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1、第第2 2讲讲 数形结合思想数形结合思想1.1.数形结合的数学思想：包含数形结合的数学思想：包含“以形助数以形助数”和和“以以 数辅形数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线性，即以数作
2、为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质的方程来精确地阐明曲线的几何性质.2.2.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个 原则：原则：（1 1）等价性原则）等价性原则.在数形结合时，代数性质和几何在数形结合时，代数性质和几何 性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏 洞洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数 的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅 显的说明，要注意其带来的负面效应显的说明，要注
3、意其带来的负面效应.（2 2）双方性原则）双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进既要进行几何直观分析，又要进 行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何 分析容易出错分析容易出错.（3 3）简单性原则）简单性原则.不要为了不要为了“数形结合数形结合”而数形结而数形结 合合.具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量 的取值范围，特别是运用函数图象
4、时应设法选择的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择 动直线与定二次曲线动直线与定二次曲线.3.3.数形结合思想解决的问题常有以下几种：数形结合思想解决的问题常有以下几种：（1 1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范 围围;（2 2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范 围；围；（3 3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间 的大小关系；的大小关系；（4 4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的 最值问题和证明不等式；最值问
5、题和证明不等式；（5 5）构建立体几何模型研究代数问题）构建立体几何模型研究代数问题;（6 6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型 研究最值问题；研究最值问题；（7 7）构建方程模型，求根的个数；）构建方程模型，求根的个数；（8 8）研究图形的形状、位置关系、性质等）研究图形的形状、位置关系、性质等.4.4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方 法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着 奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方奇特功效，这就要求我们在平时学习
6、中加强这方 面的训练，以提高解题能力和速度面的训练，以提高解题能力和速度.具体操作时，具体操作时，应注意以下几点：应注意以下几点：（1 1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2 2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的 是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的 表达式（有时可能先作适当调整表达式（有时可能先作适当调整,以便于作图），以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解然后作出两
