学案2数形结合思想.ppt-淘文阁

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1、学案2数形结合思想 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1.1.已知已知0 0a a1,1,则方程则方程a a|x x|=|log=|loga ax x|的实数根的的实数根的个数为个数为（）A.1 A.1个个 B.2 B.2个个 C.3 C.3个个 D.1 D.1个或个或2 2个或个或3 3个个解析解析在同一坐标系下，画出函数在同一坐标系下，画出函数y y=a a|x x|，y y=|log=|loga ax x|的图象，则图象有两个交点的图象，

3、=1=1，a a，b b可在线段可在线段 AB AB上自由滑动，上自由滑动，a a，b b重叠部分的长度即为重叠部分的长度即为MMN N.如图，显然当如图，显然当a a，b b各自靠近各自靠近 AB AB两端时，重叠部分最短两端时，重叠部分最短,其值为其值为 .答案答案 C C3.3.若奇函数若奇函数f f(x x)在（在（0,+0,+）上是增函数，又）上是增函数，又f f(-3)(-3)=0 =0，则则 x x|x xf f(x x)00等于等于（）A.A.x x|x x3 3或或-3-3x x00 B.B.x x|0|0 x x3 3或或x x-3-3 C.C.x x|x x3 3或或x

4、 x-3-3 D.D.x x|0|0 x x3 3或或-3-3x x0 0 解析解析由由f f(x x)为奇函数且为奇函数且f f(-3)=0(-3)=0，得，得f f(3)=0.(3)=0.又又f f(x x)在（在（0,+)0,+)上是增函数，据上条件做出满足上是增函数，据上条件做出满足题意的题意的y y=f f(x x)草图，草图，如图，如右图中找出如图，如右图中找出f f(x x)与与x x异号异号的部分，可以看出的部分，可以看出x xf f(x x)0 0的解的解集为集为 x x|0|0 x x3 3或或-3-3x x0.0.答案答案 D D A.B.A.B.C.D.C.D.解析

5、解析由题意在坐标系下画出由题意在坐标系下画出|x x|+|+|y y|1|1的图象如右图阴影部分，的图象如右图阴影部分，若若x x=0=0时，时，|y y|1,|1,此时此时u u=0;=0;若若x x00时，变量时，变量可看成点可看成点A A(0(0，3)3)与可行域内的点与可行域内的点B B连线斜率连线斜率k k的的倒数倒数,而而k k(-,-33,+),(-,-33,+),答案答案 B B 题型一题型一代数问题代数问题“几何化几何化”以形助数以形助数【例【例1 1】解解由题意令由题意令所以所以x x2 2+2+2y y2 2=16(0 16(0 x x4,04,0y y),),

6、其图象其图象如右图所示，原式如右图所示，原式A A=x x+y y其几何其几何意义是直线在坐标轴上的截距，意义是直线在坐标轴上的截距，则则 A A=x x-y y 【探究拓展探究拓展】在解答此类问题时，主要是通过对】在解答此类问题时，主要是通过对“数数”的形式进行观察、分析，把的形式进行观察、分析，把“数数”转成转成图形，再借助其几何意义，通过图形，再借助其几何意义，通过“换元换元”使问使问题得以顺利解答题得以顺利解答.变式训练变式训练1 1解析解析则则3 3x x2 2+y y2 2=3,=3,即即(x x0,0,y y0)0)，又，又A A=x x-y y,所以所以A A的几何意

7、义是直线在的几何意义是直线在 x x轴上的截距，其图形如图，轴上的截距，其图形如图，则则A A ,1 ,1.题型二题型二几何问题几何问题“代数化代数化”以数助形以数助形【例【例2 2】设】设MM是抛物线是抛物线y y=x x2 2上的一点，若点上的一点，若点MM到直到直线线l l:4:4x x-3-3y y-8=0-8=0的距离的距离d d最小，求点最小，求点MM的坐标及的坐标及距离距离d d的最小值的最小值.解解方法一方法一设点设点MM（m m,m m2 2）,方法二方法二设过点设过点MM平行于直线平行于直线l l与抛物线相切的与抛物线相切的直线方程为直线方程为4 4x x-3

