续性第一章求函数求函数 的间断点，并说明间断点属于哪一类？的间断点，并说明间断点属于哪一类？解析解析 函数函数 在在 处无定义，处无定义，是其间断点是其间断点是无穷间断点是无穷间断点是是可去可去间断点间断点1.7 函数的连续性第一章理解函数连续性、间断点的理解函数连续性、间断点的定义定义掌握函数连续性的判别掌握函数连续性的判别会求函数的间断点会求函数的间断点内容小结3 321