7、个函数的图象，由图求解.5.5.在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需 做到以下四点：做到以下四点：（1 1）要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及）要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及 曲线的代数特征；曲线的代数特征；（2 2）要恰当设参）要恰当设参,合理用参合理用参,建立关系建立关系,做好转化；做好转化；（3 3）要正确确定参数的取值范围）要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗以防重复和遗 漏；漏；（4 4）精心联想）精心联想“数数”与与“形形”，使一些较难解决，使一些较难解决 的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问的代数问题几何化，几何
8、问题代数化，以便于问 题求解题求解.很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用 这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果.一、数形结合思想在解决方程、函数及不等式的一、数形结合思想在解决方程、函数及不等式的 问题中的应用问题中的应用 例例1 （1 1）已知：函数）已知：函数f f（x x）满足下面关系）满足下面关系.f f（x x+1+1）=f f（x x-1-1）；）；当当x x-1-1，1 1时，时，f f（x x）=x x2 2，则方程，则方程f f（x x）=lglg x x解的个数是（解的个数是（）A.5
9、B.7 C.9 A.5 B.7 C.9 D.10D.10 （2 2）设有函数）设有函数f f(x x)=)=a a+和和g g(x x)=)=已知已知x x-4,0-4,0时恒有时恒有f f(x x)g g(x x)，则实数，则实数a a的取的取 值范围是值范围是 .思维启迪思维启迪 （1 1）在同一坐标系中画出）在同一坐标系中画出y y=f f(x x)和和y y=lglg x x的图象的图象,由它们交点个数判断方程的解的个由它们交点个数判断方程的解的个数数;(2)(2)先将不等式先将不等式f f(x x)g g(x x)转化为转化为 然后在同一坐标系中分别作出函数然后在同一坐标系中分别作出
10、函数 的图象，移动的图象，移动 的图象使其的图象使其 满足条件，数形结合得要满足的数量关系满足条件，数形结合得要满足的数量关系.解析解析 （1 1）由题意可知，）由题意可知，f f(x x)是以是以2 2为周期，值域为周期，值域 为为0 0，1 1的函数的函数.又又f f(x x)=)=lglgx x，则，则x x(0,10(0,10,画出两函数图象，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数则交点个数即为解的个数.由图象可知共由图象可知共9 9个交点个交点.（2 2）f f(x x)g g(x x).).即即 变形得变形得 令令 变形得变形得(x x+2)+2)2 2+y y2 2=4(=4(y
11、 y0),0),即表示以即表示以(-2(-2，0)0)为圆心为圆心,2,2为半径的圆的上半圆；为半径的圆的上半圆；表示斜率为表示斜率为 纵截距为纵截距为1-1-a a的平行直线系的平行直线系.设与圆相切的直线为设与圆相切的直线为ATAT，其倾斜角为，其倾斜角为 ,则有则有 要使要使f f(x x)g g(x x)在在x x-4,0-4,0时恒成立，时恒成立，则则所表示的直线应在直线所表示的直线应在直线ATAT的上方或与它重的上方或与它重 合，合，故有故有1-1-a a6,6,a a-5.-5.答案答案 （1 1）C C （2 2）a a-5-5 探究提高探究提高 （1 1）用函数的图象讨论方程
12、（特别是）用函数的图象讨论方程（特别是 含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想 是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的 表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟 悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数 的图象，图象的交点个数即为方程解的个数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.（2 2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不）解不
13、等式问题经常联系函数的图象，根据不 等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函 数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数 量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免 繁琐的运算，获得简捷的解答繁琐的运算，获得简捷的解答.（3 3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标
