第08章 假设检验.ppt

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1、第第08章章 假设检验假设检验若对若对参数参数有所有所了解了解但有怀但有怀疑猜测疑猜测需要证需要证实之时实之时用假设用假设检验的检验的方法来方法来 处理处理若对参数若对参数一无所知一无所知用参数估计用参数估计的方法处理的方法处理引引 言言 假设检验是指施加于一个或多个假设检验是指施加于一个或多个总体的概率分布或参数的假设总体的概率分布或参数的假设.所作所作假设可以是正确的假设可以是正确的,也可以是错误的也可以是错误的.为判断所作的假设是否正确为判断所作的假设是否正确,从从总体中抽取样本总体中抽取样本,根据样本的取值根据样本的取值,按按一定原则进行检验一定原则进行检验,然后作出接受或然后作出接受

2、或拒绝所作假设的决定拒绝所作假设的决定.何为假设检验何为假设检验?假设检验所以可行假设检验所以可行,其理论背景为实际其理论背景为实际推断原理推断原理,即即“小概率原理小概率原理”假设检验的内容假设检验的内容参数检验参数检验非参数检验非参数检验总体均值总体均值,均值差的检验均值差的检验总体方差总体方差,方差比的检验方差比的检验分布拟合检验分布拟合检验符号检验符号检验秩和检验秩和检验假设检验的理论依据假设检验的理论依据第一节第一节假设检验假设检验假设检验假设检验参数假设检验参数假设检验非参数假设检验非参数假设检验这类问题称作假设检验问题这类问题称作假设检验问题.总体分布已总体分布已知,检验关知,检

3、验关于未知参数于未知参数的某个假设的某个假设总体分布未知时的假设检验问题总体分布未知时的假设检验问题 在在本本节节中中,我我们们将将讨讨论论不不同同于于参参数数估估计计的的另另一一类类重重要要的的统统计计推推断断问问题题.这这就就是是根根据据样样本本的的信信息息检检验验关于总体的某个假设是否正确关于总体的某个假设是否正确.一、假设检验的基本思想和方法一、假设检验的基本思想和方法 生产流水线上罐装可乐不断地封装,然后装生产流水线上罐装可乐不断地封装,然后装箱外运箱外运.怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢?把每一罐都打开倒入量杯把每一罐都打开倒入量杯,看看容量

4、是否合看看容量是否合于标准于标准.这样做显然不行!这样做显然不行!罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在350毫升和毫升和360毫毫升之间升之间.每隔一定时间,抽查若干罐每隔一定时间,抽查若干罐.如每隔如每隔1小时,抽小时,抽查查5罐,得罐,得5个容量的值个容量的值X1,X5,根据这些值,根据这些值来判断生产是否正常来判断生产是否正常.如发现不正常,就应停产,找出原因,排除如发现不正常,就应停产,找出原因,排除故障,然后再生产;如没有问题,就继续按规定故障,然后再生产;如没有问题,就继续按规定时间再抽样,以此监督生产,保证质量时间再抽样,以此监督生产,保证质量.通常的办法是进行抽样检

5、查通常的办法是进行抽样检查.很明显,不能由很明显,不能由5罐容量的数据,在把握不大罐容量的数据,在把握不大的情况下就判断生产的情况下就判断生产 不正常,因为停产的损失是不正常,因为停产的损失是很大的很大的.当然也不能总认为正常,有了问题不能及时当然也不能总认为正常,有了问题不能及时发现,这也要造成损失发现,这也要造成损失.如何处理这两者的关系,假设检验面对的就如何处理这两者的关系,假设检验面对的就是这种矛盾是这种矛盾.在正常生产条件下,由于种种随机因素的影响,在正常生产条件下,由于种种随机因素的影响,每罐可乐的容量应在每罐可乐的容量应在355毫升上下波动毫升上下波动.这些因素这些因素中没有哪一

6、个占有特殊重要的地位中没有哪一个占有特殊重要的地位.因此,根据中因此,根据中心极限定理,假定每罐容量服从正态分布是合理的心极限定理,假定每罐容量服从正态分布是合理的.现在我们就来讨论这个问题现在我们就来讨论这个问题.罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在350毫升和毫升和360毫升之间毫升之间.它的对立假设是:它的对立假设是:称称H0为原假设为原假设(或零假设);(或零假设);称称H1为备择假设为备择假设(或对立假设)(或对立假设).在实际工作中,在实际工作中,往往把不轻易往往把不轻易否定的命题作否定的命题作为原假设为原假设.H0:(=355)H1:这样,我们可以认为这样,我们可以认