8、-3y y+b b=0,=0,则则整理得整理得3 3x x2 2-4-4x x-b b=0,=0,由题意可知由题意可知=4=42 2+12+12b b=0,=0,方法三方法三如图所示如图所示,若想使抛物线上的若想使抛物线上的点到直线点到直线l l的距离最小，只需抛物线在的距离最小，只需抛物线在点点MM处的切线与直线处的切线与直线l l平行即可平行即可,因为直因为直线线l l的斜率为的斜率为 ,抛物线的导数为抛物线的导数为y y=2=2x x,【探究拓展探究拓展】在解答此类问题时，利用待定系数法设】在解答此类问题时，利用待定系数法设出抛物线上动点的坐标，利用二次函数求最值，是出抛物线上

9、动点的坐标，利用二次函数求最值，是解决距离问题的重要方法；而利用直线平行求距离解决距离问题的重要方法；而利用直线平行求距离也是常规方法也是常规方法;利用导数求切线的斜率也是十分简利用导数求切线的斜率也是十分简单易行的好方法，这些方法是几种不同数学思想的单易行的好方法，这些方法是几种不同数学思想的应用应用,注意体会注意体会.变式训练变式训练2 2 设设F F1 1、F F2 2是椭圆的两个焦点是椭圆的两个焦点,若椭圆上存若椭圆上存在点在点P P,使使F F1 1PFPF2 2=120=120,则椭圆的离心率则椭圆的离心率e e的取值范的取值范围是围是 ()()A.B.A.B.C.D.

10、C.D.【解析解析】选选A.A.采用数形结合法采用数形结合法,如图如图,当当P P与与B B重合时重合时,当当P P与与B B不重合不重合时时,显然显然F F1 1PFPF2 2 故选故选A.A.A A 题型三题型三 “数数”“”“形形”互化，相得益彰互化，相得益彰【例【例3 3】已】已知二次函数知二次函数y y=f f1 1(x x)的图象以原点为顶的图象以原点为顶点且过点（点且过点（1 1，1 1），反比例函数），反比例函数y y=f f2 2(x x)的图象的图象与直线与直线y y=x x的两个交点间距离为的两个交点间距离为8 8，f f（x x）=f f1 1（x x）+f f2

11、 2（x x）.（1 1）求函数）求函数f f(x x)的表达式；的表达式；（2 2）证明：当）证明：当a a3 3时，关于时，关于x x的方程的方程f f(x x)=)=f f(a a)有三有三个实数解个实数解.（1 1）解解由已知由已知,设设f f1 1(x x)=)=axax2 2,由由f f1 1(1)=1,(1)=1,得得a a=1,=1,f f1 1（x x）=x x2 2.设设 (k k0)0)，它的图象与直线，它的图象与直线 y y=x x的交点分别为的交点分别为由由|ABAB|=8|=8，得，得k k=8,=8,(2)(2)证明证明方法一方法一由由f f(x x)=

12、)=f f(a a),),得得 .在同一坐标系在同一坐标系内作出内作出的大致图象，其的大致图象，其中中f f2 2(x x)的图象是位于第一、三象限的双曲线的图象是位于第一、三象限的双曲线,f f3 3(x x)的的图象是以图象是以(0,(0,)为顶点，开口为顶点，开口向下的抛物线向下的抛物线.因此因此f f2 2(x x)与与f f3 3(x x)的图象在第三象限有一个交点，的图象在第三象限有一个交点，即即f f(x x)=)=f f(a a)有一个负数解有一个负数解.又又f f2 2（2 2）=4=4，f f3 3（2 2）=，当当a a3 3时，时，f f3 3(2)-(2)-

13、f f2 2(2)=(2)=a a2 2+-80,+-80,当当a a3 3时，在第一象限时，在第一象限f f3 3(x x)的图象上存在一点的图象上存在一点(2,(2,f f3 3(2)(2)在在f f2 2(x x)图象的上方图象的上方.f f2 2(x x)与与f f3 3(x x)的图象在第一象限有两个交点，的图象在第一象限有两个交点，即即f f(x x)=)=f f(a a)有两个正数解有两个正数解.因此，在因此，在a a3 3时，方程时，方程f f(x x)=)=f f(a a)有三个实数解有三个实数解.方法二方法二由由f f(x x)=)=f f(a a),),得得即即得方