14、.变式训练变式训练1 1 已知已知f f(x x)是定义在是定义在 （-3-3，3 3）上的奇函数，当）上的奇函数，当0 0 x x3 3时，时，f f(x x)的图象如图所示，那么不等式的图象如图所示，那么不等式 f f(x x)cos)cos x x 0 0的解集是（的解集是（）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 不等式不等式f f(x x)cos)cos x x0 0等价于等价于f f(x x)0,0,coscos x x0,0,或或f f(x x)0,0,coscos x x0,0,画出画出f f(x x)在（在（-3-3，3 3）上的图象，）上的图象，coscos x x的图象
15、又的图象又 熟知，运用数形结合，如图所示，从熟知，运用数形结合，如图所示，从“形形”中找中找 出图象分别在出图象分别在x x轴上、下部分的对应轴上、下部分的对应“数数”的区间的区间 为为答案答案 B B二、二、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用最值问题中的应用例例2 2 已知实数已知实数x x,y y满足满足x x2 2+y y2 2=3(=3(y y0)0)，（1 1）求）求m m的取值范围；的取值范围；（2 2）求证：）求证：思维启迪思维启迪 m m可以看作两点（可以看作两点（x x,y y）与）与(-3,-1)(-3,-1)连
16、线连线 的斜率，的斜率，b b可以看作直线可以看作直线y y=-2=-2x x+b b在在y y轴上的截距轴上的截距.(1)(1)解解 m m可看作过半圆可看作过半圆x x2 2+y y2 2=3(=3(y y0)0)上的点上的点 M M（x x,y y）和定点）和定点A A（-3-3，-1-1）的直线的斜率）的直线的斜率.由图可知由图可知k k1 1m mk k2 2(k k1 1,k k2 2分别为直线分别为直线AMAM1 1，AMAM2 2的的 斜率斜率)，圆心到切线圆心到切线k k2 2x x-y y+3+3k k2 2-1=0-1=0的距离为的距离为 (2)(2)证明证明 基基 b
17、b可看作斜率为可看作斜率为-2,-2,过半圆过半圆 (y y0)0)上一点上一点P P（x x,y y）的直线在）的直线在y y轴上的截距轴上的截距.由图可知由图可知n n2 2b bn n1 1,P P2 2C C的方程为的方程为 探究提高探究提高 条件中的数量关系决定了几何图形的条件中的数量关系决定了几何图形的 性质，反之，几何图形的性质反映了数量关系，性质，反之，几何图形的性质反映了数量关系，数形结合思想能将抽象思维与形象思维有机地结数形结合思想能将抽象思维与形象思维有机地结 合起来，恰当地运用可提高解题速度，优化解题合起来，恰当地运用可提高解题速度，优化解题 过程过程.圆心到切线圆心到
18、切线P P1 1B B：2 2x x+y y+c c=0=0的距离的距离x x2 2+y y2 2=3=3 变式训练变式训练2 2 已知实系数一元二次方程已知实系数一元二次方程x x2 2+axax+2+2b b=0=0 有两个根，一个根在区间（有两个根，一个根在区间（0 0，1 1）内，另一个根）内，另一个根 在区间（在区间（1 1，2 2）内，求：）内，求：（1 1）点（）点（a a,b b）对应的区域的面积；）对应的区域的面积；（2 2）的取值范围；的取值范围；（3 3）(a a-1)-1)2 2+(+(b b-2)-2)2 2的值域的值域.解解 方程方程x x2 2+axax+2+2b
19、 b=0=0的两根在区间（的两根在区间（0 0，1 1）和）和 (1,2)(1,2)上的几何意义分别是：函数上的几何意义分别是：函数 与与x x轴的两个交点的横坐标分别在区间轴的两个交点的横坐标分别在区间(0(0，1 1）和）和 （1 1，2 2）内，由此可得不等式组）内，由此可得不等式组f f(0)0,(0)0,f f(1)0,(1)0,(2)0,b b0,0,a a+2+2b b+10,+10.+20.y y=f f(x x)=)=x x2 2+axax+2+2b b 在如图所示的在如图所示的aObaOb坐标平面内坐标平面内,满满 足约束条件的点（足约束条件的点（a a,b b）对应的平）
20、对应的平 面区域为面区域为ABCABC（不包括边界）（不包括边界）.（1 1）ABCABC的面积为的面积为(h h为为A A到到O Oa a轴的距离轴的距离).).（2 2）的几何意义是点（的几何意义是点（a a,b b）和点）和点D D（1 1，2 2）连线的斜率连线的斜率.(3)(3)(a a-1)-1)2 2+(+(b b-2)-2)2 2表示区域内的点表示区域内的点(a a,b b)与定点与定点 (1(1，2)2)之间距离的平方之间距离的平方,(,(a a-1)-1)2 2+(+(b b-2)2)2 2(8,17).(8,17).三三、数形结合思想在几何问题中的应用、数形结合思想在几何
