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1、人教版高中数学空间向量与立体几何 数学史选讲教学指导意见解读空间向量与立体几何课程目标课程目标空间向量为处理立体几何问题提供了新工具和新方法。通过学习本章，可以使学生在对平面向量已有认识的基础上，进一步学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何中的问题，进一步体会向量方法在解决几何问题中的作用。一、课程目标与学习目标一、课程目标与学习目标学习目标学习目标1.经历向量及其运算由二维平面情形向三维空间情形推广的过程。2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。3.掌握空间向量的线性运算及其表示。4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的
2、共线（平行）与垂直。5.理解直线的方向向量与平面的法向量。6.能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。7.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理。8.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角等的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。原大纲目标表述新课标目标表述1.理解空间向量的概念掌握空间向量的加法、减法和数乘.2.了解空间向量基本定理；理解空间向量的坐标的概念，掌握空间向量运算.3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式.1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.
3、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.原大纲目标表述新课标目标表述4.理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影.5.掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念(对于异面直线的距离,只要求会利用给出公垂线计算距离)；掌握直线和平面垂直的性质定理；掌握两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.5.理解直线的方向向量与平面的法向量.6.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平
4、行关系.7.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).8.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.三、内容与要求三、内容与要求本章共分两节：31 空间向量及其运算32 立体几何中的向量方法 3.13.1空间向量及其运算空间向量及其运算空间向量及其加减法运算空间向量数乘运算（直线的方向向量,共面向量定理）空间向量的数量积运算空间向量的正交分解及其坐标表示（空间向量基本定理）空间向量运算的坐标表示3.1节的重点与难点“空间向量及其运算”是本章的基础，这一节的重点是空间向量的基本概念和基本运算、空间向量的基本定理。难点是空间向量的基
5、本定理。3.2 3.2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法（三步曲）立体几何中的向量方法（三步曲）1.1.向量表示向量表示 2.2.向量运算向量运算 3.3.回归几何回归几何 例例1-41-4 3.2节的重点与难点“立体几何中的向量方法”从一个侧面（立体几何）反映了空间向量的应用，同时也是对空间向量的再认识。重点是理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法（“三步曲”）。难点是建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。阅读与思考本章在3.1 节“空间向量及其运算”之后安排了一个“阅读与思考“向量概念的推广与应用”，介绍了三维以上的高维向量，并通