14、程的一个解得方程的一个解x x1 1=a a.方程方程化为化为axax2 2+a a2 2x x-8=0,-8=0,由由a a3,=3,=a a4 4+32+32a a0,0,得得 a a3,3,x x1 1x x2 2,若若x x1 1=x x3 3,则则3 3a a2 2=,=,a a4 4=4=4a a,得得a a=0=0或或a a=,=,这与这与a a3 3矛盾矛盾,x x1 1x x3 3.故原方程有三个实数解故原方程有三个实数解.【探究拓展探究拓展】在解答此类问题时，注意将方程】在解答此类问题时，注意将方程 f f(x x)=)=g g(x x)转化成函数，然后在同一坐标系下转化

15、成函数，然后在同一坐标系下画出函数画出函数y y=f f(x x)和和y y=g g(x x)的图象，通过研究的图象，通过研究函数图象交点的个数，来确定方程解的个数或函数图象交点的个数，来确定方程解的个数或函数零点的个数函数零点的个数.变式训练变式训练3 3 定义在定义在R R上的奇函数上的奇函数f f(x x)满足满足:当当x x0 0时时,f f(x x)=2 009)=2 009x x+log+log20092009x x,则在则在R R上上f f(x x)=0)=0的实数根的个的实数根的个数是数是_._.解析解析因当因当x x0 0时，时，f f(x x)=0,)=0,即即-

16、2 009-2 009x x=log=log2 0092 009x x,在在同一坐标系中画出函数同一坐标系中画出函数y y=-2 009-2 009x x,y y=log=log2 0092 009x x的图象，如图，设图象相交于点的图象，如图，设图象相交于点 MM，即方程，即方程f f(x x)=0)=0有一解；又有一解；又f f(x x)是定义在是定义在R R上的奇上的奇函数，所以函数，所以x x=0=0是方程是方程f f(x x)=0)=0的解，当的解，当x x0 0时时,方程方程 f f(x x)=0)=0有一解，故有一解，故f f(x x)=0)=0的实数根有的实数根有3 3个个

17、.3 3【考题再现】【考题再现】（20082008四川）已知四川）已知x x=3=3是函数是函数f f(x x)=)=a aln(1+ln(1+x x)+)+x x2 2-10 10 x x的一个极值点的一个极值点.(1)(1)求求a a;(2)(2)求函数求函数f f(x x）的单调区间；）的单调区间；(3)(3)若直线若直线y y=b b与函数与函数y y=f f(x x)的图象有的图象有3 3个交点，个交点，求求b b的取值范围的取值范围.【解题示范解题示范】(1)(1)因为因为所以所以f f(3)=+6-10=0,(3)=+6-10=0,因此因此a a=16.2=16.2分分 (2)

18、(2)由由(1)(1)知知f f(x x)=16ln(1+)=16ln(1+x x)+)+x x2 2-10-10 x x,x x(-1,+),(-1,+),3 3分分当当x x(-1,1)(3,+)(-1,1)(3,+)时，时，f f (x x)0;4)0;4分分当当x x(1,3)(1,3)时时，f f(x x)0.5)0.5分分所以所以f f(x x)的单调增区间是的单调增区间是(-1,1)(-1,1)，(3,+)(3,+)；f f(x x)的单调减区间是的单调减区间是(1(1，3).63).6分分(3)(3)由由(2)(2)知，知，f f(x x)在在(-1,1)(-1,1)内单

19、调递增，在内单调递增，在(1(1，3)3)内单调递减，在内单调递减，在(3,+)(3,+)内单调递增，且当内单调递增，且当x x=1=1或或x x=3=3时，时，f f(x x)=0,)=0,所以所以f f(x x)的极大值为的极大值为f f(1)=16ln 2-9(1)=16ln 2-9，极小值为极小值为f f(3)=32ln2-21.9(3)=32ln2-21.9分分所以在所以在f f(x x)的三个单调区间的三个单调区间(-1(-1，1),(11),(1，3),(33),(3，+)+)上，上，直线直线y y=b b与与y y=f f(x x)的图象各有一个交点，的图象各有一个交点，当且仅