7、为X1,X5是取自正态是取自正态总体总体 的样本,的样本,是一个常数是一个常数.当生产比较稳定时,当生产比较稳定时,现在要检验的假设是:现在要检验的假设是:如何判断原假设如何判断原假设H0 是否成立呢?是否成立呢?由于由于 是正态分布的期望值,它的估计量是样本是正态分布的期望值,它的估计量是样本均值,因此均值,因此 可以根据可以根据 与与 的差距的差距来判断来判断H0 是否成立是否成立.较小时,可以认为较小时,可以认为H0是成立的;是成立的;当当生产已不正常生产已不正常.当当较大时,应认为较大时,应认为H0不成立,即不成立,即问题:问题:较大、较小是一个相对的概念。合理的界较大、较小是一个相对

8、的概念。合理的界限在何处?应由什么原则来确定?限在何处?应由什么原则来确定?问题归结为对差异作定量的分析,以确定其性质问题归结为对差异作定量的分析,以确定其性质.差异可能是由抽样的随机性引起的,称为差异可能是由抽样的随机性引起的,称为“抽样抽样误差误差”或或“随机误差随机误差”这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机波动机波动这种随机性的波动是有一定限度的这种随机性的波动是有一定限度的如果差异超过了这个限度,我们就不能用抽样如果差异超过了这个限度,我们就不能用抽样的随机性来解释了的随机性来解释了此时必须认为这个差异反映了事物的本质差别,此时必须认为这个

9、差异反映了事物的本质差别,即反映了生产已不正常即反映了生产已不正常这种差异称作这种差异称作“系统误差系统误差”问题:问题:根据所观察到的差异,如何判断它究竟是根据所观察到的差异,如何判断它究竟是由于偶然性在起作用,还是生产确实不正常?由于偶然性在起作用,还是生产确实不正常?即差异到底是由即差异到底是由“抽样误差抽样误差”还是还是“系统误差系统误差”所引所引起的?起的?解决:解决:差异定量化,给出这个量的界限差异定量化,给出这个量的界限。如果差异在界限内,则认为是抽样误差;如果差异在界限内,则认为是抽样误差;如果差异超过界限,则认为是系统误差。如果差异超过界限,则认为是系统误差。判断原则:判断原

10、则:小概率事件在一次试验中小概率事件在一次试验中基本上基本上不会不会发生发生 回到我们前面罐装可乐的例中:回到我们前面罐装可乐的例中:在提出原假设在提出原假设H0后,如何作出接受和拒绝后,如何作出接受和拒绝H0的结的结论呢?论呢?在假设检验中,我们称这个小概率为在假设检验中,我们称这个小概率为显著性水显著性水平平,用,用 表示表示.常取常取 的选择要根据实际情况而定。的选择要根据实际情况而定。罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在350毫升和毫升和360毫毫升之间升之间.一批可乐出厂前应进行抽样检查,现抽一批可乐出厂前应进行抽样检查,现抽查了查了n 罐,测得容量为罐,测得容量为 X1

11、,X2,Xn,问这一批可问这一批可乐的容量是否合格?乐的容量是否合格?提出假设提出假设选检验统计量选检验统计量 N(0,1)H0:=355 H1:355由于由于 已知,已知,它能衡量差异它能衡量差异大小且分布已知大小且分布已知.对给定的显著性水平对给定的显著性水平 ,可以在,可以在N(0,1)表中查到表中查到分位点的值分位点的值 ,有,有我们可以取拒绝域为我们可以取拒绝域为:这样,这样,“”是一个小概率事件是一个小概率事件.W:如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域W,则拒绝,则拒绝H0;否则,不能拒绝;否则,不能拒绝H0.0a a/2za/2a/2a

