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1、人教A版高中数学空间向量与立体几何教学指导意见解读及教学体会基本思想根据立体几何问题的特点，以适当的 方式（例如构建向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直和夹角等）；最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何问题，教科书通过例题，引导学生对解决立体几何问题的三种方法（向量方法、坐标法、综合法）进行比较，分析各自的优势，因题而宜作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力。利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，在数学2
2、“立体几何初步”中，侧重于定性地研究线、面的位置关系，而本章则借助于空间向量，侧重于定量研究。一“空间向量与立体几何”教学中几个问题的探析向量运算的引人，使数学运算对象发生了重大变化：从数、字母与代数式到向量，这为进一步理解其他数学运算（如函数的运算、映射、变换的运算，等等）创造了条件，特别是当学生利用向量运算解决了立体几何中的问题时（如证明直线与平面垂直的判定定理），就更有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现中的作用，体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。教材定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量，为此，先规定向量与平面平行的含义；若表示向量的有向线段平行于平面
3、或在平面内，则称向量与平面平行，共面向量实质为：“能平移到同一平面内的向量，突出了空间向量是“自由向量”的特征，所以任意两个空间向量都是共面向量。定理的教学要注意与平面向量基本定理加以类比，两者不仅在形式上是相同的，而且在本质上也是一致的，这是因为任意两个空间向量a,b都可以平移到同一个平面，当a,b不共线时，它们可以作为基向量，向量p与它们共面，也就是向量p可以平移到这个平面，所以就能用a，b线性表示。2.注意“共面向量”的有关概念教学3.注意空间向量的数量积的教学由于任意两个空间向量都是共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和符号、两个空间向量的数量积等等，都
4、与平面向量相同。教学中，应引导学生自己将平面向量中数量积的有关概念、运算和方法推广到空间，要求学生理解向量的数量积是实施向量等式向数量等式转化的重要途径，教材中引入了两个向量a与b夹角的符号，要求学生能正确使用，例如，=BAC，空间向量数量积运算律的证明不作要求。4:为何引入直线的方向向量和平面的法向量？空间线线、线面、面面的位置关系中，角是反映了它们在“方向”上的差异，因此，用向量来刻画这种差异，就先要规定直线和平面的“方向”。这样，就需要引入直线的方向向量和平面的法向量。直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线的方向向量。直线的方向向量不止一个，它们都是共线向量；两条平行直线的方向向量是
5、共线向量，因此，研究空间直线与直线、直线与平面的平行与垂直关系，以及它们所成的角的问题，即研究它们在“方向”上的差异程度时，就可以用直线的方向向量来刻画直线的“方向”。由于垂直于同一平面的直线是互相平等的，因此可以用平面的垂线的方向向量来刻画平面的“方向”。平面的法向量不止一个，它们都是共线向量。两个平行平面的法向量是共线向量，也就是说，两个平行平面的“方向”是相同的。因此，研究空间直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系，以及它们所成角的问题，即研究它们在“方向”上的差异程度时，就可以用平面的法向量来刻画平面的“方向”。5.如何利用空间向量解决立体几何问题？关于度量计算，只要求用向量法解决线线
6、、线面、面面的夹角的计算，而不要求去解决有关距离的计算等问题。用向量法求线线、线面、面面所成的角时，一般可结合图形来确定，由于两个向量夹角的取值范围是0，空间两条直线所成的角的范围是0，/2，所以空间两条直线所成的角等于这两条直线的方向向量的夹角（或者其补角）；平面的斜线与平面所成的角的范围是0，/2），所以平面的斜线与平面所成的角等于这条斜线的方向向量与平面法向量的夹角（或者其补角）的余角；二面角的取值范围是（0，所以它的大小等于两个平面的法向量夹角的补角（当两个法向量“指向”相同时），或者就等于法向量的夹角（当两个法向量“指向”相反时）。6.如何把握三垂线定理的教学？在数学2立体几何中，三