6、过例子说明高维向量的应用。它可供学有余力的学生学习。本章知识结构四、课时分配（12课时）3.1.1 空间向量及其加减运算1课时3.1.2 空间向量的数乘运算1课时3.1.3 空间向量的数量积运算1课时3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1课时3.1.5 空间向量运算的坐标表示1课时复习小结1课时32 立体几何中的向量方法5课时复习小结1课时五、教学要求 1.1.注重联系注重联系 本章从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。这是“由此及彼，由浅入深”的认识发展过程。2体现思想 本章以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理，再次渗透
7、符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想。主要思想方法是：（1）类比、猜想、归纳、推广（让学生经历由平面向空间推广的过程）；（2）能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题。3.温故知新空间向量的基本概念及其性质是后续学习的前提，空间向量的基本概念及其性质是后续学习的前提，由于空间向量是平面向量的推广，空间向量及其由于空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算类似，所运算所涉及的内容与平面向量及其运算类似，所以，空间向量的教学上要注重知识间的联系，温以，空间向量的教学上要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向故而知新，运用类比的方法认
8、识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程量及其运算由平面向空间推广的过程。从开篇引言到章尾小结都关注空间向量与平面向从开篇引言到章尾小结都关注空间向量与平面向量的联系量的联系问题的设置也延续了平面向量的做问题的设置也延续了平面向量的做法。法。4.强调通法体现向量法的体现向量法的“通法通法”特点：特点：“代数化代数化”和和“程序化程序化”，即引进向量表示，用运算代替几何推理，用向，即引进向量表示，用运算代替几何推理，用向量的坐标表示把几何彻底推向量的坐标表示把几何彻底推向“有效能算有效能算”的水平；的水平；“模型化模型化”，即用抽象符号把一类对象转化为其他，即用抽象符号把一类对象转化为其
9、他等价形式。等价形式。向量法有别于传统的纯几何方法，而是将几何元向量法有别于传统的纯几何方法，而是将几何元素用向量表示，进行向量运算，再回归到几何问素用向量表示，进行向量运算，再回归到几何问题。这种题。这种“三步曲三步曲”式的解决问题过程，在数学式的解决问题过程，在数学中具有一般性。中具有一般性。向量运算时注意其几何意义，联系几何问题（如向量运算时注意其几何意义，联系几何问题（如三垂线定理及其逆定理等）加深对有关运算的认三垂线定理及其逆定理等）加深对有关运算的认识。识。5.螺旋上升必修2中，已经讨论过空间中直线、平面的平行、垂直等位置关系，当时没有对相关判定定理进行证明，只证明了相关性质定理。
10、本章以三垂线定理、线面垂直的判定定理等为例，用向量方法对其进行证明，然后指出运用向量方法可以证明关于线面位置关系的其他判定定理，并引导学生进行尝试。这样可以加强所学前后知识的联系，对空间位置关系提高认识水平。1、把重点放在空间向量和向量法上。、把重点放在空间向量和向量法上。空间向量和向量方法是重点，而对于立体几何知识空间向量和向量方法是重点，而对于立体几何知识并不作系统安排，只是通过几个立体几何具体问题并不作系统安排，只是通过几个立体几何具体问题的例子，体现空间向量在解决立体几何问题时的应的例子，体现空间向量在解决立体几何问题时的应用，要使学生加强对几何中向量方法的一般性认识。用，要使学生加强
11、对几何中向量方法的一般性认识。空间向量的教学中，用好平行六面体；类比平面向空间向量的教学中，用好平行六面体；类比平面向量提出空间向量中的问题和研究方法量提出空间向量中的问题和研究方法可以自学。可以自学。3.23.2节的教学，以立体几何问题为载体，以向量法节的教学，以立体几何问题为载体，以向量法学习为主；注意引导学生思考几何问题的向量表示。学习为主；注意引导学生思考几何问题的向量表示。向量法中，要抓住根据条件选择适当的向量法中，要抓住根据条件选择适当的“基底基底”，建立空间坐标系的训练。建立空间坐标系的训练。六、教学建议六、教学建议 2、注意数与形的关联。、注意数与形的关联。向量向量数与形的结合
