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1、二次函数与一元二次方程（2）课件3w二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的坐标与一元轴交点的坐标与一元二次方程二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系?二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的的图象和图象和x x轴交点轴交点一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根根的判别式的判别式b b2 2-4ac-4ac有两个交点有两个交点有两个相异的实数根有两个相异的实数根b b2 2-4ac 0
2、-4ac 0有一个交点有一个交点有两个相等的实数根有两个相等的实数根b b2 2-4ac=0-4ac=0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0方程根的情况是：；当=0时程 ；当0时，方程 。b2-4ac有两个不等实数根有两个相等实数根没有实数根t1=0，t2=83 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a0)图像是一条 ，它与x轴的交点有几种可能的情况？抛物线三种可能：两个交点 一个交点 没有交点。北京师范大学出版社 九年级|下册(1).h和t的关系式是什么？(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.我们已经知道,竖直上抛物体
3、的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么0t2468h20406080100北京师范大学出版社 九年级|下册北京师范大学出版社 九年级|下册3 抛物线y=x2-4x+4与轴有 个交点，坐标是 。1 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 。2 抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（）A 两个交点 B 一个交点 C 没
4、有交点 D 画出图象后才能说明（-2，0）和（3，0）c1（2，0）4 不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。解：解：解方程x2-3x-4=0得：x1=-1，x2=4 抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是:（-1，0）和（4，0）北京师范大学出版社 九年级|下册 101xyMN232y=x2-4x+4 5 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。北京师范大学出版社 九年级|下册 二次函数二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程何时为一元二次方程?它们的关系如何它们的关系如何?在本节一开始的小球上抛
5、问题中在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是何时小球离地面的高度是60m?60m?你是如何知道的你是如何知道的?抛出去后第2秒和第6秒时，离地面60米北京师范大学出版社 九年级|下册(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；你能利用二次函数的图象估计一元二次方程你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x x2 2+2x-10=0+2x-10=0的根吗？的根吗？(2).观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间，(3).确定方程x2+2x-10=0的解;由此可知,方程x
6、2+2x-10=0的近似根为:x1-4.3,x22.3.分别约为-4.3和2.3北京师范大学出版社 九年级|下册(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；利用二次函数的图象求一元二次方程利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根的近似根.(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(4).确定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1-4.7,x22.7