7、垂线定理淡出，只是在例题中用综合法通过直线与平面的垂直证明了这个定理，但是没给出“三垂线定理”的名称，选修2-1中要求学生会用向量方法证明三垂线定理，进一步体会向量方法在研究几何图形中的作用，但不要求将三垂线定理作为推理的依据。课程目标课程目标空间向量为处理立体几何问题提供了新工具和新方法。通过学习本章，可以使学生在对平面向量已有认识的基础上，进一步学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何中的问题，进一步体会向量方法在解决几何问题中的作用。(一一)、课程目标与学习目标、课程目标与学习目标二.指导意见解读学习目标学习目标1.经历向量及其运算由二维平面情形向三维空间情形推广的过程。2.了解空间向量
8、的概念，了解空间向量的基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。3.掌握空间向量的线性运算及其表示。4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线（平行）与垂直。5.理解直线的方向向量与平面的法向量。6.能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。7.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理。8.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角等的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。(二)、与原大纲教材的比较大纲教材新教材重点立体几何知识空间向量和向量方法空间向量知识对空间向量只是作为解决部分问题的工具 强调对向量方
9、法的一般性认识 立体几何知识有系统性要求不作系统性要求原大纲目标表述新课标目标表述1.理解空间向量的概念掌握空间向量的加法、减法和数乘.2.了解空间向量基本定理；理解空间向量的坐标的概念，掌握空间向量运算.3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式.1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.原大纲目标表述新课标目标表述4.理
10、解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影.5.掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念(对于异面直线的距离,只要求会利用给出公垂线计算距离)；掌握直线和平面垂直的性质定理；掌握两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.5.理解直线的方向向量与平面的法向量.6.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.7.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).8.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.(三三)、内容与要求、内容与要求本章共分两节：31 空间向量及其运算32
11、立体几何中的向量方法 3.13.1空间向量及其运算空间向量及其运算空间向量及其加减法运算空间向量数乘运算（直线的方向向量,共面向量定理）空间向量的数量积运算空间向量的正交分解及其坐标表示（空间向量基本定理）空间向量运算的坐标表示3.1节的重点与难点“空间向量及其运算”是本章的基础，这一节的重点是空间向量的基本概念和基本运算、空间向量的基本定理。难点是空间向量的基本定理。3.2 3.2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法（三步曲）立体几何中的向量方法（三步曲）1.1.向量表示向量表示 2.2.向量运算向量运算 3.3.回归几何回归几何 3.2节的重点与难点“立体几何中的
12、向量方法”从一个侧面（立体几何）反映了空间向量的应用，同时也是对空间向量的再认识。重点是理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法（“三步曲”）。难点是建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。阅读与思考本章在3.1 节“空间向量及其运算”之后安排了一个“阅读与思考“向量概念的推广与应用”，介绍了三维以上的高维向量，并通过例子说明高维向量的应用。它可供学有余力的学生学习。本章知识结构(四)、课时分配（12课时）3.1.1 空间向量及其加减运算1课时3.1.2 空间向量的数乘运算1课时3.1.3 空间向量的数量积运算1课时3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1课时3.