12、体，要注意与立体几何的横向联系，数与形的结合体，要注意与立体几何的横向联系，特别要注意点、线、面关系的向量表示（这是核心），如：特别要注意点、线、面关系的向量表示（这是核心），如：2、注意数与形的关联。、注意数与形的关联。向向量量的的特特征征之之一一是是其其本本身身具具有有数数与与形形两两重重含含义义。本本章章教教学学中中，除除了了要要关关注注前前面面多多次次提提及及的的知知识识纵纵向向联联系系之之外外，还还要要特特别别关关注注知知识识的的横横向向联联系系，从从不不同同角角度度研研究究同同一一问问题题，认认识识与与运运用用向向量量及及其其运运算算中中数数与与形形的的关关联联。教教学学中中应应结
13、结合合几几何何图图形形予予以以探探讨讨，特特别别要要重重视视平平行行六六面面体体的的模模型型作作用用，引引导导学学生生借借助助图图形形理理解解它它们们，注注意避免不联系几何意义的死记硬背。意避免不联系几何意义的死记硬背。3、平面的法向量的计算：（待定系数法）（待定系数法）例例如如：在在棱棱长长为为a a的的正正方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中，E E，F F 分分别别是是ABAB与与BCBC的中点，求平面的中点，求平面B B1 1EF EF 的法向量。的法向量。4、空间角的计算(1)线线角设e e1，e e2分别为直线l1，l2的方向向量，直线l1，
14、l2 所成的角为，则(2)线面角设e为直线l的方向向量，n为平面的法向量，l与平面所成的角为，则(3)二面角设n n1，n n2分别为平面1，2的法向量，平面1，2 所成的二面角为，则5、深化理解向量运算的作用 空间向量的线性运算（加、减、数乘）空间向量的线性运算（加、减、数乘）和数量积。要引导学生结合几何问题，和数量积。要引导学生结合几何问题，关注向量运算在分析解决问题中的作用。关注向量运算在分析解决问题中的作用。有有了了运运算算，向向量量威威力力无无限限；没没有有运运算算，向向量量只只是是路路标标。向向量量的的作作用用主主要要通通过运算得到体现。过运算得到体现。6、根据特点选择方法 重视综
15、合方法、向量方法、坐标方法重视综合方法、向量方法、坐标方法各自特点的分析与归纳，综合方法以逻辑各自特点的分析与归纳，综合方法以逻辑推理作为工具解决问题；向量方法利用向推理作为工具解决问题；向量方法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标方法利量的概念及其运算解决问题；坐标方法利用数及其运算来解决问题，坐标方法常与用数及其运算来解决问题，坐标方法常与向量运算结合起来使用，根据它们的具体向量运算结合起来使用，根据它们的具体条件和特点选择合适的方法。条件和特点选择合适的方法。选修31 数学史选讲一、数学史研究的意义、对象与目的“数学课程应适当反映数学的历史、应用和发数学课程应适当反映数学的历史、应用和发
16、展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中数学课程提倡体现数学的文学观。为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对化价值，并在适当的内容中提出对数学文化数学文化的学习要求，设立的学习要求，设立数学史选讲数
17、学史选讲等专题。等专题。”标准第标准第4 4页页对象对象 数学史就是研究数学产生、发展进程及数学史就是研究数学产生、发展进程及其规律的一门科学史它研究的主要对其规律的一门科学史它研究的主要对象是数学的重大历史事件、重要的数学象是数学的重大历史事件、重要的数学成果、重要的数学家人物和影响数学发成果、重要的数学家人物和影响数学发展的各种社会、政治、经济和一般文化展的各种社会、政治、经济和一般文化等因素如数学各分支的发生与发展规等因素如数学各分支的发生与发展规律，数学概念、数学思想方法的形成，律，数学概念、数学思想方法的形成，数学教育，数学家列传，数学经典论著数学教育，数学家列传，数学经典论著等等内
18、容内容数学史的内容是极其丰富的，它既是数数学史的内容是极其丰富的，它既是数学思想方法的发展史，又是重大数学过学思想方法的发展史，又是重大数学过程的博览史；既是数学大师的贡献史，程的博览史；既是数学大师的贡献史，又是数学发展与社会生产、科技、政治、又是数学发展与社会生产、科技、政治、军事、文化教育的关系史；同时也是一军事、文化教育的关系史；同时也是一部人类对自然、对社会以致对数学本身部人类对自然、对社会以致对数学本身的认识史的认识史课标解读第课标解读第3131页页目的目的 研究数学史的目的主要是探索人类研究数学史的目的主要是探索人类数学文明的发展，阐述中外文明的交互数学文明的发展，阐述中外文明的