7、.(2).作直线y=3；北京师范大学出版社 九年级|下册 (1).原方程可变形为x2+2x-13=0；利用二次函数的图象求一元二次方程利用二次函数的图象求一元二次方程x x2 2+2x-10=3+2x-10=3的近似根的近似根.(3).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(4).确定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1-4.7,x22.7.(2).用描点法作二次函数y=x2+2x-1
8、3的图象；解法解法2北京师范大学出版社 九年级|下册 利用二次函数利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是怎样的？的近似根的一般步骤是怎样的？用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解。北京师范大学出版社 九年级|下册 二次函数二次函数y=-2x2+4x+1的图象如图所示，求一元二次方程的图象如图所示，求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根的近似根.(1).观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x轴的交点的横坐标；（2）由
9、图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分别约为-0.2和2.2(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(3).确定方程-2x2+4x+1=0的解;由此可知,方程-2x2+4x+1=0的近似根为:x1-0.2,x22.2.北京师范大学出版社 九年级|下册 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+3(x0)。柱子OA的高度是多少米？若不计其它因素，水池的半径至少为多少米，才
10、能使喷出的水流不至于落在池外？AOx/my/m解解:在y=-x2+2x+3中，当x=0时y=3，OA=3m 而当y=0时，x1=-1（舍去），x2=3 水池的半径至少为3m.北京师范大学出版社 九年级|下册 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，虽然对于我们现在解一元二次方程没有应用价值，但它体现了“数形结合”这一重要的数学思想方法。也启示我们只要善于观察和思考，就能发现事物之间的各种联系，去探索科学的奥秘。北京师范大学出版社 九年级|下册x-4.1-4.2-4.3-4.4y=x2+2x-10 x2.12.22.32.4y=x2+2x-10其横坐标一个在-5与-4之间另一个在2与3之间约为
11、-4.3约为2.3-1.39-0.76-0.110.56-1.39-0.76-0.110.56北京师范大学出版社 九年级|下册 二次函数与一元二次方程的关系，体现了“数形结合”这一重要的数学思想方法。也启示我们只要善于观察和思考，就能发现事物之间的各种联系，去探索科学的奥秘。北京师范大学出版社 九年级|下册北京师范大学出版社 九年级|下册中考中考 试题试题 1、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）A-1.6 B3.2 C4.4 D以上都不对C解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，因为抛物线与x
12、轴的两个交点关于对称轴对称，所以两根满足（x1+x2）/2=3而x1=1.6，所以x2=4.4因此选C分析：根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2 北京师范大学出版社 九年级|下册中考中考 试题试题2、抛物线y=2x2+4x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为_解：抛物线与x轴只有一个公共点，=0，b2-4ac=42-42m=0；m=22 分析：由抛物线y=2x2+4x+m与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+4x+m=0，根的判别式=b2-4ac=0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m=2北京师范大学出版社 九年级|下册中考中考