12、 a/2-za/2a/2 如果如果H0 是对的,那么衡量差异大小的某个统计是对的,那么衡量差异大小的某个统计量落入区域量落入区域 W(拒绝域拒绝域)是个小概率事件是个小概率事件.如果该统如果该统计量的实测值落入计量的实测值落入W,也就是说,也就是说,H0 成立下的小概成立下的小概率事件发生了,那么就认为率事件发生了,那么就认为H0不可信而否定它不可信而否定它.否否则我们就不能否定则我们就不能否定H0(只好接受它)(只好接受它).我们所依据的逻辑是:我们所依据的逻辑是:注意:注意:不否定不否定H0并不是肯定并不是肯定H0一定对,而只是说差一定对,而只是说差异还不够显著,还没有达到足以否定异还不够

13、显著,还没有达到足以否定H0的程度的程度。如果显著性水平如果显著性水平 取得很小,则拒绝域取得很小,则拒绝域 也会比较小也会比较小.其产生的后果是:其产生的后果是:H0难于被拒绝。难于被拒绝。如果在如果在 很小的情况下很小的情况下H0仍被拒绝了,则说明实际情仍被拒绝了,则说明实际情况很可能与之有显著差异况很可能与之有显著差异.基于这个理由,人们常把基于这个理由,人们常把 时拒绝时拒绝H0称为称为是是显著显著的,而把在的,而把在 时拒绝时拒绝H0称为是称为是高度高度显著显著的的.0a a/2za/2a/2a a/2-za/2a/2 例例2 某工厂生产的一种螺钉,标准要求长度是某工厂生产的一种螺钉

14、,标准要求长度是32.5毫米毫米.实际生产的产品,其长度实际生产的产品,其长度X 假定服从正态分布假定服从正态分布 未知,现从该厂生产的一批产品中抽未知,现从该厂生产的一批产品中抽取取6件件,得尺寸数据如下得尺寸数据如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03问这批产品是否合格问这批产品是否合格?分析:这批产品分析:这批产品(螺钉长度螺钉长度)的全体组成问题的总体的全体组成问题的总体X.现在要现在要检验检验E(X)是否为是否为32.5.二、假设检验的一般步骤二、假设检验的一般步骤提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设 第一步:第一步:已知已知 X未知未知.第二

15、步:第二步:能衡量差异大小且分布已知能衡量差异大小且分布已知取一检验统计量,在取一检验统计量,在H0成立下成立下求出它的分布求出它的分布第三步:第三步:即即“”是一个是一个小概率事件小概率事件.小概率事件在一次小概率事件在一次试验中基本上不会试验中基本上不会发生发生.对给定的显著性水平对给定的显著性水平 =0.01,查表确定,查表确定临界值临界值,使使得否定域得否定域 W:|t|4.0322不在拒绝域中,故接受不在拒绝域中,故接受H0。第四步第四步:将样本值代入算出统计量将样本值代入算出统计量 t 的实测值的实测值,第五步:作出判断第五步:作出判断|t|=2.9971.645故拒绝故拒绝H0,

16、即认为这批推进器的燃料率较以往生,即认为这批推进器的燃料率较以往生产的有显著的提高。产的有显著的提高。落入否定域落入否定域解解:提出假设提出假设:取统计量取统计量拒绝域为拒绝域为 W:=1.645 某织物强力指标某织物强力指标X的均值的均值 =21公斤公斤.改进工艺改进工艺后生产一批织物,今从中取后生产一批织物,今从中取30件,测得件,测得 =21.55公公斤斤.假设强力指标服从正态分布假设强力指标服从正态分布 且已且已知知 =1.2公斤,公斤,问在显著性水平问在显著性水平 =0.01 下,新下,新生产织物比过去的织物强力是否有提高生产织物比过去的织物强力是否有提高?四、课堂练习四、课堂练习代

17、入代入 =1.2,n=30,并由样本值计算得统计并由样本值计算得统计量量 Z 的实测值的实测值z=2.512.33故拒绝原假设故拒绝原假设H0,即新生产织物比过去的织物的,即新生产织物比过去的织物的强力有提高。强力有提高。落入否定域落入否定域解解:提出假设提出假设:取统计量取统计量拒绝域为拒绝域为 W:=2.33 提出提出假设假设 根据统计调查的目的根据统计调查的目的,提出提出原假设原假设H0 和备选假设和备选假设H1作出作出决策决策抽取抽取样本样本检验检验假设假设 对差异进行定量的分析,对差异进行定量的分析,确定其性质确定其性质(是随机误差是随机误差还是系统误差还是系统误差.为给出两为给出两

