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1、第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算工程力学高等教育出版社2 CONTENTS目录平面弯曲梁的强度与刚度计算8.1常用截面二次矩 平行移轴公式8.2弯曲正应力强度计算8.3弯曲切应力简介8.4梁的弯曲变形概述8.5用叠加法求梁的变形8.6提高梁的强度和刚度的措施8.73 8.1 纯弯曲时梁的正应力一、纯弯曲试验一、纯弯曲试验观察纯弯曲梁的变形，可以得出：（1）纵向线弯曲成圆弧线，其间距不变。靠凸边的纵向线伸长，而靠凹边的纵向线缩短。（2）横向线依然为直线，横向线间相对地转过了一个微小的角度，但仍与纵向线垂直。（3）梁的高度不变，而梁的宽度在伸长区内，有所减少，在压缩区内，有所增大。纯弯曲时梁的正应
2、力纯弯曲时梁的正应力8.1二、梁横截面上的正应力分布二、梁横截面上的正应力分布 选取相距为 dx 的两相邻横截面 m m1 和 n n1。设中性层 O1O2的曲率半径为，相对转动后形成的夹角为 d。因中性层的纤维长度不变，有 dx d。距中性层 y 处的线应变为纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力8.1 这是横截面上各点处线应变随截面高度的变化规律。由于假设纵向纤维只受到单向拉伸或压缩，当正应力没有超过材料的比例极限 p 时，由胡克定律得 纯弯曲梁横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比；距中性轴同一高度上各点的正应力相等。显然，在中性轴上各点处的正应力为零，如图 8.3所示。三、梁的
3、正应力计算三、梁的正应力计算 在纯弯曲梁的横截面上取一微面积 dA，微面积上的微内力为 dA（如图）。由于纯弯曲梁横截面上的内力只有弯矩 M，没有轴力 FN，所以 得纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力8.1纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力8.1纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力8.19 8.2 常用截面二次矩 平行移轴公式一、常用截面二次矩一、常用截面二次矩 1.矩形截面矩形截面 设矩形截面的高为 h，宽为 b，过形心 O 作 y 轴和 z 轴，如图所示。取宽为 b 高为 dy 的狭长条为微面积，则 dA bdy，由截面二次矩的定义得常用截面二次矩常用截面二次矩 平行移轴公式平行移轴公
4、式8.2 2圆形截面与圆环形截面圆形截面与圆环形截面 设圆形截面的直径为 d，y 轴和 z 轴过形心 O（图 a）。取微面积 dA，其坐标为 y 和 z。圆形截面对圆心 O 的截面二次极矩为 现在由 2 y2 z2可得 又因为圆截面对圆心是中心对称的，Iy Iz，因此 对圆环形截面（图 b），用同样方法可以得到常用截面二次矩常用截面二次矩 平行移轴公式平行移轴公式8.2 3型钢的截面型钢的截面 有关型钢的截面二次矩 Iz 和弯曲截面系数 Wz 可在有关工程手册中查到。二、组合截面二次矩二、组合截面二次矩 平行移轴公式平行移轴公式 组合截面对 z 轴的截面二次矩等于各组成部分对 z 轴的截面二次
5、矩的代数和，即 一般情况下，中性轴 不可能通过各个组成部分的形心，因此在应用上述公式时需要用到平行移轴公式平行移轴公式：说明：截面对任一轴的截面二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的截面二次矩，加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。下面举例说明平行移轴公式的应用和组合截面二次矩的计算。常用截面二次矩常用截面二次矩 平行移轴公式平行移轴公式8.2T形截面如图所示，求其对中性轴 z 的截面二次矩。8.1例例14 8.3 弯曲正应力强度计算 对等截面梁来说，最大弯曲正应力发生在弯矩最大的截面的上下边缘处，而上下边缘处各点的切应力为零，处于单向拉伸或压缩状态，如果梁材料的许用应力为，则梁弯曲正应力强度条件为
6、 对于像铸铁之类许用拉应力和许用压应力不相等的脆性材料，许用拉应力t和许用压应力c并不相等，应分别建立相应的强度条件，即 根据梁的正应力强度条件，可以解决三类强度计算问题：校核强度、设计截面尺寸和确定许用载荷。弯曲正应力强度计算弯曲正应力强度计算8.3简支矩形木梁 AB 如图所示，跨度 l 5 m，承受均布载荷集度 q 3.6 kN/m，木材顺纹许用应力 10 MPa。设梁横截面高度之比为 h/b 2，试选择梁的截面尺寸。8.2例例悬臂梁 AB，型号为 No.18 号工字钢（图a）。已知许用应力 170 MPa，l 1.2 m，不计梁的自重，试计算自由端集中力 F 的最大许可值 F。8.3例例