20、当当且仅当f f(3)(3)b b|的解集的解集为为（）A.A.x x|x x22或或x x-1 B.-1 B.x x|x x122C.C.x x|-1|-1x x2 D.2 D.x x|1|1x x22解析解析在同一坐标系中，作出在同一坐标系中，作出 y y=|=|x x|和和y y=的图象，如图，的图象，如图，由图象可知，当由图象可知，当x x122时，时，y y=|=|x x|的图象恒在的图象恒在y y=的图的图象的上方象的上方.B B2.2.已知函数已知函数f f(x x)=log)=log2 2(x x+1),+1),且且a a b b c c0,0,则则的大小关系是的大小关

21、系是（）A.B.A.B.C.D.C.D.解析解析作出函数作出函数f f(x x)=log)=log2 2(x x+1)+1)的图象，如图，而的图象，如图，而的几何意义是图象上的点与坐标原点连线的几何意义是图象上的点与坐标原点连线的斜率，由图象可知的斜率，由图象可知B B3.3.平面上的点平面上的点P P（x x,y y)使关于使关于t t的二次方程的二次方程t t2 2+tx tx+y y=0=0的根都是绝对值不超过的根都是绝对值不超过1 1的实数，那么这样的点的实数，那么这样的点P P的的集合在平面内的区域形状是集合在平面内的区域形状是（）解析解析因为方程因为方程t t2 2+t

22、x tx+y y=0=0的根都是绝对值不超过的根都是绝对值不超过1 1的的实数，所以实数，所以画出不等式组所表画出不等式组所表示的平面区域可知示的平面区域可知.D D4.4.已知函数已知函数f f(x x)=|)=|x x2 2+2+2x x|，若关于，若关于x x的方程的方程f f2 2(x x)+)+bf bf(x x)+c c=0=0有有7 7个不同的实数根，则个不同的实数根，则b b,c c的大小关系是的大小关系是()()A.A.b b c c B.B.b bc c或或b bc c中至少有一个正确中至少有一个正确 C.C.b b c c D.D.不能确定不能确定解析解析令令f f

23、(x x)=)=t t,则则 f f2 2(x x)+)+bf bf(x x)+)+c c=0 =0 可化为可化为t t2 2+bt bt+c c=0 =0 要使要使有有7 7个根，即个根，即f f(x x)=|)=|x x2 2+2+2x x|与与f f(x x)=)=t t有有7 7个交点个交点.如图，所以方如图，所以方程程必有两解，而必有两解，而f f(x x)=)=t t中的一条直线经过中的一条直线经过f f（x x）=|x x2 2+2+2x x|折上去的顶点，故折上去的顶点，故式有一解式有一解t t1 1=1,=1,另一解另一解 t t2 2(0,1)(0,1)，所以，所以b b=

24、-(=-(t t1 1+t t2 2)(-2,-1),)(-2,-1),c c=t t1 1t t2 2(0,1).(0,1).答案答案 C C5.5.已知实数已知实数，则实数，则实数A A的取的取值范围是值范围是（）A.B.A.B.C.D.C.D.解析解析原式可看成点原式可看成点P P(1,3)(1,3)Q Q()()两两点连线的斜率点连线的斜率.(0.(0y y1)1)；所以所以x x2 2+y y2 2=1(-1=1(-1x x0).0).点点Q Q位于单位圆在第二象位于单位圆在第二象限的圆弧上且端点的坐标分别是限的圆弧上且端点的坐标分别是B B(-1,0),(-1,0),C

25、 C(0,1).(0,1).k kPBPB=，k kPCPC=2.=2.设过设过点点P P与圆弧有公共点的直线方与圆弧有公共点的直线方程为程为l l：kxkx-y y-k k+3=0+3=0，则，则 1 1，即，即k k .结合图象，可结合图象，可得得A A ,2.,2.答案答案 C C二、填空题二、填空题6.6.已知函数已知函数f f(x x)=()=(x x-a a)()(x x-b b)+1)+1，且，且a a b b,若若m m、n n是方是方程程f f(x x)=0)=0的两根，且的两根，且m m n n,则实数则实数a a,b b,m m,n n的大小关的大小关系是系是_.