13、 试题试题3、已知y关于x的函数：y=（k-2）x2-2（k-1）x+k+1中满足 k3求证：此函数图象与x 轴总有交点；解：分两种情况：（1）当k=2时，函数为 y=-2x+3，图象与x轴有交点（2）当k2时，=4（k-1）2-4（k-2）（k+1）=-4k+12；因为k3，所以-4k+120，所以0，此时抛物线与x轴有交点因此，k3时，y 关于x 的函数 y=（k-2）x2-2（k-1）x+k+1的图象与x轴总有交点分析：本题可将函数分成一次函数和二次函数两种情况讨论：当k=2时，函数为一次函数，与x轴一定有交点；当k2时，函数为二次函数，让y=0，根据根与系数的关系以及k的取值范围我们可
14、判断出此时的方程是否有解，如果有解，则必与x轴有交点第二章 二次函数5 二次函数与一元二次方程【创设情境】问题1我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题：（1）h和t的关系式是什么？（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流【启发思考】问题2二次函数的图象如下图所示【启发思考】（1）每个图象与x轴有几个交点？（2）一元二次方程有几个实数根？用判别式验
15、证一下一元二次方程有实数根吗？（3）二次函数的图象与x轴交点的坐标分别和一元二次方程的根有什么关系？【探究问题】【探究问题】现在可以解决问题1了吗？解：（1）（2）看图象可知，小球8秒落地，也可以解方程得出结论想一想：在问题1中的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60米？你是怎么知道的？答案：2秒和6秒可以利用图象解决问题，也可以解方程【形成结论】二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三
16、种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根【巩固提高】问题3你能利用二次函数的图象估计一元二次方程的根吗？如图是二次函数的图象，观察图象，抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个根，一个在-5与-4之间，另一个在2和3之间【巩固提高】（1）先求在-5与-4之间之间的根利用计算器进行探索：因此，x=-4.3是方程的一个近似根x-4.1-4.2-4.3-4.4y-1.39-0.76-0.11-0.56【巩固提高】（2）另一个根类似地求出：因此，x=2.3是方程的另一个近似根追求：用一元二次方
17、程的求根公式验证一下，看看结果怎样？x2.12.22.32.4y-1.39-0.76-0.11-0.56【巩固提高】做一做：（1）请利用下图求一元二次方程的近似根【巩固提高】做一做：（2）你还能请利用下图求一元二次方程的近似根吗？【巩固提高】学生练习：52页随堂练习；55页随堂练习【巩固提高】师生共同回顾本节内容，并请学生回答下列问题：1、本节课学习了哪些主要内容？2、本节课你有什么收获和体会？3、对本节课所学知识你还有哪些疑惑？二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况：有两个不相等的
18、实数根、有两个相等的实数根、没有实数根二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根【巩固提高】布置作业：1、教科书习题2.10第1题，第2题；习题2.11第1题，第2题（必做题）2、教科书习题2.10第3题，第4题；习题2.11第3题（选做题）北师大版九年级数学下册第二章北师大版九年级数学下册第二章二次函数二次函数第五节第五节 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程(1)1、二次函数式二次函数式 (a,b,c是常数是常数,a0),0),y叫做叫做x的的_._.它的图象是一条抛物线它的图象是一条抛物线.它的对称它的对称轴是直线轴是直线 ,顶
19、点坐标是（顶点坐标是（,）2、二次函数的解析式中、二次函数的解析式中 一般式一般式:顶点式顶点式:交点式交点式:二次函数二次函数3.抛物线抛物线 的对称轴是的对称轴是_,_,开口方向是开口方向是_,_,顶点坐标是顶点坐标是_._.4.抛物线抛物线y=2(x-2)()(x-3)与与x轴的交点为轴的交点为_ _ 和和,与与y轴的交点为轴的交点为_._.5.已知抛物线与轴交于已知抛物线与轴交于A(-(-1,0)和和(1,0)并经并经过点过点M(0,1),),则则 此抛物此抛物 线的解析式为线的解析式为 _ _x x=-1=-1=-1=-1向上向上向上向上（-1,-,-5）(2,0)(0,12)课前热