7、T 形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图 a和图 b所示。铸铁的抗拉许用应力t 30 MPa，抗压许用应力为c 160 MPa。试校核梁的强度。8.4例例19 8.4 弯曲切应力简介一、矩形截面梁横截面上的切应力一、矩形截面梁横截面上的切应力 切应力沿截面高度按抛物线规律变化。在上下边缘的各点处，切应力等于零；最大切应力发生在中性轴上的各点处。弯曲切应力简介弯曲切应力简介8.4二、其他常见典型截面梁的最大切应力公式二、其他常见典型截面梁的最大切应力公式弯曲切应力简介弯曲切应力简介8.4三、梁的切应力强度条件三、梁的切应力强度条件 对整个梁而言，最大切应力 max 发生在最大剪力 FS,max 所在
8、的横截面的中性轴上。梁的切应力强度条件为 式中，为梁所用材料的许用切应力。一般在设计梁的截面时，通常可先按正应力强度条件计算，再进行切应力强度校核。弯曲切应力简介弯曲切应力简介8.4如图所示简支梁承受集中力作用，材料的许用正应力 140 MPa，许用切应力 80 Mpa。试选择工字钢型号。8.5例例24 8.5 梁的弯曲变形概述一、挠曲线方程一、挠曲线方程 设悬臂梁 AB，受载荷作用后，梁的轴线被弯成一条光滑的连续曲线 AB。建立图示坐标系，则该平面曲线可用函数方程表示：称为梁的挠曲线方程挠曲线方程。梁的弯曲变形概述梁的弯曲变形概述8.5二、挠度与转角二、挠度与转角 梁承载后产生两种变形：（1
9、）线位移线位移。在小变形条件下，梁轴线上的任一点 C（即梁横截面的形心）变形后移至 C1，有铅直线位移 ，称为 C 点的挠度挠度。（2）角位移角位移。点处的横截面 将绕中性轴转动一个角度至 ，有角位移，称为该截面的转角转角。过挠曲线上任意点的切线与 x 轴夹角的正切就是挠曲线上该点的斜率，即 因为工程上转角 一般都很小，故有 tan 。则梁的弯曲变形概述梁的弯曲变形概述8.527 8.6 用叠加法求梁的变形一、梁的挠曲线近似微分方程一、梁的挠曲线近似微分方程 梁的挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程：对等截面直梁可写成 结合边界条件和变形连续条件解此挠曲线近似微分方程，可得出梁的转角方程和挠曲
10、线方程，从而求得梁的最大挠度和最大转角。用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形8.6二、梁的挠曲线近似微分方程二、梁的挠曲线近似微分方程 梁的挠度和转角均为载荷的一次函数，在此情况下，当梁上同时受到 n 个载荷作用时，由某一载荷所引起的梁的变形不受其他载荷的影响。梁的变形满足线性叠加原理：即先求出各个载荷单独作用下梁的挠度和转角，然后将它们代数相加，得到 n 个载荷同时作用时梁的挠度与转角。三、梁的刚度条件三、梁的刚度条件 梁的刚度条件为 式中，w 为 梁 的 许 用 挠 度，为 梁 的 许 可 转 角。它们的具体数值可参照有关手册确定。用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形8.6行车大梁采用 N
11、o.45a 工字钢，跨度 l 9.2 m。已知电动葫芦重 5 kN，最大起重量为 50 kN，许用挠度w l/500，试校核行车大梁的刚度。8.6例例试求三支座桥梁（图 a）支座的约束力，图 b 为该桥梁的计算简图。8.7例例32 8.7 提高梁的强度和刚度的措施1.合理安排梁的支承2.合理地布置载荷3.选择梁的合理截面 当然，除了上述三条措施外，还可以采用增加约束（即采用超静定梁）以及等强度梁等措施来提高梁的强度和刚度。需要指出的是，由于优质钢与普通钢的 E 值相差不大，价格悬殊，用优质钢代替普通钢达不到提高梁刚度的目的，反而增加了成本。提高梁的强度和刚度的措施提高梁的强度和刚度的措施8.7
12、1.矩形截面梁的高度增加一倍，梁的承载能力增加几倍？宽度增加一倍，承载能力又增加几倍？2.形状、尺寸、支承、载荷相同的两根梁，一根是钢梁，一根是铝梁，问内力图相同吗？应力分布相同吗？梁的变形相同吗？3.一 T 形铸铁梁如图所示。（1）试画出 C，B 两截面上的正应力分布图；（2）最大拉压力 t,max及最大压应力 C,max位于何处？思考题思考题4.两梁的横截面如图所示，z 为中性轴。试问此两截面的二次矩能否按下式计算？对图 a 所示的横截面，弯曲截面系数能否按下式计算？思考题思考题5.梁的变形与弯矩有什么关系？弯矩最大的地方挠度最大，弯矩为零的地方挠度为零，这种说法对吗？6.提高梁的强度和刚度主要有哪些措施？试结合工程实例说明。思考题思考题高等教育出版社