18、者界限,找一检验统计量者界限,找一检验统计量T,在在H0成立下其分布已知成立下其分布已知.)拒绝还是不能拒绝还是不能拒绝拒绝H0显著性显著性水平水平P(T W)=-犯第一犯第一类错误的概率,类错误的概率,W为拒绝域为拒绝域五五、小小 结结第二节第二节正态总体均值的正态总体均值的假设检验假设检验一、单个总体一、单个总体 均值均值 的检验的检验 1.已知,关于已知,关于 的检验(的检验(Z检验)检验)在上一小节中已讨论过正态总体在上一小节中已讨论过正态总体 ,当当 已知时关于已知时关于 的检验问题的检验问题.在这些检验问题在这些检验问题中,我们都是利用中,我们都是利用 在为真时服从在为真时服从 分

19、布分布的统计量的统计量 来确定拒绝域。这种检验法常来确定拒绝域。这种检验法常称为称为 Z 检验法检验法。注意注意:比较正态总体比较正态总体 在方差在方差 已知时,已知时,对均值对均值 的两种检验问题的两种检验问题 和和尽管两者原假设尽管两者原假设 的形式不同,实际意义也不一样,的形式不同,实际意义也不一样,但对于相同的显著性水平,它们的拒绝域是相同的。但对于相同的显著性水平,它们的拒绝域是相同的。因此遇到形如因此遇到形如的检验问题,可归结为的检验问题,可归结为来讨论。对于下面将要讨论的其它正态总体的参数的来讨论。对于下面将要讨论的其它正态总体的参数的检验也有类似的结果。检验也有类似的结果。2.

20、未知,关于未知,关于 的检验(的检验(t检验)检验)设总体设总体 ,其中,其中 未知,我们未知,我们来求检验问题来求检验问题 的拒绝域(显著性水平为的拒绝域(显著性水平为 )。)。设设 是来自正态总体是来自正态总体X 的样本,的样本,由于由于 未知,现在不能利用未知,现在不能利用 来确定拒绝来确定拒绝 域了。域了。注意到注意到 是是 的无偏估计,我们用的无偏估计,我们用 S 来代来代替替 ,采用,采用 作为作为检验统计量检验统计量。当。当 过分大时就拒绝过分大时就拒绝 ,拒绝域拒绝域的的 形式为形式为已知当已知当 为真时,为真时,故由,故由P 拒绝拒绝 为真为真 ,得得 ,即即拒绝域拒绝域为为

21、 对于正态总体对于正态总体 ,当,当 未知时,关于未知时,关于 的单边检验的拒绝域在课本附表中已给出。的单边检验的拒绝域在课本附表中已给出。例例1 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命 X(以小时计)服从正态(以小时计)服从正态分布,分布,均未知。现测得均未知。现测得16只元件的寿命如下:只元件的寿命如下:159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170问是否有理由认为元件的平均寿命大于问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时小时)?上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为 t 检验法

22、检验法。在。在实际中,正态总体的方差常为未知,所以我们常用实际中,正态总体的方差常为未知,所以我们常用t 检验法检验法来检验关于正态总体均值的检验问题。来检验关于正态总体均值的检验问题。解:解:按题意需检验按题意需检验取取 。由表。由表8.1知检验问题的拒绝域为知检验问题的拒绝域为现在现在n=16,又算得又算得即得即得t不落在拒绝域,故接受不落在拒绝域,故接受 ,即认为元件的平均,即认为元件的平均寿命不大于寿命不大于225小时。小时。二二.两个正态总体均值差的检验(两个正态总体均值差的检验(t t 检验)检验)我们还可以用我们还可以用t检验法检验具有相同方差的两个检验法检验具有相同方差的两个正