20、身、耐心填一填课前热身、耐心填一填(3,0)【例例】我们已经知道我们已经知道,竖直上抛竖直上抛物体的高度物体的高度h(m)与运动时间与运动时间t(s)的关系可用公式的关系可用公式 表示表示,其中其中h0(m)是抛出时的高是抛出时的高度度,v0(m/s)是抛出时的速度是抛出时的速度.【例例】竖直上抛物体的高度竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间与运动时间t(s)的关的关系可用公式系可用公式 表示表示,其中其中h0(m)是抛出是抛出时的高度时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度是抛出时的速度.一个小球从地面以一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起的速度竖直向上抛起,小球的高度小球的高度h(m
21、)与运动时与运动时间间t(s)的关系如图所示的关系如图所示,那么那么:用心想一想用心想一想,马到功成马到功成（1）h和和t的关系式是什么？的关系式是什么？（2）图象上的每一个点的横、）图象上的每一个点的横、纵坐标分纵坐标分 别代表什么含义？别代表什么含义？（3）小球经过多少秒后落地？）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴你有几种求解方法？与同伴 进行交流进行交流.【例例】竖直上抛物体的高度竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间与运动时间t(s)的关系可的关系可用公式用公式 表示表示,其中其中h0(m)是抛出时的是抛出时的高度高度,v0(m/s)是抛出时的速度是抛出时的速度.一个小球从地
22、面以一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起的速度竖直向上抛起,小球的高度小球的高度h(m)与运动时间与运动时间t(s)的的关系如图所示关系如图所示,那么那么:用心想一想用心想一想,马到功成马到功成 (1)h和和t的关系式是什么的关系式是什么?解解:由题意可知由题意可知:由图象可得由图象可得:所以所以h与与t的关系式的关系式为为:【例例】竖直上抛物体的高度竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间与运动时间t(s)的关系的关系可用公式可用公式 表示表示,其中其中h0(m)是抛出是抛出时的高度时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度是抛出时的速度.一个小球从地面以一个小球从地面以40m/s的速度竖直
23、向上抛起的速度竖直向上抛起,小球的高度小球的高度h(m)与运动时与运动时间间t(s)的关系如图所示的关系如图所示,那么那么:用心想一想用心想一想,马到功成马到功成 （2）图象上的每一个点的横、）图象上的每一个点的横、纵坐纵坐 标分标分 别代表什么含义别代表什么含义?解解:图象上的每一点的横坐标表图象上的每一点的横坐标表 示小球运动的时间示小球运动的时间,纵坐标纵坐标 表示的是在这一瞬时时间里表示的是在这一瞬时时间里,小球的运动速度小球的运动速度.【例例】竖直上抛物体的高度竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间与运动时间t(s)的关的关系可用公式系可用公式 表示表示,其中其中h0(m)是抛是抛出时
24、的高度出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度是抛出时的速度.一个小球从地面一个小球从地面以以40m/s的速度竖直向上抛起的速度竖直向上抛起,小球的高度小球的高度h(m)与运动与运动时间时间t(s)的关系如图所示的关系如图所示,那么那么:用心想一想用心想一想,马到功成马到功成 （3）小球经过多少秒后落地？你有）小球经过多少秒后落地？你有 几种求解方法？与同伴进行交几种求解方法？与同伴进行交 流流.解法思路解法思路:8s.可以利用图可以利用图象直接得出象直接得出,也可以解方程也可以解方程 得出得出分别求出二次函数分别求出二次函数 的的图象与图象与x轴的交点的坐标轴的交点的坐标,并作出草图并作出草
25、图.比一比比一比,看谁快看谁快思路点拨思路点拨:与与x轴交点就是求当轴交点就是求当 y=0=0 时这个时这个方程的解方程的解,然后然后 写成点的坐标写成点的坐标.（1,0）图象与图象与x轴无交点轴无交点（-2,0）和（）和（0,0）(1)每个图象与每个图象与x 轴有几个交点？轴有几个交点？(2)一元二次方程一元二次方程 有几个根有几个根?验证一下验证一下,一元二次方程一元二次方程 有根吗有根吗?(3)二次函数二次函数 的图象和的图象和x轴交点的坐标与一轴交点的坐标与一元二次方程元二次方程 的根有什么关系？的根有什么关系？观察下列二次函数观察下列二次函数 的图象的图象.议一议一 议、取长补短议、