19、交互影响，了解数学发展过程中，数学的连影响，了解数学发展过程中，数学的连续性和不断完整性简言之，追溯数学续性和不断完整性简言之，追溯数学的过去，了解数学的现在，预见数学的的过去，了解数学的现在，预见数学的未来未来 意义意义中学生学习数学史，中学生学习数学史，有助于学生把握数有助于学生把握数学发展的脉络，加深对数学概念、方法、学发展的脉络，加深对数学概念、方法、思想的理解，体会数学创造过程思想的理解，体会数学创造过程，能能了了解历史上一些杰出数学家的生平和数学解历史上一些杰出数学家的生平和数学成就；有助于感受前辈大师严谨治学、成就；有助于感受前辈大师严谨治学、锲而不舍的探索精神；有助于培养兴趣、
20、锲而不舍的探索精神；有助于培养兴趣、开阔视野、造就创新意识，更开阔视野、造就创新意识，更深刻深刻地地领领会会数学对人类文明发展的作用。数学对人类文明发展的作用。二、具体要求二、具体要求本专题通过生动、丰富的事例，了解数学发展本专题通过生动、丰富的事例，了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精
21、神。锲而不舍的探索精神。第一讲第一讲 早期算术与几何早期算术与几何 古埃及的数学古埃及的数学 两河流域的数学两河流域的数学 丰富多彩的记数制度丰富多彩的记数制度第二讲第二讲 古希腊数学古希腊数学 希腊数学的先行者希腊数学的先行者 毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派 欧几里得与原本欧几里得与原本 数学之神数学之神阿基米德阿基米德第三讲第三讲 中国古代数学瑰宝中国古代数学瑰宝 周髀算经与赵爽弦图周髀算经与赵爽弦图 九章算术九章算术 大衍求一术大衍求一术 中国古代数学家中国古代数学家第四讲第四讲 平面解析几何的产生平面解析几何的产生 坐标思想的早期萌芽坐标思想的早期萌芽 笛卡儿坐标系笛卡儿坐标系 费马的解
22、析几何思想费马的解析几何思想 解析几何的进一步发展解析几何的进一步发展第五讲第五讲 微积分的诞生微积分的诞生 微积分产生的历史背景微积分产生的历史背景 科学巨人牛顿的工作科学巨人牛顿的工作 莱布尼茨的莱布尼茨的“微积分微积分”第七讲第七讲 千古谜题千古谜题 三次四次方程求根公式的发现三次四次方程求根公式的发现 高次方程可解性问题的解决高次方程可解性问题的解决 伽罗瓦与群论伽罗瓦与群论 古希腊三大几何问题的解决古希腊三大几何问题的解决内容要点内容要点三、教学建议三、教学建议学数学史的教学方式应灵活多样，可采取讲故学数学史的教学方式应灵活多样，可采取讲故事、讨论交流、查阅资料、撰写心得体会等方事、
23、讨论交流、查阅资料、撰写心得体会等方式进行。教师应鼓励学生对数学产生发展的历式进行。教师应鼓励学生对数学产生发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物，写出史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究小论文，进行交流传播。自己的研究小论文，进行交流传播。1 1、数数学学史史选选讲讲是是一一个个受受学学生生欢欢迎迎的的专专题题，可可以以开开拓拓学学生生的的视视野野，提提高高学学生生对对数数学学作作用用的的认认识识。对对于于将将来来在在各各行行各各业业工工作的学生来说，都会起到积极的作用。作的学生来说，都会起到积极的作用。2 2、我我们们教教师师开开好好数数学学史史选选讲讲这这门门课课程程，
24、不不仅仅可可以以开开拓拓自自己己的的视视野野，提提高高学学生生学学习习数数学学的的兴兴趣趣，而而且且更更应应该该看看到到，它将会对日常的数学教学起到积极的作用。它将会对日常的数学教学起到积极的作用。我我们们会会在在日日常常教教学学中中，通通过过对对每每一一部部分分数数学学史史内内容容的的介绍，引起学生的兴趣；介绍，引起学生的兴趣；本本专专题题可可以以帮帮助助我我们们养养成成一一个个不不断断开开发发数数学学资资源源的的习习惯，使得日常教学更加丰富、生动和深刻。惯，使得日常教学更加丰富、生动和深刻。本本专专题题可可以以更更好好的的把把握握日日常常教教学学中中某某些些知知识识点点的的本本质质，以及它们在整个数学中的位置。以及它们在整个数学中的位置。3 3、通通过过数数学学史史选选讲讲这这一一课课程程，把把它它作作为为我我们们提提升升个个人人专业素养的重要渠道。专业素养的重要渠道。教学相长教学相长谢谢 谢！谢！