23、态总体均值差的假设。正态总体均值差的假设。设设 是来自正态总体是来自正态总体 的样本,的样本,是来自正态总体是来自正态总体 的样本且设两样本独立。的样本且设两样本独立。又分别记它们的样本均值为又分别记它们的样本均值为 ,记样本方差为,记样本方差为 。设。设 均为未知,要特别引起注意的是,均为未知,要特别引起注意的是,在这里假设两总体的方差是相等的。在这里假设两总体的方差是相等的。现在来求检验问题:现在来求检验问题:(为已知常数)的拒绝域,取显著性水平为为已知常数)的拒绝域,取显著性水平为 引用下述引用下述 t 统计量作为统计量作为检验统计量检验统计量:其中其中 当当 为真时,已知为真时,已知

24、与单个总体与单个总体的的 t 检验法相仿,其检验法相仿,其拒绝域拒绝域的形式为的形式为 P拒绝拒绝 为真为真 可得可得 于是得拒绝域为于是得拒绝域为关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域在书附表关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域在书附表中给出。常用的是中给出。常用的是 的情况。的情况。当当两种正态总体的方差均为已知两种正态总体的方差均为已知时,我们可时,我们可用用Z检验法来检验两正态总体均值差检验法来检验两正态总体均值差的假设问题。的假设问题。例例2 在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的 建议是否会增加钢的得率,试验是在同一只平炉上建议是否会增加钢的得率

25、,试验是在同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都进行的。每炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉,然后用建尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉,然后用建议的新方法炼一炉,以后交替进行,各炼了议的新方法炼一炉,以后交替进行,各炼了10炉,炉,其得率分别为其得率分别为 标准方法标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 新方法新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1 设这两个样本相互独立,且分别来自正态总设这两个样本相互独

26、立,且分别来自正态总体体 和和 ,均未均未知。问建议的新操作方法能否提高得率?知。问建议的新操作方法能否提高得率?(取(取 )解:需要检验假设解:需要检验假设分别求出标准方法和新方法的样本均值和样本方差分别求出标准方法和新方法的样本均值和样本方差如下:如下:又,又,故拒绝域为故拒绝域为现在由于样本观察值现在由于样本观察值t-4.295-1.7341,所以拒绝所以拒绝 ,即认为建议的新操作方法较原来的方法为优。即认为建议的新操作方法较原来的方法为优。第三节第三节正态总体方差的正态总体方差的假设检验假设检验 是来自是来自X的样本,要求检验假的样本,要求检验假 设(显著性水平为设(显著性水平为 ):

27、):为已知常数。为已知常数。设总体设总体 均属未知,均属未知,一、单个总体的情况由于由于 是是 的无偏估计,当的无偏估计,当 为真时为真时,比值,比值 一般来说应在一般来说应在1附近摆动,而不应过分大于附近摆动,而不应过分大于1或过分小于或过分小于1。由于当。由于当 为真时为真时,我们取我们取 作为检验统计量,如上所说作为检验统计量,如上所说知道上述检验问题的拒绝域具有以下的形式:知道上述检验问题的拒绝域具有以下的形式:或或此处的此处的 值由下式确定:值由下式确定:P拒绝拒绝 为真为真 为计算方便起见,习惯上取为计算方便起见,习惯上取 (3.1)故得故得 于是得拒绝域为于是得拒绝域为 或或上述

28、检验法为上述检验法为 检验法。关于方差检验法。关于方差 的单边检的单边检验法的拒绝域已在附表中给出。验法的拒绝域已在附表中给出。例例3 某厂生产的某种型号的电池,其寿命长期以来某厂生产的某种型号的电池,其寿命长期以来服从方差服从方差 (小时小时 )的正态分布,现有一批的正态分布,现有一批这种电池,从它的生产情况来看,寿命的波动性有这种电池,从它的生产情况来看,寿命的波动性有所改变,现随机取所改变,现随机取26只电池,测出其寿命的样本方只电池,测出其寿命的样本方差差 小时小时 )。问根据这一数据能否推断这批)。问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化(取电池的寿命的波动性

29、较以往的有显著的变化(取 )?)?或或 由观察值由观察值 得得 所所以拒绝以拒绝 ,认为这批电池寿命波动性较以往的认为这批电池寿命波动性较以往的有显著的变化。有显著的变化。解:解:二、两个总体的情况二、两个总体的情况 设设 来自总体来自总体 的样本,的样本,是来自总体是来自总体 的样本,且两样的样本,且两样 本独立。其样本方差分别为本独立。其样本方差分别为 。且设。且设 均为未知,现在需要检验假设均为未知,现在需要检验假设:由于由于 的独立性及的独立性及 得知得知故当故当 为真时,即当为真时,即当 时有时有(3.2)我们取我们取 作为检验统计量。当作为检验统计量。当 为为真时真时 ,而当,而当

