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1、第七节第七节第七节第七节 定积分定积分定积分定积分在几何中在几何中在几何中在几何中的应用的应用的应用的应用 第六章第六章第六章第六章 定定定定 积积积积 分分分分一、一、一、一、平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积一、一、一、一、平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积 根据定积分的几何意义，我们已经知道，由连续曲线 ，直线 及x轴所围成的曲边梯形的面积为设 在上曲线 位于曲线 上方，且两条曲线都在x轴上方，则曲线 ，及直线 所围成的图形面积为：当两条曲线的相对位置不变但不都在轴上方时，可以想象把x轴向下平移一段使这两条曲线都在x轴的上方，显然这时所围成的图
2、形面积不变，于是上述公式仍成立。一般地，我们有：设 在区间 上连续，且 ，则由曲线 ，直线 所围成的平面图形的面积为：类似地，可得如下的面积计算公式：设 在区间 上连续，且 ，则由曲线 ，及直线 ，所围成的平面图形的面积为：解：题设曲线所围成的图形如图所示。这个图形x的变化范围为 ，且曲线 在 的上方，利用公式得所求面积例例1 求由曲线 ，及 所围图形的面积。所围图形如图所示。为了确定积分变量的变化区间，先求出抛物线 与直线 的交点，例例2 计算抛物线 与直线 所围成的图形面积。解解解方程组得到交点为 由图形可知，直线 位于抛物线 的右方，选取y为积分变量，它的变化区间为 。得所求图形的面积本
3、题如果选取为积分变量，需要把图形的面积分成两部分来计算，这样计算不如上述方法简便。由此可知，在计算平面图形面积时，积分变量选择得恰当，能使计算简单。由于椭圆关于x轴，y轴对称于是所求面积：例例3 计算由椭圆 所围成的圆形面积。解：解：其中 是这个图形在第一象限部分的面积。从而令 ，于是设函数 在区间 上连续，且 。由曲线 ，直线 及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转，得到一个旋转体。二二二二、旋转体的体积旋转体的体积旋转体的体积旋转体的体积现推导该旋转体体积 用定积分表示的公式。(1)先用分点 把区间分成n个小区间 ，。这些小区间的长度 ，。过 作与x轴垂直的平面，将旋转体分成n个小旋转体，它们的体
4、积分别记为 ，用小圆柱体体积近似小旋转体体积。任取 ，于是小区间 所对应的小旋转体的体积 。(2)把n个小圆柱体的体积相加，得到旋转体体积的近似值，即 (3)记 ，取上述和式当 时的极限。就得到这样我们就得到了 的计算公式。类似地，我们可以得到：由连续曲线 直线 ，所围成的曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为例例1 计算 由曲线 及 所围成的平面图形如图所示。由 ，及x轴旋转所成的旋转体体积由公式得，解：解：由 ，及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转所成的旋转体体积由公式得，题设图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为例例2 由 ，所围的图形，分别绕x轴和y轴旋转，求所得两个旋转体的体积 和 。所围平面图形如图所示。解：解：由 ，以及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转所成旋转体体积由公式得所以，题设图形绕y轴旋转所成旋转体体积为