26、取长补短二次函数与一元二次方程的联系二次函数与一元二次方程的联系如果二次函数的值为如果二次函数的值为y,求相应的自变量求相应的自变量x,就是求就是求相应的一元二次方程的根相应的一元二次方程的根合作探索合作探索例如例如:如果已知二次函数如果已知二次函数的值为的值为-1,求自变量求自变量x值值,就是就是求求一元二次方程一元二次方程 的根的根反之反之.解方程解方程,又可以看做已知又可以看做已知二次函数二次函数的值为的值为-1,求自变量求自变量x值值归纳整理归纳整理:二次函数二次函数 的图象和的图象和x轴交点有三种情况轴交点有三种情况:1、有两个交点有两个交点,2、有一个交点有一个交点,3、没有交点没
27、有交点.二次函数二次函数 的图象和的图象和x x轴交点的坐标轴交点的坐标与一元二次方程与一元二次方程 的根有什么关系？的根有什么关系？当二次函数当二次函数 的图象和的图象和x轴有交点时轴有交点时,交点交点的横坐标就是当的横坐标就是当y=0时自变量时自变量x的值的值,即一元二次方程即一元二次方程 的根的根.议一议一 议、取长补短议、取长补短二次函数二次函数 的图象和的图象和x x轴交点的坐标与一轴交点的坐标与一元二次方程元二次方程 的根有什么关系？的根有什么关系？一元二次方程的一元二次方程的根根一元二次方程根的一元二次方程根的判别式判别式有有两两个交点个交点有有两个相异两个相异的实的实数根数根有
28、有一一个交点个交点有有两个相等两个相等的实数的实数根根没有没有交点交点没有实数根没有实数根归纳整理、理清关系归纳整理、理清关系二次函数的图象二次函数的图象与与x轴的交点轴的交点例、例、不画图象不画图象,判断下列函数的图象与判断下列函数的图象与x轴是否有公轴是否有公共点共点,并说明理由并说明理由.此方程有两个不相等的实数根此方程有两个不相等的实数根该抛物线与该抛物线与x轴有两个交点轴有两个交点.此方程没有实数根此方程没有实数根 该抛物线与该抛物线与x轴没有公共点轴没有公共点.练一练练一练练一练练一练,解解:【例例】一个足球被从地面向上踢出一个足球被从地面向上踢出,它距地面它距地面的高度的高度h(
29、m)可以用公式可以用公式 来表来表示其中示其中t(s)表示足球被踢出后经过的间表示足球被踢出后经过的间（1）t=1时时,足球的高度是多少足球的高度是多少?（2）t为何值时为何值时,h最大？最大？（3）球经过多长时间球落地）球经过多长时间球落地?（4）方程）方程 的根的实际意义是什的根的实际意义是什么么?你能在图上表示吗你能在图上表示吗?（5）方程）方程 的根的实际意义是的根的实际意义是什么什么?你能在图上表示吗？你能在图上表示吗？【例例】一个足球被从地面向上踢出一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度它距地面的高度h(m)可以用公式可以用公式 来表示其中来表示其中t(s)表示足球被踢出后经过的
30、时间表示足球被踢出后经过的时间（1）t=1时时,足球的高度是多少足球的高度是多少?（2）t为何值时为何值时,h最大最大?解解:(:(1)t=1时时,h=14.7 (2)当当t=2时时,h最大最大【例例】一个足球被从地面向上踢出一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度它距地面的高度h（m）可以用公式）可以用公式 来表示其中来表示其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间）表示足球被踢出后经过的时间（3）球经过多长时间球落地？）球经过多长时间球落地？（4）方程）方程-4.9t2+19.6t=0的根的实际意义是什么的根的实际意义是什么?你你能在图上表示吗？能在图上表示吗？解解:（3）对于）对于 球落地意
31、味着球落地意味着h=0 即即 ,解得解得t1=0（舍去）（舍去）,t2=4 即足球被踢出后经过即足球被踢出后经过4s后球落地后球落地.(4)方程方程 的根的实际意义是球离地的根的实际意义是球离地和落地的时间和落地的时间,图上表示为抛物线与图上表示为抛物线与x轴交点的横轴交点的横坐标坐标【例例】一个足球被从地面向上踢出一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高它距地面的高度度h（m）可以用公式）可以用公式 来表示其中来表示其中t（s）表示足球被踢出后经过的间）表示足球被踢出后经过的间（5）方程）方程 的根的实际意义是什么的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗？你能在图上表示吗？解解:(5 5)解方程
