优化模型动态规划.ppt

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1、优化模型动态规划 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1.阶段（阶段（stage）：）：把问题恰当的分为若干个相互联系的阶段；2状态（状态（State）:它是表示某段的出发位置，是某支路的起点，又是前一段某支路的终点。第 个阶段的状态变量 应该包含前各阶段决策过程的全部信息，且之后作出的决策与之前的状态和决策无关。3决策（决策（Decision）:是指某阶段初从给定的状态出发决策者所作出的选择，决策变量表示第 个阶段状态为 时对方案的选择。决策允许范围记

2、为，4策略（策略（Policy）:即决策序列。个阶段动态规划问题的策略可记为，当 时，表示从阶段开始到最后的决策序列。5状状态转态转移方程：移方程：表明后一阶段和前一阶段之间的阶段状态和决策给定之后，第 关系。当第阶段状态就确定了，记为 6.指标函数：指标函数：阶段指标函数-对应于某一阶段状态和从该状态出发的决策的某种指标度量。第 阶段指标函数记为；过程指标函数-从某阶段开始到最后过程的指标度量。记为，最优策略值记为 7动态规划基本方程：动态规划基本方程：过程指标函数是各阶段指标函数的函数。82 动态规划问题的解法动态规划问题的解法 例1设某仓库有12人巡逻守卫，负责4个要害部位，对每个部位可

3、分别派2到4人巡逻，由于巡逻人数不同，各部位预期在一段时间内可能造成的损失也不一样，具体数字见下表。问该卫队应往各部位分别派多少人巡逻才能使预期损失最小？ABCD2人3人4人181410383531242221343125把12人派往4个部位看作4个阶段（k=1,2,3,4），每个阶段初可派遣的人数是前面阶段决策的结果，也是本阶段决策的依据。用 表示第 个阶段的状态变量，用 表示第 个阶段的决策变量（即在该阶段派出的人数，显然），各阶段可允许的决策集合 状态转移方程为 用 表示第 个阶段派出的巡逻人数为 时，在该部位的预期损失值过程指标函数 由于 用 表示从第 个阶段到结束时预期损失值，（1）

4、先考虑D部位（2）先考虑C，D部位 由于，所以（3）先考虑B，C，D部位 由于，所以（4）先考虑A，B，C，D部位 由于，所以由此可见，A，B，C，D四个部位应分别派4人，2人，2人，4人，预期损失值为97。例5求从A点到G点的最段路线解：从A到G分六个阶段：A-B,B-C,C-D,D-E,E-F,F-G（1）第六阶段F-G最短路 例2（2）第五阶段E-G最短路（3）第四阶段D-G最短路（4）第三阶段C-G最短路（5）第二阶段B-G最短路（6）第一阶段A-G最短路 所以最短路是：A-B1-C2-D1-E2-F2-G,最短路长为18。例3求下列非线性规划问题 解：要求 的值，我们分三个阶段，分别

5、为第1，2，3阶段的决策变量。设状态变量为，显然 阶段指标函数 1.第三阶段2第二阶段 3第一阶段 所以 最优值为 例4 设备平行分配 某公司根据国家计划的安排拟将某种设备5台分给甲乙丙三个厂,各厂获得这种设备每年可向国家提供的利润如下表:工厂设备台数 0 1 2 3 4 5甲03791213乙0510 111111丙046111212解:分3个阶段,甲第3厂,乙-第2厂,丙-第1厂 设 为第 k 厂获得的台数 为 台设备分配给第 k 个厂所得利润.表示当前 k状态下的已分的设备总数 表示当前状态下 台设备所得的最大利润第一阶段,考虑丙厂(k=1)第2阶段,考虑乙,丙厂(k=2)第3阶段,考虑

6、甲,乙,丙厂(k=3)有两种分配方案:总最大利润21方案1:甲0,乙2,丙3方案2:甲2,乙2,丙1第九章第九章 LINGO8.0编程介绍编程介绍LINGO程序的背景及应用程序的背景及应用美国芝加哥(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年前后开发,后来成立 LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.），网址：http:/LINDO:Linear INteractive and Discrete Optimizer (V6.1)LINGO:Linear INteractive General Optimizer (V8.0)LINDO API:LINDO

7、Application Programming Interface(V2.0)Whats Best!:(SpreadSheet e.g.EXCEL)(V7.0)目前的产品有：演示(试用)版、学生版、高级版、超级版、工业版、扩展版（求解问题规模和选件不同）LINDO和和LINGO软件能求解的优化模型软件能求解的优化模型LINGOLINDO优化模型优化模型线性规划线性规划(LP)非线性规划非线性规划(NLP)二次规划二次规划(QP)连续优化连续优化整数规划整数规划(IP)LINGO模型的优点模型的优点包含了LINDO的全部功能提供了灵活的编程语言（矩阵生成器）LINGO模型的构成：模型的构成：4个

