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1、动态优化模型预备知识预备知识泛函（函数的扩展）：设泛函（函数的扩展）：设 是一个函数集合，如果是一个函数集合，如果对任意对任意x(t),都有一个值都有一个值J(x(t)与之对应。则称与之对应。则称J为为 上的一个泛函。上的一个泛函。泛函的例子：泛函的例子：1、2、泛函的变分（与函数的微分相对应）泛函的变分（与函数的微分相对应）函数（自变量）的变分函数（自变量）的变分泛函的变分：泛函泛函的变分：泛函J的增量的增量的线性主要部分称为泛函的线性主要部分称为泛函J的变分。的变分。泛函的极值：若在泛函的极值：若在x0(t)的某个邻域内恒有的某个邻域内恒有则称则称x0(t)是泛函是泛函J的极值点。的极值点
2、。极值点的必要条件：若泛函极值点的必要条件：若泛函J(x)在在 内部一点内部一点x0取极值，取极值，则则 泛函泛函J的变分和导数的关系：的变分和导数的关系：泛函极值的必要条件：欧拉方程泛函极值的必要条件：欧拉方程最简泛函：最简泛函：(1)欧拉定理：若在泛函欧拉定理：若在泛函(1)中中F二阶可微，二阶可微，x(t)是二阶可微是二阶可微函数且满足边界条件函数且满足边界条件则泛函则泛函J达到极值的必要条件为达到极值的必要条件为最速降线问题：如图，设最速降线问题：如图，设A,B是不在同一垂线上的两个是不在同一垂线上的两个点，求连接它们的光滑曲线，使质点在重力的作用下，点，求连接它们的光滑曲线，使质点在
3、重力的作用下，由由A滑到滑到B的时间最短。（不计摩擦力）的时间最短。（不计摩擦力）BAxy根据能量守恒定律，根据能量守恒定律，其中其中s是曲线的弧长是曲线的弧长 积分求解得到由积分求解得到由A(0,0)到到B(x1,y1)的时间为的时间为端点条件：端点条件：利用欧拉定理得到利用欧拉定理得到即即求解并化为参数方程得到求解并化为参数方程得到例例1：生产计划的制定：生产计划的制定工厂与客户签订了一项在某时刻提交一定数量产品工厂与客户签订了一项在某时刻提交一定数量产品的合同。的合同。在制定生产计划时要考虑两种费用在制定生产计划时要考虑两种费用(1)生产费用。生生产费用。生产率越高费用越大。产率越高费用
4、越大。(2)贮存费用。数量越多费用越贮存费用。数量越多费用越大。大。寻求最优生产计划，使得在按时完成合同的前提下，寻求最优生产计划，使得在按时完成合同的前提下，生产费用和存贮费用的总和最小。生产费用和存贮费用的总和最小。设开始生产时间为设开始生产时间为t=0，交货时间，交货时间t=T。到时刻。到时刻t的累积的累积生产量为生产量为x(t)，则，则t时刻生产率为时刻生产率为dx/dt。设生产成本是生产率的函数设生产成本是生产率的函数f，存贮成本是生产量的函，存贮成本是生产量的函数数g，则总成本为，则总成本为问题化为求泛函问题化为求泛函C(x)的极值问题。的极值问题。考虑一种特殊情况。假设考虑一种特
5、殊情况。假设(1)单位时间内生产率提高一个单位所需生产费用与生单位时间内生产率提高一个单位所需生产费用与生产率成正比。产率成正比。(2)存贮费用与存贮量成正比。存贮费用与存贮量成正比。即有即有 问题化为变分问题问题化为变分问题例例2：渔船出海：渔船出海考虑通过控制渔船的出海时机和捕捞量，获得最佳效考虑通过控制渔船的出海时机和捕捞量，获得最佳效益问题。益问题。模型假设：模型假设：(1)渔场鱼量渔场鱼量x(t)的自然增长服从的自然增长服从Logistic规律。单位时规律。单位时间的捕捞量与渔船数量间的捕捞量与渔船数量u(t)和鱼的数量和鱼的数量x(t)成正比，则成正比，则在捕捞条件下满足在捕捞条件下满足(2)初始渔场鱼量初始渔场鱼量X(0)很小，在很小，在0t 后渔船数量保持后渔船数量保持常数常数U即即(3)鱼的单价鱼的单价p，每只渔船单位时间费用，每只渔船单位时间费用c，通货膨胀率，通货膨胀率（折扣因子（折扣因子)。建模：效益函数建模：效益函数其中其中x满足满足