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1、第第39讲讲 上界定理的概上界定理的概念念Lesson 39Lesson 39第十五章 上界定理及其应用主要内容主要内容Main Content虚功原理及最大塑性功原理虚功原理及最大塑性功原理上界定理的概念上界定理的概念上界定理的应用上界定理的应用间断速度场间断速度场11/5/20222Lesson 39Lesson 3915.2 上界定理的概念上界定理的概念15.2.1 边界条件边界条件可动工具可动工具 Fv固定工具固定工具 Fvv=v0，p=?v=0，p=?自由边界自由边界 Fp已知外力边界已知外力边界 Fpp=0，v=?p=p0，v=?p0速度不连续线速度不连续线 Fd11/5/2022
2、3Lesson 39Lesson 3915.2.2 下界定理下界定理设设刚刚塑塑性性物物体体的的体体积积是是V，总总表表面面积积是是F，表表面面力力pi（外外载载荷荷）在在一一部部分分表表面面Fp上上是是已已知知的的，在在其其余余部部分分表表面面Fv上上位位移移速速度度vi也也是是已已知知的的。真真实实的的应应力力场场是是s sij，应应变变速速度度场场是是e eij，边边界界位位移移速速度度是是vi。对于真实的情况，令外功等于内功，有对于真实的情况，令外功等于内功，有 11/5/20224Lesson 39Lesson 39再设再设s s*ij是静力许可的应力场，它在每点满足平衡是静力许可的
3、应力场，它在每点满足平衡方程和屈服条件。令这个虚设应力场方程和屈服条件。令这个虚设应力场s s*ij在真实的在真实的应变速度场上作虚功，根据虚功方程有应变速度场上作虚功，根据虚功方程有 11/5/20225Lesson 39Lesson 39两式相减并按最大塑性功原理有两式相减并按最大塑性功原理有 即即该式为下界定理。即任何静力可能的应力分布所对该式为下界定理。即任何静力可能的应力分布所对应的外力必不大于真实外力。应的外力必不大于真实外力。11/5/20226Lesson 39Lesson 3915.2.3 上界定理上界定理用用 表表示示真真实实的的应应力力场场、塑塑性性应应变变速速度度场场和
4、和边边界界位位移移速速度度。此此外外，再再设设定定一一个个虚虚的的位位移移速速度度场场 。在在给给定定了了边边界界速速度度的的那那一一部部分分表表面面Fv上上，满满足足边边界界速速度度条条件件，即即 ，并并且且在在每每一一点点满满足体积不可压缩条件。足体积不可压缩条件。由由设设定定的的位位移移速速度度场场，可可以以导导出出应应变变速速度度场场 11/5/20227Lesson 39Lesson 39 设设定的位移速度定的位移速度场场 还还可能包含有速度可能包含有速度间间断，假定断，假定速度沿曲面速度沿曲面 发发生生间间断。由于不能肯定断。由于不能肯定 是真是真实实的速的速度度间间断面，所以沿断
5、面，所以沿 的切向剪的切向剪应应力只能用力只能用 表示。表示。11/5/20228Lesson 39Lesson 39真实的外力真实的外力 和内力场和内力场 在虚设的位移速度场在虚设的位移速度场 上作功，则由虚功率方程得出上作功，则由虚功率方程得出式中式中 是沿是沿 的切向速度不连续量。从物理上判的切向速度不连续量。从物理上判断，在不连续面断，在不连续面 上所消耗的功上所消耗的功 一定为正一定为正值，其极限是值，其极限是 。11/5/20229Lesson 39Lesson 39按最大塑性功原理有按最大塑性功原理有 或或则则 该式即为上界定理。即表示力在给定的边界位移该式即为上界定理。即表示力
6、在给定的边界位移速度上付出的功率，以在真实的位移速度场情况下为速度上付出的功率，以在真实的位移速度场情况下为最小。或者说，由虚设位移速度场（位移场、应变速最小。或者说，由虚设位移速度场（位移场、应变速度场）算得的载荷大于或等于真实载荷。度场）算得的载荷大于或等于真实载荷。11/5/202210Lesson 39Lesson 39上界定理简化表达式上界定理简化表达式不等式左边不等式左边J表示真实外力功率表示真实外力功率不等式右边不等式右边J*表示虚构速度场下的外力功率表示虚构速度场下的外力功率等式右边表示虚构速度场下的各项功率等式右边表示虚构速度场下的各项功率11/5/202211Lesson
7、39Lesson 39其中其中为内部塑性变形功率为内部塑性变形功率为不连续面上的剪切功率为不连续面上的剪切功率为附加外力功率为附加外力功率11/5/202212Lesson 39Lesson 39如果把接触面上的摩擦功率也单独表达出来，则有如果把接触面上的摩擦功率也单独表达出来，则有在上界定理表达式中把摩擦功率也移到不等式右边在上界定理表达式中把摩擦功率也移到不等式右边或或11/5/202213Lesson 39Lesson 39为摩擦剪切功率为摩擦剪切功率 惯性功率、孔隙扩张功率、表面变化功率惯性功率、孔隙扩张功率、表面变化功率等根据实际问题的需要增减。等根据实际问题的需要增减。11/5/202214Lesson 39Lesson 39课后作业Homework熟练掌握上界定理的表达式，理解其中各熟练掌握上界定理的表达式，理解其中各项功率的物理含义。项功率的物理含义。11/5/202215