8、段个段目标与约束段（MODEL：END）集合段（SETS：ENDSETS）数据段（DATA：ENDDATA）初始段（INIT：ENDINIT）例1：编一个LINGO程序求解下列线性规划问题的最优解程序model:max=1.15*x41+1.4*x23+1.25*x32+1.06*x54;x11+x14=10000;-1.06*x14+x21+x23+x24=0;-1.15*x11-1.06*x24+x31+x32+x34=0;-1.15*x21-1.06*x34+x41+x44=0;-1.15*x31-1.06*x44+x54=0;x23=30000;x32=40000;End运行结果：Gl

9、obal optimal solution found at iteration:2 Objective value:14840.00 Variable Value Reduced Cost X41 0.000000 0.6739130E-01 X23 10600.00 0.000000 X32 0.000000 0.4043478E-01 X54 0.000000 0.000000 X11 0.000000 0.000000 X14 10000.00 0.000000 X21 0.000000 0.000000 X24 0.000000 0.3213913E-01 X31 0.000000

10、0.7143478E-01 X34 0.000000 0.000000 X44 0.000000 0.9379130E-01 Row Slack or Surplus Dual Price 1 14840.00 1.000000 2 0.000000 1.484000 3 0.000000 1.4000004 0.000000 1.2904355 0.000000 1.2173916 0.000000 1.0600007 19400.00 0.0000008 40000.00 0.000000例2：编一个LINGO程序求解下列线性规划问题的最优解程序一model:max=120*x1+108*

11、x2+150*x3+190*x4+160*x5+200*x6+98*x7;100*x1+98*x2+130*x3+160*x4+130*x5+170*x6+88*x7=1600;x1+x2+x3=1;x6+x7=1;bin(x1);bin(x2);bin(x3);bin(x4);bin(x5);bin(x6);bin(x7);End程序二model:sets:AA/1.7/:x,b,c;endsets data:b=120,108,150,190,160,200,98;c=100,98,130,160,130,170,88;enddata max=sum(AA(j):b(j)*x(j);sum

12、(AA(j):c(j)*x(j)=1600;x(1)+x(2)+x(3)=1;x(6)+x(7)=1;bin(x(1);bin(x(2);bin(x(3);bin(x(4);bin(x(5);bin(x(6);bin(x(7);End运行结果：Globaloptimalsolutionfoundatteration:0Objectivevalue:918.0000VariableValueReducedCostX11.000000-120.0000X20.000000-108.0000X31.000000-150.0000X41.000000-190.0000X51.000000-160.00

13、00X61.000000-200.0000X71.000000-98.00000RowSlackorSurplusDualPrice1918.00001.0000002822.00000.00000030.0000000.00000041.0000000.00000051.0000000.000000例3：编一个LINGO程序求解下列线性规划问题的最优解目标函数 约束条件 程序model:SETS:T/A1,A2/:tt;Endsetsinit:x11=10;x21=13;endinitmin=max(T(j):tt(j);x11+x21=50;x12+x22=30;x13+x23=45;tt

14、(1)=4*x11+10*x12+10*x13;tt(2)=6*x21+8*x22+20*x23;End运行结果：Globaloptimalsolutionfoundatiteration:1Objectivevalue:486.0000VariableValueReducedCostX119.0000080.1886861E-08X2140.999990.000000X120.0000004.666667X2230.000000.000000X1345.000000.000000X230.0000003.333333TT(A1)486.00000.000000TT(A2)486.00000.

15、0000009 91 1函数的应用函数的应用在LINGO编程中，为了使程序更加简明，可阅读性，LINGO中提供了一类函数的命令集，主要有if,if,sum,sum,max,max,min,min,for,for,bin,bin,gin,gin,bnd,bnd,freefree等，应用这些函数可以使程序变得很简明，下面介绍这些函数的应用。ifif：-用于分段函数的编程用于分段函数的编程 格式：格式：ifif（A A，B B，C C）含义：条件含义：条件A A成立时，取成立时，取B B，否则取，否则取C C例1 LINGO的编程如下：F=if(x1#GE#0#and#x1#LE#70,-505,1

16、24);例2 引入决策0-1变量,则 LINGO的编程如下：g11=if(x1#GT#0#AND#x1#LE#70,1,0);g12=if(x1#GT#70#AND#x1#LE#120,1,0);g13=if(x1#GT#120#AND#x1#LE#150,1,0);g14=if(x1#GT#150#AND#x1#LE#190,1,0);f1=-g11*505+124*g12+252*g13+489*g14;sumsum：-用于循环求和函数的编程用于循环求和函数的编程 格式：格式：sumsum（A:BA:B）含义：含义：A A表示求和的变量及范围，表示求和的变量及范围，B B表示单项表达式。表