26、_.解析解析设函数设函数g g(x x)=()=(x x-a a)()(x x-b b),),则则f f(x x)=)=g g(x x)+1,)+1,所以函数所以函数f f(x x)的的图象是把函数图象是把函数g g(x x)的图象向上平的图象向上平移一个单位，则在同一坐标系移一个单位，则在同一坐标系中，作出函数中，作出函数g g(x x)、f f(x x)的图象的图象如右图，由图象可知：实数如右图，由图象可知：实数a a m m n n b b.amnbamnb 7.7.函数函数y y=f f(x x)=sin)=sin x x+2|sin+2|sin x x|(|(x x0 0，

27、22)的图象与直线的图象与直线y y=k k有且仅有两个不同的交点，则实数有且仅有两个不同的交点，则实数 k k的取值范围是的取值范围是_._.解析解析在坐标系中作出函数在坐标系中作出函数y y=f f(x x)的图象，如图，的图象，如图，因为直线因为直线y y=k k与与y y=f f(x x)的图象有且仅有两个不同的的图象有且仅有两个不同的交点，有图象可知：交点，有图象可知：11k k3.3.（1 1，3)3)8.8.动点动点P P（a a,b b)在不等式组在不等式组表示的平面表示的平面区域内部及边界上运动，则区域内部及边界上运动，则的取值范围的取值范围是是_._.解析解析

28、因为因为 ,而而表示点（表示点（1 1，2 2）与点）与点（a a，b b）连线的斜率）连线的斜率,则则 (-,-22,+)(-,-22,+)，所以，所以 (-，-13-13，+).+).(-,-13,+)(-,-13,+)9.9.已知实数已知实数 ,则实数则实数MM的取值范围是的取值范围是 _.解析解析因为实数因为实数 ,所以所以00a a 2,2,又又=令令x x=a a-1,-1,则则 (x x-1,1)-1,1)，所以实数所以实数MM可看成点可看成点P P(2,0)(2,0)Q Q（x x，）两点）两点连线的斜率连线的斜率.而点而点Q Q位于圆位于圆x x2 2+y y2 2=1

29、=1（x x-1-1，1 1，y y00）上）上,当直线当直线PQPQ与半圆弧相切时，此时的斜率与半圆弧相切时，此时的斜率最小最小,因因|OQOQ|=1,|=1,|OPOP|=2,|=2,OPQOPQ=30,=30,则则k kPQPQ=,=,结合图形综上可知：结合图形综上可知：MM ,0 ,0 ,0,0三、解答题三、解答题10.10.若方程若方程lg(-lg(-x x2 2+3+3x x-m m)=lg(3-)=lg(3-x x)在在x x(0,3)(0,3)内有唯内有唯一解，求实数一解，求实数m m的取值范围的取值范围.解解原方程即为原方程即为即即设设y y1 1=(=(x x-2

30、)-2)2 2,x x(0,3),(0,3),y y2 2=1-=1-m m,其图象如图，其图象如图，由图象可知：由图象可知：当当1-1-m m=0=0时，有唯一解，即时，有唯一解，即m m=1;=1;当当11-11-m m44时，有唯一解，即时，有唯一解，即-3-3m m0.0.综上可知：综上可知：m m=1=1或或-3-3m m0.0.11.11.如图如图,A A,B B,C C为函数为函数的图象上的三点，的图象上的三点，他们的横坐标分别是他们的横坐标分别是t t,t t+2,+2,t t+4(+4(t t1).1).(1)(1)设设ABCABC的面积为的面积为S S，求，求S S=f

31、f(t t)的解析式；的解析式；(2)(2)判断函数判断函数S S=f f(t t)的单调性；的单调性；(3)(3)求函数求函数S S=f f(t t)的最大值的最大值.解解(1)(1)过点过点A A，B B，C C分别作分别作ADAD,BEBE,CFCF垂直于垂直于x x轴，轴，垂足分别为垂足分别为D D，E E，F F.则则S S=S S梯形梯形ADEBADEB+S S梯形梯形BEFCBEFC-S S梯形梯形ADFC.ADFC.（2 2）因为）因为v v=t t2 2+4+4t t在在1,+)1,+)上是增函数，且上是增函数，且v v5,5,u u=1+=1+在在55，+)+)上是减函数，且上是减函数，且11u u ;S S=log=log3 3u u在在(1(1，上是增函数，上是增函数，所以复合函数所以复合函数S S=f f(t t)=log)=log3 3(1+)(1+)在在1,+)1,+)上是减函数上是减函数.(3)(3)由由(2)(2)知知t t=1=1时，时，S S有最大值，有最大值，其最大值为其最大值为S S=f f(1)=log(1)=log3 3 =2-log=2-log3 35.5.返回

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