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1、电路第五章电路第五章.含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。特点：特点：1.动态电路动态电路 6.1 6.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。化过程称为电路的过渡过程。例例+-usR1R2（t=0）i0ti过渡期为零过渡期为零电阻电路电阻电路K未动作前未动作前，电路处于稳定状态，电路处于稳定状态i=0 ,uC=0i=0 ,uC=UsK+
2、uCUsRCi(t=0)K接通电源后接通电源后需经一段需经一段时间时间，电容，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态充电完毕，电路达到新的稳定状态+uCUsRCi(t)初始状态初始状态过渡状态过渡状态新稳态新稳态t1USuct0?i有一过渡期有一过渡期电容电路电容电路K未动作前未动作前，电路处于稳定状态，电路处于稳定状态i=0 ,uL=0i=Us/R,uL=0K接通电源后接通电源后需经一段需经一段时间时间，电路，电路达到新的稳定状态，电感视为短路达到新的稳定状态，电感视为短路初始状态初始状态过渡状态过渡状态新稳态新稳态t1US/Rit0?UL有一过渡期有一过渡期K+uLUsRLi(t=0)+uLU
3、sRLi(t)电感电路电感电路过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发生电路在换路时能量发生变化，而变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化电路结构、状态发生变化换路换路支路接入或断开支路接入或断开电路参数变化电路参数变化2.动态电路的方程动态电路的方程+uCUsRCi(t 0)应用应用KVL和元件的和元件的VCR得：得：+uLUsRLi(t 0)有源有源电阻电阻电路电路一个一个动态动态元件元件一阶一阶电路电路+uLUSRLi(t 0)CuC二阶电路二阶电路
4、一阶电路一阶电路描述电路的方程是一阶微分方程。描述电路的方程是一阶微分方程。一阶电路中只有一个动态元件。一阶电路中只有一个动态元件。稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分析的区别稳态稳态动态动态换路发生很长时间后的状态换路发生很长时间后的状态微分方程的特解微分方程的特解恒定或周期性激励恒定或周期性激励换路发生后的整个过程换路发生后的整个过程微分方程的一般解微分方程的一般解任意激励任意激励（1 1）描述动态电路的电路方程为微分方程；）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：结论：（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；复频域分析法复频域分
5、析法时域分析法时域分析法 动态电路的分析方法动态电路的分析方法建立微分方程：建立微分方程：经典法经典法状态变量法状态变量法数值法数值法卷积积分卷积积分拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法状态变量法状态变量法付氏变换付氏变换本章本章采用采用(1)t=0与与t=0的概念的概念认为认为换路在换路在 t=0时刻进行时刻进行0 换路前最终瞬间换路前最终瞬间 0 换路后最初瞬间换路后最初瞬间3 3.电电路路的的初初始始条条件件初始条件为初始条件为 t=0时时u，i 及其各阶导数的值及其各阶导数的值000tf(t)图示为电容放电电路，电容原先带有电压图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时
6、间的变化。求开关闭合后电容电压随时间的变化。例例R+CiuC(t=0)解解特征根方程：特征根方程：得通解：得通解：代入代入初始条件初始条件 uC(0+)=U0 得：得：说明在动态电路的分析中：说明在动态电路的分析中：初始条件是得到确定解答的必需条件。初始条件是得到确定解答的必需条件。设齐次方程通解：设齐次方程通解：t=0+时刻时刻当当i()为有限值时为有限值时iucC+-q(0+)=q(0)uC(0+)=uC(0)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。(2)(2)电容的初始条件电容的初始条件0
7、q=C uC电荷电荷守恒守恒结结论论当当u为有限值时为有限值时 L(0)=L(0)iL(0)=iL(0)iuL+-L(3)(3)电感的初始条件电感的初始条件t=0+时刻时刻0磁链磁链守恒守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结结论论 L(0+)=L(0)iL(0+)=iL(0)qc(0+)=qc(0)uC(0+)=uC(0)（4 4）换路定律）换路定律（1 1）电容电流和电感电压为）电容电流和电感电压为有限值有限值是换路定律成立的条件是换路定律成立的条件注意注意:换路瞬间，若电感电压保持为
8、有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则则电感电流电感电流（磁链）换路前后保持不变。（磁链）换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则则电容电压电容电压（电荷）换路前后保持不变。（电荷）换路前后保持不变。（2 2）换路定律反映了）换路定律反映了能量能量不能跃变。不能跃变。5.5.电路初始值的确定电路初始值的确定(2)由由换路定律换路定律 uC(0+)=uC(0)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路等效电路(1)由由0电路求电路求 uC(0)或或iL(0)+-10V+uC-10k40kuC(0)=8V(3)由由0+等效电路等效电路求求