17、示单项表达式。例3 LINGO的编程如下：Model:Sets:Var/1.20/:c,x;Endsetw=sum(Var(I):c(I)*x(I);end例4 LINGO的编程如下：Model:Sets:Var1/1.20/:a;Var2/1.15/:b;Var(Var1,Var2):c,x;Endsetw=sum(Var(I,J):c(I，J)*x(I,J);endforfor：-用于循环函数的编程用于循环函数的编程 格式：格式：for(A:Bfor(A:B）含义：含义：A A表示循环的变量及范围，表示循环的变量及范围，B B表示单项表达式。表示单项表达式。例5,其中 均为0或1LINGO

18、的编程如下：Model:Sets:Var1/1.20/:a;Var2/1.15/:b;Var(Var1,Var2):c,x;Endsetw=sum(Var(I,J):c(I，J)*x(I,J);for(Var(I,J):BIN(x(I,J);end例6,求 LINGO的编程如下：Model:Sets:Var1/1.5/:II;Var2/1.4/:JJ;Var3/1.3/:KK;Link1(Var2,Var1):A;Link2(Var1,Var3):B;Link3(Var2,Var3):C;EndsetsData:A=1,1,1,2,0,2.3,3.4,4.5,2.3,2.1,1.5,1.8,2

19、.5,2.7,3.7,2.6,2.9,2.5,3.1,1.1;B=2,2.6,2.5,2,3.5,2.9,2,2.3,2.7,2,3.1,2.1,2,5.2,3.2;Enddatafor(Link3(I,J):C(I,J)=sum(Var1(K):A(I,K)*B(K,J);endmax,max,minmin：-用于求最大，最小函数的用于求最大，最小函数的编程编程格式：格式：max(A:B),max(A:B),min(A:Bmin(A:B）含义：含义：A A表示循环的变量及范围，表示循环的变量及范围，B B表示单项表达式。表示单项表达式。例7 求C中最大和最小的元素。LINGO的编程如下：Mo

20、del:Sets:Var1/1.5/:II;Var2/1.4/:JJ;Var3/1.3/:KK;Link1(Var2,Var1):A;Link2(Var1,Var3):B;Link3(Var2,Var3):C;EndsetsData:A=1,1,1,2,0,2.3,3.4,4.5,2.3,2.1,1.5,1.8,2.5,2.7,3.7,2.6,2.9,2.5,3.1,1.1;B=2,2.6,2.5,2,3.5,2.9,2,2.3,2.7,2,3.1,2.1,2,5.2,3.2;EnddataM=max(Link3(I,J):sum(Var1(K):A(I,K)*B(K,J);N=min(Lin

21、k3(I,J):sum(Var1(K):A(I,K)*B(K,J);endbndbnd：-用于边界限制函数的编程用于边界限制函数的编程格式：格式：bnd(A1,B,A2)bnd(A1,B,A2)含义：含义：A1,A2A1,A2表示边界表示边界1 1，边界，边界2 2，B B表示变量。表示变量。例8 例9用LINGO编写“求下列各点到T的最短路”的程序56774968658336C1B1C2B2A1A2A3TS6model:SETS:!CITIES表示由19组成的集合，是一个基本集合;CITIES/1.9/:L;!属性L(i)表示城市i到城市1的最优行驶路线的路长;ROADS(CITIES,CI

22、TIES)/!ROADS表示网络中的弧，是由CITIES派生的集合;9,6 9,7 9,8!由于并非所有城市间都有道路直接连接，所以将弧具体列出;6,4 6,5 7,4 7,5 8,4 8,5 4,2 4,3 5,2 5,3 2,1 3,1/:D;!属性D(i,j)是城市i到j的直接距离（已知）;ENDSETSDATA:D=!D赋值的顺序对应于ROADS中的弧的顺序;6 3 3 6 5 8 6 7 4 6 7 8 9 5 6;ENDDATAL(1)=0;!边界条件;FOR(CITIES(i)|i#GT#1:!集合循环语句,#GT#表示逻辑关系大于;L(i)=MIN(ROADS(i,j):D(i,j)+L(j)!这就是动态规划基本方程;);endFeasiblesolutionfoundatiteration:0VariableValueL(1)0.000000L(2)5.000000L(3)6.000000L(4)11.00000L(5)13.00000L(6)17.00000L(7)19.00000L(8)17.00000L(9)20.00000