21、问题中的应用例例3 3 已知已知P P是直线是直线3 3x x+4+4y y+8=0+8=0上的动点，上的动点，PAPA、PB PB 是圆是圆x x2 2+y y2 2-2-2x x-2-2y y+1=0+1=0的两条切线，的两条切线，A A、B B是切点，是切点，C C 是圆心，求四边形是圆心，求四边形PACBPACB面积的最小值面积的最小值.思维启迪思维启迪 在同一坐标系中画出直线与圆在同一坐标系中画出直线与圆.作出圆作出圆 的切线的切线PAPA、PBPB,则四边形则四边形PACBPACB的面积的面积S S四边形四边形PACBPACB =S SPACPAC+S SPBCPBC=2=2S S
22、PACPAC.把把S S四边形四边形PACBPACB转化为转化为2 2倍的倍的 S SPAC PAC 可以有以下多条数形结合的思路可以有以下多条数形结合的思路.画出对应图形画出对应图形利用数形结合利用数形结合明确所求明确所求求解得结果求解得结果 解解 方法一方法一 从运动的观点看问题，当动点从运动的观点看问题，当动点P P沿直沿直 线线3 3x x+4+4y y+8=0+8=0向左上方或向右下方无穷远处运动向左上方或向右下方无穷远处运动 时，直角三角形时，直角三角形PACPAC的面积的面积S SRtRtPACPAC 越来越大，从而越来越大，从而S S四边形四边形PACBPACB也越来越大；当点
23、也越来越大；当点P P 从左上、右下两个方向向中间运动时从左上、右下两个方向向中间运动时,S S四边形四边形PACBPACB变变 小，显然，当点小，显然，当点P P到达一个最特殊的位置，即到达一个最特殊的位置，即CPCP垂垂 直直线时，直直线时，S S四边形四边形PACBPACB应有唯一的最小值，此时应有唯一的最小值，此时 方法二方法二 利用等价转化的思想利用等价转化的思想,设点设点P P坐标为（坐标为（x x,y y），），则则 由勾股定理及由勾股定理及ACAC=1=1，得，得 从而欲求从而欲求S S四边形四边形PACBPACB的最小值，的最小值，只需求只需求|PAPA|的最小子的最小子 值
24、，值，只需求只需求|PCPC|2 2=（x x-1)-1)2 2+(+(y y-1)-1)2 2的最小值，即定点的最小值，即定点C C（1 1，1 1）与直线上动点）与直线上动点P P（x x,y y）距离的平方的最小值，它）距离的平方的最小值，它 也就是点也就是点C C（1 1，1 1）到直线）到直线3 3x x+4+4y y+8=0+8=0的距离的平的距离的平 方，这个最小值方，这个最小值 方法三方法三 利用函数思想，将方法二中利用函数思想，将方法二中 中的中的y y由由3 3x x+4+4y y+8=0+8=0中解出，中解出，代入化为关于代入化为关于x x的一元函数，进而用配方法求最的一
25、元函数，进而用配方法求最 值，也可得值，也可得PACB 探究提高探究提高 本题的解答运用了多种数学思想方法：本题的解答运用了多种数学思想方法：数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思 想以及配方法，灵活运用数学思想方法，能使数想以及配方法，灵活运用数学思想方法，能使数 学问题快速得以解决学问题快速得以解决.变式训练变式训练3 3 （1 1）已知点）已知点P P在抛物线在抛物线y y2 2=4=4x x上，那么上，那么 点点P P到点到点Q Q（2 2，-1-1）的距离与点）的距离与点P P到抛物线焦点距到抛物线焦点距 离之和取得最小值时，点离之和取得
26、最小值时，点P P的坐标为（的坐标为（）A.B.A.B.C.(1,2)D.C.(1,2)D.（1 1，-2-2）（2 2）在平面直角坐标系）在平面直角坐标系xOyxOy中，设椭圆中，设椭圆 的焦距为的焦距为2 2c c，以点，以点O O为圆心，为圆心，a a为半径为半径 作圆作圆M M.若过点若过点 作圆作圆M M的两条切线互相垂直的两条切线互相垂直,则该椭圆的离心率为则该椭圆的离心率为 .解析解析 (1)(1)定点定点Q Q(2(2，-1)-1)在抛物线内部，由抛物线在抛物线内部，由抛物线 的定义知，动点的定义知，动点P P到抛物线焦点的距离等于它到准到抛物线焦点的距离等于它到准 线的距离，
27、问题转化为当点线的距离，问题转化为当点P P到点到点Q Q和到抛物线的和到抛物线的 准线距离之和最小时，求点准线距离之和最小时，求点P P的坐标，显然点的坐标，显然点P P是是 直线直线y y=-1=-1和抛物线和抛物线y y2 2=4=4x x的交点，解得这个点的坐的交点，解得这个点的坐 标是标是 (2)(2)设切点为设切点为A A，B B，如图所示，切线，如图所示，切线APAP、PBPB互相互相 垂直，又半径垂直，又半径OAOA垂直于垂直于APAP，所以，所以OPAOPA为等腰直为等腰直 角三角形，可得角三角形，可得 所以所以 答案答案 (1)(1)(2)(2)A A规律方法总结规律方法总