13、1.5 空间向量运算的坐标表示1课时复习小结1课时32 立体几何中的向量方法5课时复习小结1课时1、把重点放在空间向量和向量法上。、把重点放在空间向量和向量法上。空间向量和向量方法是重点，而对于立体几何知识空间向量和向量方法是重点，而对于立体几何知识并不作系统安排，只是通过几个立体几何具体问题并不作系统安排，只是通过几个立体几何具体问题的例子，体现空间向量在解决立体几何问题时的应的例子，体现空间向量在解决立体几何问题时的应用，要使学生加强对几何中向量方法的一般性认识。用，要使学生加强对几何中向量方法的一般性认识。空间向量的教学中，用好平行六面体；类比平面向空间向量的教学中，用好平行六面体；类比
14、平面向量提出空间向量中的问题和研究方法量提出空间向量中的问题和研究方法可以自学。可以自学。3.23.2节的教学，以立体几何问题为载体，以向量法节的教学，以立体几何问题为载体，以向量法学习为主；注意引导学生思考几何问题的向量表示。学习为主；注意引导学生思考几何问题的向量表示。向量法中，要抓住根据条件选择适当的向量法中，要抓住根据条件选择适当的“基底基底”，建立空间坐标系的训练。建立空间坐标系的训练。(五五)、教学建议教学建议 2、注意数与形的关联。、注意数与形的关联。向量向量数与形的结合体，要注意与立体几何的横向联系，数与形的结合体，要注意与立体几何的横向联系，特别要注意点、线、面关系的向量表示
15、（这是核心），如：特别要注意点、线、面关系的向量表示（这是核心），如：2、注意数与形的关联。、注意数与形的关联。向向量量的的特特征征之之一一是是其其本本身身具具有有数数与与形形两两重重含含义义。本本章章教教学学中中，除除了了要要关关注注前前面面多多次次提提及及的的知知识识纵纵向向联联系系之之外外，还还要要特特别别关关注注知知识识的的横横向向联联系系，从从不不同同角角度度研研究究同同一一问问题题，认认识识与与运运用用向向量量及及其其运运算算中中数数与与形形的的关关联联。教教学学中中应应结结合合几几何何图图形形予予以以探探讨讨，特特别别要要重重视视平平行行六六面面体体的的模模型型作作用用，引引导导
16、学学生生借借助助图图形形理理解解它它们们，注注意避免不联系几何意义的死记硬背。意避免不联系几何意义的死记硬背。3、平面的法向量的计算：（待定系数法）（待定系数法）例例如如：在在棱棱长长为为a a的的正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中，E E，F F 分分别别是是ABAB与与BCBC的中点，求平面的中点，求平面B B1 1EF EF 的法向量。的法向量。4、空间角的计算(1)线线角设e e1，e e2分别为直线l1，l2的方向向量，直线l1，l2 所成的角为，则 解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则 C|所以所以 与与 所成角的余
17、弦值为所成角的余弦值为C1D(2)线面角设e为直线l的方向向量，n为平面的法向量，l与平面所成的角为，则xyz(1)(1)求证：求证：CM EM;例例(07浙江卷浙江卷)在如图所示的几何体中，在如图所示的几何体中，EA 平面平面ABC，DB 平面平面ABC，AC BC且且AC=BC=BD=2AE，M是是AB的中点的中点.(2)(2)求求CM与平面与平面CDE所成的角所成的角.ACBMED(3)二面角设n n1，n n2分别为平面1，2的法向量，平面1，2 所成的二面角为，则 用法向量求二面角用法向量求二面角.B Bp pA Aa ap pA AB BO Oa a图1图2设平面xyz5、深化理解
18、向量运算的作用 空间向量的线性运算（加、减、数乘）空间向量的线性运算（加、减、数乘）和数量积。要引导学生结合几何问题，和数量积。要引导学生结合几何问题，关注向量运算在分析解决问题中的作用。关注向量运算在分析解决问题中的作用。有有了了运运算算，向向量量威威力力无无限限；没没有有运运算算，向向量量只只是是路路标标。向向量量的的作作用用主主要要通通过运算得到体现。过运算得到体现。6、根据特点选择方法 重视综合方法、向量方法、坐标方法重视综合方法、向量方法、坐标方法各自特点的分析与归纳，综合方法以逻辑各自特点的分析与归纳，综合方法以逻辑推理作为工具解决问题；向量方法利用向推理作为工具解决问题；向量方法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标方法利量的概念及其运算解决问题；坐标方法利用数及其运算来解决问题，坐标方法常与用数及其运算来解决问题，坐标方法常与向量运算结合起来使用，根据它们的具体向量运算结合起来使用，根据它们的具体条件和特点选择合适的方法。条件和特点选择合适的方法。2009.2.15