32、解方程解方程解方程 得得t=1,t=3表明球被踢出表明球被踢出1 1秒秒和和3秒时秒时,离地面的高度都是离地面的高度都是14.7米图上表示为抛物线与米图上表示为抛物线与直线直线h=14.7 的交点的横坐标的交点的横坐标例例:已知二次函数已知二次函数 的图象与的图象与x轴有交点轴有交点,求求k的取值范围的取值范围.点拨点拨:因为是二次函数，因而因为是二次函数，因而k0;有交点，所以应为有交点，所以应为0错解错解:由由=(=(7)24k(7)=)=49+28k0,得得 正确解法正确解法:此函数为二次函数此函数为二次函数,k0,又与又与x轴有交点轴有交点,=(=(7)24k(7)=)=49+28k0
33、0,得得 ,即即 且且k0 0 拓展延伸拓展延伸,知识升华知识升华1抛物线抛物线 与与x轴的交点坐标轴的交点坐标 .2抛物线抛物线 与与x轴的交点个轴的交点个个个 3抛物线抛物线 与与x轴只有一个交点轴只有一个交点,m=4二次函数二次函数 的图象与的图象与x轴有两个交点轴有两个交点,则则k k 的取值范围的取值范围 5若若a0,b0,c0,0,那么抛物线那么抛物线 经过经过象限象限(2,0)(-)(-5,0)08一、二、三一、二、三且且1、二次函数二次函数 的图象和的图象和x轴交轴交 点的坐标与一元二点的坐标与一元二 次方程次方程 的根有什么关系？的根有什么关系？归纳小结、课后反思归纳小结、课
34、后反思2、本节课你有什么收获？、本节课你有什么收获？3、本节课你还有哪些困惑？本节课你还有哪些困惑？课内拓展延伸课内拓展延伸习题习题2.5 1,2题题.(选作选作)补充思考题补充思考题:若二次函数若二次函数 的函数值恒为正的函数值恒为正,则需满则需满足足,若二次函数若二次函数 的函数值恒为负的函数值恒为负,则需满足则需满足 北师大版九年级数学下册第二章北师大版九年级数学下册第二章二次函数二次函数第五节第五节 二次函数与一元二次方程（二次函数与一元二次方程（2）函数函数 的图象如下图所示的图象如下图所示,为该图象的对称轴为该图象的对称轴,根据图象根据图象信息信息,你能得到关于系数你能得到关于系数
35、a,b,c的的一些什么结论一些什么结论?解解:（1）a0 0（2）-1c 0（3）对称轴）对称轴:（5）由（由（1）,（4）得）得:b0 0(6)由（由（1）,（2）,（5）得）得:abc0(7)因为因为:x=1时时,y0.0.所以有所以有:a+b+c0(8)因为因为:x=-=-1时时,y0.所以有所以有:a-b+c0(9)由图象可知由图象可知:（4）1.抛物线抛物线 经过点（经过点（0,0）与（）与（12,0）,坐标是坐标是3,求这条抛物线的表达式求这条抛物线的表达式 2若若a0,b0,c0,0,那么抛物线那么抛物线 经过经过象限象限3.在平原上在平原上,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度一
36、门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y y（m）与飞行时间）与飞行时间x（s）的关系满足）的关系满足 （1）经过）经过_ _ s,炮弹达到它的最高点炮弹达到它的最高点,最高点的高度最高点的高度是是_ _ m（2）经过）经过_ _ s,炮弹落在地上爆炸炮弹落在地上爆炸4.一元二次方程一元二次方程 的根就是二次函数的根就是二次函数5.一元二次方程一元二次方程 的根就是二次函数的根就是二次函数三、四三、四52510 x轴轴横横 y=h横横与直线与直线_交点的交点的_坐标坐标 .与与_交点的交点的_坐标坐标.课前热身、耐心填一填课前热身、耐心填一填w(1)用描点法作二次函数用描点法作二次函数 的图象；的图
37、象；w你能利用二次函数的图象估计一元二次方程你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 的根吗？的根吗？w(2)观察估计二次函数观察估计二次函数的图象与的图象与x轴的交点的横坐标；轴的交点的横坐标；w由图象可知由图象可知,图象与图象与x x轴有两个交点轴有两个交点,其横坐标一个在其横坐标一个在-5与与-4之间之间,另一个另一个在在2与与3之间之间.用心想一想用心想一想,马到功成马到功成(如何更准确估计近似值？如何更准确估计近似值？)w你能利用二次函数的图象估计一元二次方程你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 的根吗的根吗?w(3)用等分计算的方法确定方程用等分计算的方法确定方程 的近似根为的近似
38、根为:x1-4.3,x22.3.用心想一想用心想一想,马到功成马到功成w(1)用描点法作二次函数用描点法作二次函数图象图象;w利用二次函数的图象求一元二次方程利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似根的近似根.w(3)(3)观察估计抛物线观察估计抛物线 和直线和直线y=3 的交点的横坐标的交点的横坐标;w由图象可知由图象可知,它们有两个交点它们有两个交点,其横其横坐标一个在坐标一个在-5与与-4之间之间,另一个在另一个在2与与3之间之间,分别约为分别约为-4.7和和2.7.w(4)(4)借助等分计算的方法确定方程借助等分计算的方法确定方程 的方程的近似根为的方程的近似根为:x1-4.7,x22