28、结 1.1.利用数形结合解题，只需把图象大致形状画出利用数形结合解题，只需把图象大致形状画出 即可，不需要精确图象即可，不需要精确图象.2.2.数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别在解选择题、填空题时更方便，可以法与技巧，特别在解选择题、填空题时更方便，可以提高解题速度提高解题速度.3.3.数形结合思想常用模型：数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式（或向量的模、复数的模）；点到直线的距离公式等（或向量的模、复数的模）；点到直线的距离公式等.一、选择题一、选
29、择题1.1.设函数设函数 若若f f（x x0 0）1 1，则，则x x0 0的的 取值范围是取值范围是 （）A.A.（-1-1，1 1）B.B.（-1-1，+）C.C.（-，-2-2）（0 0，+）D.D.（-，-1-1）（1 1，+）方法一方法一 因为因为f f（x x0 0）1 1，当，当x x00时，时，x x0 0-1-1；当；当x x0 00 0时，时，x x0 01.1.1.1.综上，综上，x x0 0的取值范围为（的取值范围为（-，-1-1）（1 1，+）方法二方法二 首先画出函数首先画出函数y y=f f（x x）与）与y y=1=1的图象（如的图象（如 图），解方程图），解
30、方程f f（x x）=1=1，得，得x x=-1=-1，或，或x x=1.=1.由图中易由图中易 得得f f（x x0 0）1 1时，所对应时，所对应x x0 0的取值范围为的取值范围为(-(-，-1)1)（1 1，+）.答案答案 D D2.2.（20092009天津理，天津理，8 8）已知函数）已知函数 若若f f(2-(2-a a2 2)f f(a a)，则实数，则实数a a的取值范围是的取值范围是 （）A.A.（-,-1-,-1）(2,+)(2,+)B.(-1,2)B.(-1,2)C.(-2,1)C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+)D.(-,-2)(1,+)解析解析 由由f f(x
31、 x)的图象的图象 可知可知f f(x x)在（在（-,+-,+）上是单调递增函数，由）上是单调递增函数，由 f f(2-(2-a a2 2)f f(a a)得得2-2-a a2 2a a,即即a a2 2+a a-2-20,0,解得解得-2-2a a 1.1.C3.3.定义在定义在R R上的偶函数上的偶函数y y=f f(x x)满足满足f f(x x+2)=+2)=f f(x x)，当，当x x 3,43,4时，时，f f(x x)=)=x x-2-2，则，则 （）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 由由f f(x x)=)=f f(x x+2)+2)知知T T=2=2为为f f(x
32、 x)的一个周期，设的一个周期，设 x x-1,0-1,0,知知x x+4+43,43,4,f f(x x)=)=f f(x x+4)=+4)=x x+4-+4-2=2=x x+2+2，画出函数，画出函数f f(x x)的图象，的图象，如图所示：如图所示：答案答案 C C4.4.方程方程 的实数解的个数是的实数解的个数是 （）A.2 B.3A.2 B.3 C.4 D.C.4 D.以上均不对以上均不对 解析解析 分别作出分别作出 的图象，如图的图象，如图:B由图象知方程的实数解有三个由图象知方程的实数解有三个5.5.若若 a an n 是等差数列，首项是等差数列，首项a a1 10,0,a a2
33、 0032 003+a a2 0042 0040,0,a a2 0032 003a a2 0042 0040,0,则使前则使前n n项和项和S Sn n0 0成立的最大成立的最大 自然数自然数n n是是 （）A.4 005 B.4 006A.4 005 B.4 006C.4 007 D.4 008C.4 007 D.4 008 方法一方法一 a a2 0032 0030,0,a a2 0042 0040,0,4 006 4 006为为S Sn n0 0的最大自然数的最大自然数n n.方法二方法二 a a1 10,0,a a2 0032 003+a a2 0042 0040 0且且a a2 00
34、32 003a a2 0042 0040,0,a a2 0032 0030 0且且a a2 0042 0040,0,S S2 0032 003为为S Sn n中的最大值中的最大值,S Sn n是关于是关于n n的二次函数，的二次函数，2 0032 003到对称轴的距离比到对称轴的距离比2 0042 004到对称轴的距离到对称轴的距离 小，小，在对称轴右侧，据二次函数图象的对称性：在对称轴右侧，据二次函数图象的对称性：4 0064 006在图象中右侧零点在图象中右侧零点B B的左侧，的左侧，4 0074 007，4 008 4 008 都在其右侧都在其右侧.S Sn n0 0中最大的自然数是中最
