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1、平面向量的数量积及平面微量应平面向量的数量积及平面微量应用举例用举例知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线平面向平面向量的数量的数量量积积及及平面向平面向量量应应用用举举例例1.理解平面向量数量理解平面向量数量积积的含的含义义 及其物理意及其物理意义义.2.了解平面向量的数量了解平面向量的数量积积与与 向量投影的关系向量投影的关系.3.掌握数量掌握数量积积的坐的坐标标表达式，表达式，会会进进行平面向量数量行平面向量数量积积的坐的坐 标标运算运算.4.能运用数量能运用数量积积表示两个向表示两个向 量的量的夹夹角，会用数量角，会用数量积积判断判断 两个平面向量的垂直关系两个平面向量的垂直关系
2、.5.会用向量方法解决某些会用向量方法解决某些简简 单单的力学的力学问题问题和其他一些和其他一些实实 际问题际问题.高考的高考的热热点包括以下三点包括以下三方面：方面：1.夹夹角角问题问题：范：范围围0，.2.垂直垂直问题问题：ab0 x1x2 y1y20及及应应用用.3.模模问题问题：a2|a|2.上述三上述三类问题类问题与三角与三角变变 换换、不等式、解析几何、不等式、解析几何 链链接密切，以解答接密切，以解答题题形形 式在交式在交汇处汇处命命题题，是近，是近 几年命几年命题题的的热热点点.四、数量积的运算律四、数量积的运算律数量积的运算律不成立：数量积的运算律不成立：3.|a|.五、数量
3、积的坐标运算五、数量积的坐标运算设设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则，则1.ab.a1b1a2b2 2.ab.a1b1a2b204.cosa，b.重要结论：重要结论：线性运算的三角形法则线性运算的三角形法则1.已知向量已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，则，则|b|()A.B.C.5D.25解析：解析：|ab|2a22abb2520b250，b225，|b|5.答案：答案：C2.已知已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量，则向量a与与b的夹角是的夹角是()解析：解析：a(ba)aba22，ab2a23.cosaba与与b的夹角为的夹角为.答案：答案：C3.已知向量已知向量a
4、(1,2)，b(2，3).若向量若向量c满足满足(ca)b，c(ab)，则，则c()解析：解析：设设c(x，y)，则，则ca(x1，y2)，又又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0.解解得得答案：答案：Dx x=y y=4.已知已知a(3,2)，b(1,2)，(ab)b，则实数，则实数.解析：解析：(ab)b，(ab)babb2150，=-答案：答案：5.已知向量已知向量a、b的夹角为的夹角为45，且，且|a|4，(ab)(2a3b)12，则，则|b|；b在在a方向上的投影等于方向上的投影等于.解析：解析：ab|a|b|cosa，b4|b|cos45
5、2|b|，又又(ab)(2a3b)|a|2ab3|b|216|b|3|b|212，解得解得|b|或或|b|(舍去舍去).b在在a上的投影为上的投影为|b|cosa，bcos451.答案：答案：1.当当a，b是非坐标形式时，求是非坐标形式时，求a与与b的夹角，需求得的夹角，需求得ab及及|a|，|b|或得出它们的关系或得出它们的关系.2.若已知若已知a与与b的坐标，则可直接利用公式的坐标，则可直接利用公式【注意】【注意】平面向量平面向量a、b的的夹夹角角 0，.cos=已知已知|a|1，ab，(ab)(ab)，求：求：(1)a与与b的夹角；的夹角；(2)ab与与ab的夹角的余弦值的夹角的余弦值.
6、(1)由由(ab)和和(ab)的数量积可得出的数量积可得出|a|、|b|的的关系关系.(2)计算计算ab和和ab的模的模.【解解】(1)(ab)(ab)，|a|2|b|2，又又|a|1，|b|设设a与与b的夹角为的夹角为，则，则cos又又 0，(2)(ab)2a22abb2(ab)2a22abb212|ab|，设，设ab与与ab的夹角为的夹角为，1.已知已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中是同一平面内的三个向量，其中a(1,2).(1)若若|c|2，且，且ca，求，求c的坐标；的坐标；(2)若若|b|，且，且a2b与与2ab垂直，求垂直，求a与与b的夹角的夹角.解：解：(1)设设c(x，
7、y)，由，由ca和和|c|2可得可得c(2,4)或或c(2，4).(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即即2a23ab2b20.2|a|23ab2|b|20，253ab20，ab，cos1，0，.利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2a22abb2；(3)若若a(x，y)，则，则|a|已知向量已知向量a，b(cos，sin)，且，且(1)求求ab及及|ab|；(2)若若f(x)ab|ab|，求，求f(x)的最大值和最小值的最大值和最小值.co
8、sx,sinx利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|ab|时注意时注意x的取值范围的取值范围.【解解】(1)ab sincos2x，|ab|2|cosx|，x，cosx0，|ab|2cosx.当当cosx时，时，f(x)取得最小值取得最小值当当cosx1时，时，f(x)取得最大值取得最大值1.(2)f(x)cos2x2cosx2cos2x2cosx12.(2009湖北高考湖北高考)已知向量已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，c(1,0).(1)求向量求向量bc的长度的最大值；的长度的最大值；(2)设设=且且a(bc)，求，求cos的值