39、.7.w(2)作直线作直线y=3;(如何更准确估计近似值？如何更准确估计近似值？)w(1)原方程可变形为原方程可变形为 ;w利用二次函数的图象求一元二次方程利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似根的近似根.w(3)观察估计抛物线观察估计抛物线 和和x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标;w由图象可知由图象可知,它们有两个交点它们有两个交点,其横其横坐标一个在坐标一个在-5与与-4之间之间,另一个在另一个在2与与3之间之间,分别约为分别约为-4.7和和2.7.w(2)用描点法作二次函数用描点法作二次函数 的图象的图象;创新解法创新解法w利用二次函数的图象求一元二次方程利用二次函数的图象求一元二次方
40、程 的近似根的近似根.w(4)借助计算器确定方程借助计算器确定方程 的近似根的近似根创新解法创新解法为为:x1 1-4.7,x22.7.x-4.5-4.6-4.7-4.8y-1.75-1.04-0.310.44x2.52.62.72.8y-1.75-1.04-0.310.44_ _w利用二次函数的图象求一元二次方程利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似根的近似根.w(1)用描点法作二次函数用描点法作二次函数 的的 图象图象;w(2)观察估计二次函数观察估计二次函数 的图象的图象与与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标;由图象可知由图象可知,图象与图象与x x轴有两个交点轴有两个交点,其其横坐标
41、一个在横坐标一个在-1与与0之间之间,另一个在另一个在0与与1之间之间,分别约为分别约为-0.4和和0.8.方程方程 的近似根为的近似根为:x1-0.4,x20.8.w(3)确定方程确定方程 的解的解;w利用二次函数的图象求一元二次方程利用二次函数的图象求一元二次方程 的的近似根近似根.w(1)用描点法作二次函数用描点法作二次函数 的图象的图象;w(2)观察估计二次函数观察估计二次函数 的图象与的图象与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标;w由图象可知由图象可知,图象与图象与x轴有两个交点轴有两个交点,其横坐标一个在其横坐标一个在-1与与0之间之间,另一个在另一个在2与与3之间之间,分别约为分别
42、约为-0.2和和2.2.w（3）确定方程）确定方程 的近似根的近似根为为:x1-0.2,x22.2.做一做做一做:知识拓展、迁移运用知识拓展、迁移运用（1）填空）填空:利用图象解一元二利用图象解一元二次方程次方程 ,也可以这也可以这样求解样求解:在平面直角坐标系中画在平面直角坐标系中画出抛物线出抛物线y=和直线和直线y=-=-x,其交点的横坐标就是该其交点的横坐标就是该方程的解方程的解（2）已知函数）已知函数 的图象的图象（如图所示）（如图所示）,利用图象求方程利用图象求方程 的近解的近解（结果保留两个有效数字）（结果保留两个有效数字）例题例题:利用图象解一元二次方程利用图象解一元二次方程 时
43、时,我们采用我们采用的一种方法是的一种方法是:在平面直角坐标系中画出抛物线在平面直角坐标系中画出抛物线 和直和直线线y=-=-x+3,两图象交点的横坐标就是该方程的解两图象交点的横坐标就是该方程的解知识拓展、迁移运用知识拓展、迁移运用（1 1）填空）填空:利用图象解一元二次利用图象解一元二次方程方程 ,也可以这样也可以这样求解求解:在平面直角坐标系中画出抛在平面直角坐标系中画出抛物线物线 和直线和直线y=-=-x,其其交点的横坐标就是该方程的解交点的横坐标就是该方程的解例题例题:利用图象解一元二次方程利用图象解一元二次方程 时时,我们采我们采用的一种方法是用的一种方法是:在平面直角坐标系中画出
44、抛物线在平面直角坐标系中画出抛物线 和和直线直线y=-=-x+3,两图象交点的横坐标就是该方程的解两图象交点的横坐标就是该方程的解知识拓展、迁移运用知识拓展、迁移运用（2）已知函数）已知函数 的图象的图象（如图所示）（如图所示）,利用图象求方程利用图象求方程 的近似解的近似解（结果保留两个有效数字）（结果保留两个有效数字）例题例题:利用图象解一元二次方程利用图象解一元二次方程 时时,我们采用我们采用的一种方法是的一种方法是:在平面直角坐标系中画出抛物线在平面直角坐标系中画出抛物线 和和直线直线 y=x+3,两图象交点的横坐标就是该方程的解两图象交点的横坐标就是该方程的解解解:（2）由图象可得）
