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1、微积分之导数的概念微积分之导数的概念一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数第一节第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的概念导数的概念 第二章 例例1.求函数(C 为常数)的导数.解解:即例例2.求函数解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：对一般幂函数(为常数)例如，例如，（以后将证明）机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求函数的导数.解解:则即类似可证得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求函数的导数.解解:即或机动 目录 上页
2、 下页 返回 结束 原式是否可按下述方法作:例例5.证明函数在 x=0 不可导.证证:不存在,例例6.设存在,求极限解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解解:令得对应则在点(1,1),(1,1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线机动 目录 上页 下页 返回 结束 四
3、、四、函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.证证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.即机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点的某个右右 邻域内五、五、单侧导数单侧导数若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作即(左)(左左)例如例如,在 x=0 处有定义定义2.设函数有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.函数在点且存在简写为在点处右右 导数存在定理定理3.函数在点必 右右 连续.(左左)(左左)若函数与都存在,则称显然
4、:在闭区间 a,b 上可导在开区间 内可导,在闭区间 上可导.可导的充分必要条件是且机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.函数 在某点 处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意注意:有什么区别与联系?？与导函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可导?解解:由题设由夹逼准则故在可导,且机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.设,问 a 取何值时,在都存在,并求出解解:故时此时在都存在,显然该函数在 x=0 连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P85 2,5,6,9,13,14(2),16,18 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 解解:因为1.设存在,且求所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 处连续,且存在，证明:在处可导.证证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.2.设故机动 目录 上页 下页 返回 结束 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！28