9、 iC(0+)iC(0-)=0 iC(0+)例例1求求 iC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k电电容容开开路路电容用电容用电电压源压源替代替代 iL(0+)=iL(0)=2A例例 2t=0时闭合开关时闭合开关k,求求 uL(0+)iL+uL-L10VK1 4+uL-10V1 4 0+电路电路2A先求先求由换路定律由换路定律:电感用电感用电电流源流源替代替代10V1 4 解解电电感感短短路路求初始值的步骤求初始值的步骤:1.1.由换路前电路（一般为稳定状态）求由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0)和和iL(0)；2.2.由换路定律得由换路定律得 uC(0+)和和 iL(0+)（独
10、立变量）（独立变量）。3.3.画画0+等效电路。等效电路。4.4.由由0+电路求所需各变量电路求所需各变量（非独立变量）（非独立变量）的的0+值。值。b.b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.a.换路后的电路换路后的电路（取（取0+时刻值，方向同原假定的电容时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向）。电压、电感电流方向）。iL(0+)=iL(0)=ISuC(0+)=uC(0)=RISuL(0+)=-RIS求求 iC(0+),uL(0+)例例3K(t=0)+uLiLC+uCLRISiC解解0+电路电路uL+iCRISR IS+0电路电路RIS由由0
11、0电路得：电路得：由由0 0电路得：电路得：iLuC+例例3iL+uL-LK2+-48V3 2 C求求K闭合瞬间各支路电流和电感电压闭合瞬间各支路电流和电感电压解解由由0 0电路得：电路得：12A24V+-48V3 2+-iiC+-uL由由0 0+电路得：电路得：iL2+-48V3 2+uC例例4求求K闭合瞬间流过它的电流值。闭合瞬间流过它的电流值。iL+200V-LK100+uC100 100 C解解（1 1）确定确定0 0值值（2 2）给出）给出0 0等效电路等效电路1A+200V-100+100V100 100+uLiC6.2 6.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应换路后外加激
12、励为零，仅由动态元件初换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。始储能所产生的电压和电流。1.1.RC电路的零输入响应电路的零输入响应已知已知 uC(0)=U0iK(t=0)+uRC+uCR特征根特征根特征方程特征方程RCp+1=0则则 uR=Ri零输入响应零输入响应令通解为：令通解为：代入初始值代入初始值 uC(0+)=uC(0)=U0A=U0tU0uC0I0ti0令令 =RC ,称称 为为一阶一阶RC RC 电路的时间常数电路的时间常数 （1 1）电压、电流是随时间按）电压、电流是随时间按同一指数规律同一指数规律衰减的函数；衰减的函数；从以上各式可以得出：从以上各式可以得
13、出：连续连续函数函数跃变跃变 （2 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；有关；时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 =R C 大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间短过渡过程时间短电压初值一定：电压初值一定：R 大（大（C一定）一定）i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间长放电时间长U0tuc0 小小 大大C 大（大（R一定）一定）W=Cu2/2 储能大储能大物理含义物理含义工程上认为工程上认为,经过经过 3 5,过渡过程结束。过渡过程结束。：电容电压衰减到原来电压：电容
14、电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。t2t1 t1时刻曲线的斜率等于时刻曲线的斜率等于U0tuc0 t1t2U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t0 2 3 5 U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5 次切距的长度次切距的长度（3 3）能量关系）能量关系 电容电容不断释放能量被电阻吸收不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕.设设uC(0+)=U0电容放出能量：电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+C例例 已知图示电路中的电容原本充有已知图示电路中的电容原本充有24V电压，
15、求电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解解这是一个求一阶这是一个求一阶RC零输零输入响应问题，有：入响应问题，有：i2K3+uC2 6 5Fi3i1+uC4 5Fi1t 0等效电路等效电路分流得：分流得：2.2.RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0特征根特征根 代入初始值代入初始值 i(0+)=I0A=i(0+)=I0iK(t=0)USL+uLRR1t 0iL+uLR令方程通解：令方程通解：-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续连续函数函数跃变跃变 （1 1）电压、电