35、大的自然数是4 006.4 006.答案答案 B B二、填空题二、填空题6.6.函数函数 的最大值为的最大值为 .解析解析 可以与两点连线的斜率联系起可以与两点连线的斜率联系起 来来,它实际上是点它实际上是点P P（coscos ,sin ,sin ）与点）与点A A（，0 0）连线的斜率，而点）连线的斜率，而点P P（coscos ,sin ,sin ）在单位圆）在单位圆 上移动上移动,问题变为：求单位圆上的点与问题变为：求单位圆上的点与A A(，0)0)连线斜率的最大值连线斜率的最大值.如右图，显然，如右图，显然，当当P P点移动到点移动到B B点（此时，点（此时，ABAB与圆与圆 相切）
36、时，相切）时，APAP的斜率最大，最的斜率最大，最 大值为大值为17.7.ABAB是过椭圆是过椭圆b b2 2x x2 2+a a2 2y y2 2=a a2 2b b2 2的中心弦，的中心弦，F F（c c,0,0）为）为 它的右焦点，则它的右焦点，则FABFAB面积的最大值是面积的最大值是 .解析解析 如图所示，如图所示，F F为椭圆的左焦点，连结为椭圆的左焦点，连结 AFAF，BFBF，则四边形，则四边形AFBFAFBF为平行四边形，为平行四边形，当当A A与短轴端点重合时，（与短轴端点重合时，（S SABFABF）maxmax=bcbc.bc8.8.函数函数y y=f f（x x）的图
37、象与直线）的图象与直线x x=a a，x x=b b及及x x轴所围成轴所围成 图形的面积称为函数图形的面积称为函数f f（x x）在）在a a，b b上的面积上的面积.已知函数已知函数y y=sin=sin nxnx在在 上的面积为上的面积为 (n nN N*）,则则 （1 1）函数）函数y y=sin 3=sin 3x x在在 上的面积为上的面积为 ；（2 2）函数）函数y y=sin=sin（3 3x x-）+1+1在在 上的面积为上的面积为 .解析解析 （1 1）函数）函数y y=sin 3=sin 3x x在在 上的面积为上的面积为 根据根据y y=sin 3=sin 3x x的对称
38、性可知的对称性可知y y=sin 3=sin 3x x在在 上上 上的面积也为上的面积也为 y y=sin 3=sin 3x x在在 上的面积上的面积 为为 (2)(2)y y=sin(3=sin(3x x-)+1=1-sin 3-)+1=1-sin 3x x，其图象如下图所，其图象如下图所 示示.其面积如上图中阴影所示，由三角函数的对称性其面积如上图中阴影所示，由三角函数的对称性 可知其面积为可知其面积为 答案答案 三、解答题三、解答题9.9.不等式不等式x x2 2+|2+|2x x-4|-4|p p对所有对所有x x都成立，求实数都成立，求实数p p的的 最大值最大值.解解 构造函数构造
39、函数f f(x x)=|)=|x x-2|,-2|,g g(x x)=)=解不解不 等式等式 f f(x x)g g(x x)，即确定使函数，即确定使函数y y=f f(x x)的图象在的图象在函函 数数y y=g g(x x)“上方上方”的点的横坐标的点的横坐标x x的取值范围，的取值范围，而而 本题是已知这个范围对一切本题是已知这个范围对一切x x成立，求成立，求p p的最大值的最大值.如图，如图，的图象可以由的图象可以由 的图象的的图象的 顶点在顶点在y y轴上下移动而得，满足题目条件的解应为轴上下移动而得，满足题目条件的解应为 y y=|=|x x-2|-2|的图象在的图象在 的图象上
40、方的极端的图象上方的极端 情况情况.即即x x2 2-2-2x x-(-(p p-4)=0,-4)=0,=4+4(=4+4(p p-4)=0,-4)=0,p p=3.=3.即即p p的最大值为的最大值为3.3.10.10.已知已知A A（1 1，1 1）为椭圆）为椭圆 内一点，内一点，F F1 1为为 椭圆左焦点，椭圆左焦点，P P为椭圆上一动点，求为椭圆上一动点，求|PFPF1 1|+|+|PAPA|的最大值和最小值的最大值和最小值.解解 由由 可知可知a a=3,=3,b b=c c=2,=2,左焦点左焦点F F1 1(-2(-2，0 0），右焦点），右焦点F F2 2（2 2，0 0）.
41、由椭圆定义，由椭圆定义，|PFPF1 1|=2|=2a a-|-|PFPF2 2|=6-|=6-|PFPF2 2|，|PFPF1 1|+|+|PAPA|=6-|=6-|PFPF2 2|+|+|PAPA|=6+|=6+|PAPA|-|-|PFPF2 2|.|.如图，由如图，由|PAPA|-|-|PFPF2 2|AFAF2 2|=|=当当P P在在AFAF2 2的延长线上的的延长线上的P P2 2处时，取右处时，取右“=”；当当P P在在AFAF2 2的反向延长线的的反向延长线的P P1 1处时，取左处时，取左“=”，即即|PAPA|-|-|PFPF2 2|的最大、最小值分别为的最大、最小值分别为 于是于是|PFPF1 1|+|+|PAPA|的最大值是的最大值是 最小值是最小值是返回