45、由图象可得,方程方程 的近似解为的近似解为:x1=-=-1.4,x2=4.4 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=h的根就的根就是二次函数是二次函数y=ax2+bx+c 与直线与直线y=h（h是实数）图象交是实数）图象交点的横坐标点的横坐标 既可以用求根公式既可以用求根公式求二次方程的根求二次方程的根,也也可以通过画二次函可以通过画二次函数图象来估计一元数图象来估计一元二次方程的根二次方程的根归纳小结、说一说归纳小结、说一说作业布置作业布置:1、习题习题2.11第第1大题第大题第2小题小题.第第2大题大题2、课外阅读课本第课外阅读课本第55页页走进走进 函数大家庭函数大家庭北师大版九年级
46、数学下册第二章北师大版九年级数学下册第二章二次函数二次函数1、二次函数式二次函数式 (a,b,c是常数，是常数，a0)，y叫做叫做x的的_.它的图象是一条抛物线它的图象是一条抛物线.它的对称它的对称轴是直线轴是直线 ,顶点坐标是（顶点坐标是（，）2、观察下列函数的图象，观察下列函数的图象，（1）抛物线与抛物线与x轴有轴有 个交点，它们的横坐标是个交点，它们的横坐标是 .二次函数二次函数（2）当）当x=1时，时，y=当当x=时，时，y=-=-2.-2或者或者1两两00温故检测温故检测（例）我们已经知道（例）我们已经知道,竖直上抛竖直上抛物体的高度物体的高度h(m)与运动时间与运动时间t(s)的关
47、系可用公式的关系可用公式 表示表示,其中其中h0(m)是抛出时的高是抛出时的高度度,v0(m/s)是抛出时的速度是抛出时的速度.讲授新课讲授新课（例）竖直上抛物体的高度（例）竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间与运动时间t(s)的关的关系可用公式系可用公式 表示表示,其中其中h0(m)是抛是抛出时的高度出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度是抛出时的速度.一个小球从地一个小球从地面以面以40m/s的速度竖直向上抛起的速度竖直向上抛起,小球的高度小球的高度h(m)与运与运动时间动时间t(s)的关系如图所示的关系如图所示,那么：那么：(1)h和和t的关系式是什么？的关系式是什么？(2)小球经过多
48、少秒后落地？小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴你有几种求解方法？与同伴 进行交流进行交流.做一做做一做做一做做一做解解：（1）由题意可知：由题意可知：由图象可得：由图象可得：所以所以h与与t的关系式的关系式为：为：(2)解法思路：解法思路：8s.可以利用图象直接得出，可以利用图象直接得出，也可以解方程也可以解方程 得出得出.分别求出二次函数分别求出二次函数 的的图象与图象与x轴的交点的坐标轴的交点的坐标,并作出草图并作出草图.灵活运用灵活运用思路点拨思路点拨:与与x轴交点就是求当轴交点就是求当 y=0 时这个时这个方程的解方程的解,然后写成点的坐标然后写成点的坐标.（1，0）图象与
49、图象与x轴无交点轴无交点（-2，0）和（）和（0，0）(1)每个图象与每个图象与x 轴有几个交点？轴有几个交点？(2)一元二次方程一元二次方程 有几个根有几个根?验证一下验证一下,一元二次方程一元二次方程 有根吗有根吗?(3)二次函数二次函数 的图象和的图象和x轴交点的坐标与一轴交点的坐标与一元二次方程元二次方程 的根有什么关系的根有什么关系?观察下列二次函数观察下列二次函数 的图象的图象.探究总结探究总结考考你考考你探究探究1：求二次函数图象：求二次函数图象y=x2-5x+4与与x轴的轴的交点交点A、B的坐标。的坐标。解：解：A、B在在x轴上，轴上，它们的纵坐标为它们的纵坐标为0，令令y=0
50、，则，则x2-5x+4=0 解得：解得：x1=1，x2=4；A（1，0），B（4，0）你发现方程你发现方程 的解的解x1、x2与与A、B的坐的坐标有什么联系？标有什么联系？x2-5x+4=0结论结论：方程：方程x2-5x+4=0=0的解就是抛物线的解就是抛物线y=x2-5x+4与与x轴的两个交点的横坐标。因轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。系的。即：若一元二次方程即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1、x2，则抛物线则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标与轴的两个交点坐标分别是分别是A（），），B（