30、 为真时为真时 由于由于 ,故,故 有有偏大的趋势,因此拒绝域的形式为偏大的趋势,因此拒绝域的形式为 (3.3)k 由下式确定:由下式确定:P拒绝拒绝 为真为真即有即有于是拒绝域为于是拒绝域为 上述检验法称为上述检验法称为F检验法。关于检验法。关于 的另外两个的另外两个检验问题的拒绝域在附表中给出。检验问题的拒绝域在附表中给出。(3.4)例例4 试对例试对例2中的数据作方差的假设检验中的数据作方差的假设检验(取(取 )解:此处解:此处 ,拒绝域为拒绝域为或或现在现在 即有即有 故接受故接受 ,认为两总体方差相等。,认为两总体方差相等。例例5 研究机器研究机器A和机器和机器B生产的钢管的内径生产

31、的钢管的内径,随机抽取机器随机抽取机器 A 生产的管子生产的管子18 只,测得样本方差只,测得样本方差 ;抽取机器;抽取机器B生产的管子生产的管子13只,只,测得样本方差测得样本方差 。设两样本相互独。设两样本相互独立,且设由机器立,且设由机器A,机器机器B生产的管子的内径分别服生产的管子的内径分别服从正态分布从正态分布 ,,这里,这里 均未知。作假设检验均未知。作假设检验:(取取 )解:解:此处此处 由(由(3.4)式拒绝域为)式拒绝域为 现在现在故接受故接受.某机器加工某种零件,规定零件长度为某机器加工某种零件,规定零件长度为100cm,标,标准差不超过准差不超过2cm。每天定时检查机器的

32、运行情况。每天定时检查机器的运行情况。某日抽取某日抽取10个零件,测得平均长度个零件,测得平均长度 cm,样本标准差样本标准差 ,问该日机器工作是否正问该日机器工作是否正常常?三、课堂练习三、课堂练习解:设加工零件长度为解:设加工零件长度为 均未知。均未知。(1)检验假设检验假设 ,这是这是t-检验,当检验,当 成立时,统计量成立时,统计量拒绝域为拒绝域为对对 计算得计算得 .(2)检验假设检验假设 ,这是这是 检验问题检验问题;当当 成立时,成立时,统计量统计量拒绝域为拒绝域为对对 ,由,由t-分布表查得分布表查得 。因为因为 。接受假设。接受假设 ,即认为,即认为 。计算得计算得 由由 ,

33、查,查得得 ,因为,因为 ,故接受假设故接受假设 ,即认为,即认为 。综合(综合(1),(),(2)可以认为该日机器工作状态正常。)可以认为该日机器工作状态正常。第四节第四节置信区间与假设检验置信区间与假设检验之间的关系之间的关系接受域接受域置信区间置信区间假假设设检检验验区区间间估估计计统计量统计量 枢轴量枢轴量对偶关系对偶关系同一函数同一函数假设检验与区间估计的联系假设检验与区间估计的联系置信区间与假设检验之间有明显的联系置信区间与假设检验之间有明显的联系,先考先考察置信区间与双边检验之间的对应关系察置信区间与双边检验之间的对应关系.设设X1,.,Xn是一个来自总体的样本是一个来自总体的样

34、本,x1,.,xn是相应的样本值是相应的样本值.Q Q是参数是参数q q的可能取值范围的可能取值范围.设设(q q(X1,.,Xn),q q(X1,.,Xn)是参数是参数q q的一个置的一个置信水平为信水平为1-a a的置信区间的置信区间,则对于任意则对于任意q q Q Q,有有 Pq qq q(X1,.,Xn)q q qq(X1,.,Xn)1-a a,(4.1)考虑显著性水平为考虑显著性水平为a a的双边检验的双边检验H0:q q=q q0,H1:q q q q0.(4.2)Pq q q q(X1,.,Xn)q q q q(X1,.,Xn)1-a a,(4.1)H0:q q=q q0,H1:

35、q q q q0.(4.2)由由(4.1),当当H0为真时为真时按显著性水平为按显著性水平为a a的假设检验的拒绝域的定义的假设检验的拒绝域的定义,检验检验(4.2)的拒绝域为的拒绝域为q q0 q q(x1,.,xn)或或 q q0 q q(x1,.,xn);接受域为接受域为 q q(x1,.,xn)q q0 q q(x1,.,xn).这就是说这就是说,当我们要检验假设当我们要检验假设(4.2)时时,先求出先求出q q的置的置信水平为信水平为1-a a的置信区间的置信区间(q q,qq),然后考察然后考察q q0是否落在是否落在区间区间(q q,qq),若若q q0(q q,qq),则接受则

36、接受H0,若若q q0(q q,qq),则则拒绝拒绝H0.反之反之,对于任意对于任意q q0 Q Q,考虑显著性水平为考虑显著性水平为a a的假设检的假设检验问题验问题:H0:q q=q q0,H1:q q q q0,假设它的接受域为假设它的接受域为 q q(x1,.,xn)q q0 qq(x1,.,xn),即有即有由由q q0的任意性的任意性,由上式知对于任意由上式知对于任意q q Q Q,有有因此因此(q q(X1,.,Xn),qq(X1,.,Xn)是参数是参数q q的一个置的一个置信水平为信水平为1-a a的置信区间的置信区间.这就是说这就是说,为求出参数为求出参数q q的置信水平为的置

37、信水平为1-a a的置的置信区间,我们先求出显著性水平为信区间,我们先求出显著性水平为a a的假设检验问题的假设检验问题:H0:q q=q q0,H1:q q q q0的接受域的接受域:q q(x1,.,xn)q q0 q q(x1,.,xn),那么那么(q q(X1,.,Xn),qq(X1,.,Xn)就是就是q q的置信水平为的置信水平为1-a a的置信区间的置信区间.还可验证还可验证,置信水平为置信水平为1-a a的单侧置信区间的单侧置信区间(-,q q(X1,.,Xn)与显著性水平为与显著性水平为a a的左边检验问题的左边检验问题H0:q q q q0,H1:q q q q0有类似的对应

38、关系有类似的对应关系.即若已求得单侧置信区间即若已求得单侧置信区间(-,q q(X1,.,Xn),则则 当当q q0(-,q q(X1,.,Xn)时接受时接受H0,当当q q0(-,q q(X1,.,Xn)时拒绝时拒绝H0.反之反之,若已求得检验问题若已求得检验问题H0:q q q q0,H1:q q q q0的接收域的接收域为为:-q q0也也有类似的对应关系有类似的对应关系.即若已求得单侧置信区间即若已求得单侧置信区间(q q(X1,.,Xn),).则则当当q q0 (q q(X1,.,Xn),)时接受时接受H0,当当q q0 (q q(X1,.,Xn),)时拒绝时拒绝H0.反之反之,若已

39、求得检验问题若已求得检验问题H0:q q q q0,H1:q q q q0的接受域的接受域为为:q q(X1,.,Xn)q q0 0的接受域的接受域,并求并求 的单侧置信下限的单侧置信下限(a a=0.05).解:解:检验问题的拒绝域为检验问题的拒绝域为或即或即 0 4.79.于是检验问题的接受域为于是检验问题的接受域为 04.79.这这样就得到样就得到 的单侧置信区间的单侧置信区间(4.79,),单侧置信下限单侧置信下限=4.79.习题课习题课(1)(2)解解:设东支矿脉的含锌量为设东支矿脉的含锌量为 ,,西支矿脉的含锌量为西支矿脉的含锌量为 ,(1)首先需检验假设:首先需检验假设:当当 成立时,检验统计量成立时,检验统计量 拒绝域为拒绝域为或或 对对 计算得计算得由由F分布表查得分布表查得因为因为 故接受假设故接受假设 ,即认为即认为 (2)检验假设检验假设这属于这属于 ,检验统计量为,检验统计量为检验的拒绝域为检验的拒绝域为计算得计算得查分布表得查分布表得因因 ,故接受假设故接受假设 ,即认为两支矿脉的含锌量相同。即认为两支矿脉的含锌量相同。而题中知拒绝域而题中知拒绝域

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