9、的值.解：解：(1)法一：法一：由已知得由已知得bc(cos1，sin)，则，则|bc|2(cos1)2sin22(1cos).1cos1，0|bc|24，即，即0|bc|2.当当cos1时，有时，有|bc|max2，所以向量所以向量bc的长度的最大值为的长度的最大值为2.法二：法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2.当当cos1时，有时，有bc(2,0)，即，即|bc|2，所以向量所以向量bc的长度的最大值为的长度的最大值为2.(2)法一：法一：由已知可得由已知可得bc(cos1，sin)，a(bc)coscossinsincoscos()cos.a(bc)，a(bc)0，即，即cos
10、()cos.由由，得，得cos()cos，即即2k(kZ)，2k或或2k，kZ，于是于是cos0或或cos1.法二：法二：若若，则，则a又由又由b(cos，sin)，c(1,0)，得得a(bc)(cos1，sin)a(bc)，a(bc)0，即，即cossin1.sin1cos，平方后化简得，平方后化简得cos(cos1)0，解得解得cos0或或cos1.经检验，经检验，cos0或或cos1即为所求即为所求.cos+sin+1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线共线)的充要条件：的充要条件：ababx1y2x2y10(b0).2.证明垂
11、直问题，常用向量垂直的充要条件：证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：abab0 x1x2y1y20.已知向量已知向量a(cos()，sin()，b(cos()，Sin()(1)求证：求证：ab；(2)若存在不等于若存在不等于0的实数的实数k和和t，使，使xa(t23)b，ykatb，满足，满足xy，试求此时，试求此时的最小值的最小值.(1)可通过求可通过求ab0证明证明ab.(2)由由xy得得xy0，即求出关于，即求出关于k，t的一个方程，的一个方程，从而求出从而求出的代数表达式，消去一个量的代数表达式，消去一个量k，得出关于得出关于t的函数，从而求出最小值的函数，从而求出最小值.【解解】(
12、1)abcos()cos()sin()sin()sincossincos0.ab.(2)由由xy得：得：xy0，即即a(t23)b(katb)0，ka2(t33t)b2tk(t23)ab0，k|a|2(t33t)|b|20.又又|a|21，|b|21，-k+t3+3t=0k=t3+3t.故当故当时，时，有最小值有最小值=t2+t+3=t=-3.已知已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos，sin)，O为原点为原点.(1)若若，求，求tan的值；的值；(2)若若，求，求sin2的值；的值；(3)若若且且(0，)，求，求的夹角的夹角.解：解：(1)(0,3)(3,0)(3,3).3cos3sin
13、0，即即sincos0，tan1.(2)(cos，sin3)，即即(cos3)cossin(sin3)0，13(cossin)0，sincos两边平方得两边平方得1sin2sin2=(cos 3，sin)，(3cos)2sin213，cos又又(0，)，设设的夹角为的夹角为，则，则又又0，(3cos,sin),=sin=从近几年高考试题看，平面向量的数量积是高考命题的从近几年高考试题看，平面向量的数量积是高考命题的热点，主要考查平面向量积的数量的运算、几何意义、模与热点，主要考查平面向量积的数量的运算、几何意义、模与夹角、垂直问题夹角、垂直问题.在高考中直接考查以选择题或填空题为主，在高考中直
14、接考查以选择题或填空题为主，有时出现解答题，主要与三角函数、解析几何综合在一起命有时出现解答题，主要与三角函数、解析几何综合在一起命题题.2009年江苏卷年江苏卷15题考查了向量与三角函数相结合的题目，题考查了向量与三角函数相结合的题目，代表了高考的一种考查方向代表了高考的一种考查方向.(2009江苏高考江苏高考)设向量设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin).(1)若若a与与b2c垂直，求垂直，求tan()的值；的值；(2)求求|bc|的最大值；的最大值；(3)若若tantan16，求证：，求证：ab.解解(1)因为因为a与与b2c垂直，垂直，所以所以a(
15、b2c)4cossin8coscos4sincos8sinsin4sin()8cos()0，因此因此tan()2.(2)由由bc(sincos，4cos4sin)，得，得又当又当时，等号成立，时，等号成立，所以所以|bc|的最大值为的最大值为(3)证明：由证明：由tantan16得得所以所以ab.|bc|=数学解答题在高考中都是分步赋分的，只有结果没有相应数学解答题在高考中都是分步赋分的，只有结果没有相应步骤和推验过程要被扣分，步骤不完整亦会被扣分如本题步骤和推验过程要被扣分，步骤不完整亦会被扣分如本题中，很多考生在答中，很多考生在答(1)题时，只写由题意得题时，只写由题意得a(b2c)0.而而不写条件不写条件a与与b2c垂直，会被扣掉垂直，会被扣掉1分，在答分，在答(2)题时得出题时得出|bc|4而不说明取等号的条件又会被扣掉而不说明取等号的条件又会被扣掉1分，因此分，因此规范是得满分的前提规范是得满分的前提.