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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果第七节 定积分的几何应用教学目的：学会用元素法运算平面图形的面积、体积；教学重点：平面图形的面积、体积的运算；教学难点：所求量元素的确定教学时数： 2 教学内容：一、定积分的元素法定积分的定义中的引例 1 用定积分求曲边梯形的面积时,经过如下四个步骤：第一是分割,即把整体进行分割；其次是近似值,在局部范畴内,“ 以直边代曲边”, 即求出整体量在局部范畴内的近似值；第三求和,即将各窄曲边梯形面积的近似值加起来；第四取极限,从而得到整体量的精确值事实上,这种方法在实际应用中很广泛,为了今后应用便利,我们在解决实际问题中将这四个
2、步骤简化成以下步骤：（1）取积分变量x , 确定取值范畴a,b; x,xdx,（2）分割区间a,b ,在其中任取一个小区间,记为x ,xx,或记作设所求整体量是S,取ix （小区间的左端点） ,求出 S 在小区间上的局部量S的近似表达式Sfxdx它称为量 S 的微分元素（简称微元）; （3）定限求积分,即用定积分表示所求整体量当x0时,全部的微元无限相加,就是在区间a,b上的定积分：称为微元法 Sbfxdx. a用以上定积分表示详细问题的简化步骤来解决实际问题的方法二、平面图形的面积由定积分的几何意义,我们已经知道：由连续曲线 y f x , f x 0 和 x 轴以及两条直线 x a , x
3、 b 所围成的曲边梯形的面积为 : b bA a f x dx a ydx应留意在上式中 f x 是非负的,假如 f x 0,那么相应图形面积（所围曲边梯形的y名师归纳总结 yf x 第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果面积）应为Abfx dxbydx1）cfx为边界aa一般地,由两条连续曲线ygx ,yfx及两条直线xa,xbab所围的平面图形（见图ygx,y 假定gx fx 的面积按如下方法求得：Abfx gxdx. a当不能确定ygx与yfx 谁在上面时,就以及直线xa,xbab所围图形的面积应记为Abf
4、x gx dxb上下dxaac,yd（cd）所围成的曲边类似地,由连续曲线x y0, y 轴与直线y梯形面积为（见图2 ）Adydy . yc ,yd（d）所围成的平c一般地, 由连续曲线xy,xy及两条直线面图形的面积为（见图3 ）yx Ady ydycyddx oxoxx c图 2 图 3 名师归纳总结 例 1：求由曲线xy1,直线yx和x2所围图形的面积xy1yx第 2 页,共 5 页解：第一,画草图如图4 所示 ; - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次,由草图知,应选多练出技巧巧思出硕果x 作积分变量；解方程组xy1得交点1 1, ,积分区间
5、为1 2,yx最终,用公式可得所求面积为A2x1dxo图 5 4 y42 y2xx1x12 xlnx 23ln2212例 2：求由曲线y22x与y4x所围图形的面积解：画草图如图5 所示确定积分变量为y ,解方程组y242x得交点22, 8,4 ,yx于是得积分区间为4,2x所以所求图形面积为A2 4yy2dy4y1y21y3218xyyxx42264例 3：求 由yx ,y2x ,xy6所围图形的面积解：如下列图（见图6）,解方程组y2xyy2x和xyyx6得交点2,4和3 3, yx64 6取积分变量为x ,就积分区间分别为02,23, 3 就所求图形的面积为A22xx dx36xx dx
6、o2 3 021x226xx233图 6 202该题也可以取y 为积分变量,此时积分区间为03,3 ,4,所求图形的面积为A3yydy46yydyy236y3y243 02324043说明：用定积分求几何图形的面积,既可选取 x 为积分变量, 也可选取 y 为积分变量 但名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果积分变量的选取, 打算了图形用不用分块,即表示面积的定积分是用一个表达式仍是用几个表达式一般情形下,选取积分变量的原就是,尽量使图形不分块（用一个定积分表示）和少分块（必需分块时） 归纳出解题步
7、骤:1 画草图 2由图选取积分变量, 求出积分区间 3写出面积公式 : 选 x 为积分变量 , 确定 x的范畴a,b , sb上下dx; a选 y 为积分变量 , 确定 y 的范畴c,d, sd右左dy. c三、旋转体的体积旋转体 是指由平面图形绕该平面内的某直线旋转一周所形成的立体图形,这条直线叫做旋转轴 下面我们运算由连续曲线 y f x 、直线 x a 、 x b（ a b ）所围成的图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V 1 取 x 为积分变量,其变化区间为 a , b ,在 a , b 上任取一点 x ,作垂直于 x 轴的截面,该截面是半径为 f x 的圆,因而截面面积为 A x
8、 y 2 f 22 在 a , b 上,以 x 为端点取区间 , x x dx ,就以截面 A x 为底、以 dx 为高的圆柱体体积为 dV A x dx y dx 2 f x 2dx 3 以 dV 为体积微元,在 a , b 上作定积分,即得所求的体积为b b2 2V x y d = f x d x. a a类似地,由连续曲线 x y 、直线 y c 、 y d c d 以及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为例 4：求由抛物线yx2,直线Vydx2dydg y2 dy . ccx2 及 x轴所围平面图形分别绕x 轴、 y 轴旋转所得立体的体积 V 名师归纳总结 解： 绕 x轴旋转所生成的立体体积为：. x2绕 y 轴旋转得到的体积减去抛物线第 4 页,共 5 页Vx22 y dx , 0于是V2x4dx552 x03205 绕 y 轴旋转所形成立体的体积等于直线- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yx2多练出技巧巧思出硕果绕 y 轴旋转得到的立体,所以其体积名师归纳总结 V y4 022y2 dy4 04y dy4y1y248. 第 5 页,共 5 页02- - - - - - -