16、流是随时间按）电压、电流是随时间按同一指数规律同一指数规律衰减的函数；衰减的函数；（2 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；有关；令令 =L/R ,称为称为一阶一阶RL电路时间常数电路时间常数L大大 W=Li2/2 起始能量大起始能量大R小小 P=Ri2 2 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小 大大放电慢放电慢 大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间短过渡过程时间短物理含义物理含义时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 =L/R电流初值电流初值i(0)一定：一定：（3 3
17、）能量关系）能量关系 电感电感不断释放能量被电阻吸收不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕.设设iL(0+)=I0电感放出能量：电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：iL+uLRiL(0+)=iL(0)=1 AuV(0+)=10000V 造成造成V损坏。损坏。例例1t=0时时,打开开关打开开关K，求求uv。现象现象：电压表坏了：电压表坏了电压表量程：电压表量程：50V解解iLLR10ViLK(t=0)+uVL=4HR=10 VRV10k 10V注意注意：断开开关前取下电压表，考虑开关处熄弧：断开开关前取下电压表，考虑开关处熄弧例例2t=0时时,开关开关K由
18、由12，求求电感电压和电流及开关两电感电压和电流及开关两端电压端电压u12。解解iLK(t=0)+24V6H3 4 4 6+uL2 12t 0iL+uLR小结小结4.4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。1.1.一阶电路的一阶电路的零输入响应零输入响应是由是由储能元件的初值储能元件的初值引起的引起的2.2.响应响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.2.衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 RC电路电路 =ReqC ,RL电路电路 =L/Req Req为与为与动态元件相连动态
19、元件相连的无源一端口电路的的无源一端口电路的等效电阻等效电阻。3.3.同一电路中同一电路中所有响应具有所有响应具有相同的时间常数相同的时间常数。iL(0+)=iL(0)uC(0+)=uC(0)RC电路电路RL电路电路动态元件动态元件初始能量为零初始能量为零，由，由t 0电路电路中中外加输入激励作用所产生的响应。外加输入激励作用所产生的响应。列方程：列方程：iK(t=0)US+uRC+uCRuC(0)=06.3 6.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程解答形式为：解答形式为：1.1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应零状态响应零状态响应非齐次方
20、程特解非齐次方程特解齐次齐次方程方程通解通解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定全解全解uC(0+)=A+US=0 A=US由起始条件由起始条件 uC(0+)=0 定积分常数定积分常数 A的通解的通解非齐次方程特解（强制分量，稳态分量）非齐次方程特解（强制分量，稳态分量）齐次方程通解（自由分量，暂态分量）齐次方程通解（自由分量，暂态分量）的特解的特解-USuC”uCUSti0tuc0 （1 1）电压、电流是随时间）电压、电流是随时间按同一指数规律按同一指数规律变化的函数；变化的函数；电容电压由两
21、部分构成：电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续连续函数函数跃变跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量）暫态分量（自由分量）+（2 2）响应变化的快慢，由时间常数）响应变化的快慢，由时间常数 RC决定；决定；大，充电大，充电 慢，慢，小充电就快。小充电就快。（3 3）响应与外加激励成线性关系；）响应与外加激励成线性关系；（4 4）能量关系）能量关系电容储存：电容储存：电源提供能量：电源提供能量：电阻消耗电阻消耗RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。一半转换成电场能量储存在电
22、容中。例例t=0时时 ,开关开关K K闭合，已知闭合，已知 uC（0）=0，求求（1 1）电）电容电压和电流，（容电压和电流，（2 2）uC80V时的充电时间时的充电时间t。解解500 10 F+-100VK+uCi(1)这是一个这是一个RC电路零状电路零状态响应问题，有：态响应问题，有：（2 2）设经过）设经过t1秒，秒，uC80V2.2.RL电路的零状态响应电路的零状态响应iLK(t=0)US+uRL+uLR已知已知iL(0)=0，电路方程为电路方程为：tuLUStiL00例例1t=0时时 ,开关开关K打开，求打开，求t0t0后后iL、uL的变化规律的变化规律。解解这是一个这是一个RL电路
23、零状态电路零状态响应问题，先化简响应问题，先化简t0后后电路，有：电路，有：iLK+uL2HR80 10A200 300 iL+uL2H10AReqt0例例2t=0时时 ,开关开关K打开，求打开，求t0t0后后iL、uL的及电流源的端的及电流源的端电压电压。解解这是一个这是一个RL电路零状态响电路零状态响应问题，先化简电路，有：应问题，先化简电路，有：iLK+uL2H10 2A10 5+ut0iL+uL2HUSReq+6.4 6.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。加激励源作用时电路中产生的响应。i
24、K(t=0)US+uRC+uCR解答为解答为 uC(t)=uC+uCuC(0+)=uC(0)=U0以以RC电路为例，非齐次方程电路为例，非齐次方程=RC1.1.全响应全响应全响应全响应稳态解稳态解 uC =US暂态解暂态解uC(0+)=US+A=U0 A=U0-US由初始值定由初始值定A全解为全解为 uC(t)=US+2.2.全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式强制分量强制分量(稳态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)uC-USU0暂态解暂态解uCUS稳态解稳态解U0uc全解全解tuc0全响应全响应=强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)（1）着眼于响应的
25、两种变化规律着眼于响应的两种变化规律物理概念清晰物理概念清晰iK(t=0)US+uRC+uCRuC(0)=U0iK(t=0)US+uRC+uCR=uC(0)=0+uC(0)=U0C+u”CiK(t=0)+uRR全响应全响应=零状态响应零状态响应+零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应(2).(2).着眼于因果关系着眼于因果关系(2).(2).着眼于因果关系着眼于因果关系便于叠加计算便于叠加计算零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应tuc0US零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0例例1t=0时时 ,开关开关K打开，求打开，求t0t0后的后的iL、uL解
26、解这是一个这是一个RL电路全响应问电路全响应问题，有：题，有：iLK(t=0)+24V0.6H4+uL8 零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：全响应：全响应：或求出稳态分量：或求出稳态分量：全响应：全响应：代入初值有：代入初值有：62AA=4例例2t=0时时 ,开关开关K闭合，求闭合，求t0t0后的后的iC、uC及电流源两端及电流源两端的电压。的电压。解解这是一个这是一个RC电路全响应问电路全响应问题，有：题，有：+10V1A1+uC1+u1 稳态分量：稳态分量：全响应：全响应：A=10uC(0+)=uC(0)=1V+24V1A1+uC1+u1 3.3.三要素法分析一阶电路三要素法
27、分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程：一阶电路的数学模型是一阶微分方程：令令 t=0+其解答一般形式为：其解答一般形式为：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用换路定律；用换路定律；0+等效电路求解等效电路求解用用t 的稳态的稳态电路求解电路求解1A2 例例11 3F+-uC已知：已知：t=0时合开关，求换路后的时合开关，求换路后的uC(t)。解解tuc2(V)0.6670例例2t=0时时 ,开关闭合，求开关闭合，求t0后的后的iL、i1、i2解解三要素为：三要素为：iL+20V0.5H5 5+10Vi2i1应用三要素公式应用三要素公
28、式例例3已知：已知：t=0时开关由时开关由1212，求换路后的，求换路后的uC(t)。2A4 1 0.1F+uC+4 i12i18V+12解解三要素为：三要素为：4+4 i12i1u+例例4i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)3 2 已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能 t=0 时合时合k1,t=0.2s时合时合k2 求两次换路后的电感电流求两次换路后的电感电流i(t)。0 t 0.2s解解(0 t 0.2s)(t 0.2s)it(s)0.25(A)1.262例例4.脉冲序列分析脉冲序列分析1.1.RC电路在单个脉冲作用的响应电路在单个脉冲作用的响应RCusuRuci10Ttus
29、(1)0tTuc(t)uR(t)t0t0(a)T,uc为输出为输出t0输出近似为输入的积分输出近似为输入的积分RCusuRuciuCTT2.2.脉冲序列分析脉冲序列分析t0(a)T U1U2ucuRRCusurnuci解答解答初始值初始值暂态函数暂态函数稳态解稳态解稳态解稳态解这这 正正 是：是：一一一一 阶阶阶阶 电电电电 路路路路 三三三三 要要要要 素，素，素，素，一一一一 初初初初 一一一一 稳稳稳稳 一一一一 常常常常 数。数。数。数。初初初初 值值值值 换换换换 路路路路 零零零零 正正正正 求，求，求，求，稳稳稳稳 初初初初 稳稳稳稳 暂暂暂暂 解解解解 求求求求 出。出。出。出。时间常数时间常数