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1、 上页 下页 返回 结束 二积分上限函数及其导数 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 上页 下页 返回 结束 一、引例一、引例 在变速直线运动中在变速直线运动中,已知位置函数已知位置函数与速度函数与速度函数之间有关系之间有关系:物体在时间间隔物体在时间间隔内经过的路程为内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.2 上页 下页 返回 结束 二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数则
2、变上限函数则变上限函数证证 则有则有定理定理1 若若积分中值定理积分中值定理3 上页 下页 返回 结束 说明说明:1)定理定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的证明了连续函数的原函数是存在的.2)其他变限积分求导其他变限积分求导同时为同时为通过原函数计算定积分开辟了道路通过原函数计算定积分开辟了道路.证明见证明见补充定理补充定理34 上页 下页 返回 结束 例例1解解5 上页 下页 返回 结束 例例2证证6 上页 下页 返回 结束 例例3 证明证明在在内为单调递增函数内为单调递增函数.证证 只要证只要证7 上页 下页 返回 结束 三、牛顿三、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式(牛顿牛顿-莱布尼茨
3、公式莱布尼茨公式)证证 根据定理根据定理 1,故故因此因此得得记作记作定理定理2 函数函数,则则记作记作8 上页 下页 返回 结束 例例4 计算计算解解 例例5 计算正弦曲线计算正弦曲线的面积的面积.解解 9 上页 下页 返回 结束 例例6 求求 解解例例7 求求 原式原式解解10 上页 下页 返回 结束 例例8 设设 ,求求 .解解11 上页 下页 返回 结束 例例9 汽车以每小时汽车以每小时 36 km 的速度行驶的速度行驶,速停车速停车,解解 设开始刹车时刻为设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶刹车后汽车减速行驶,其速度为其速度为当汽车停住时当汽车停住时,即
4、即得得故在这段时间内汽车所走的距离为故在这段时间内汽车所走的距离为刹车刹车,问从开始刹问从开始刹到某处需要减到某处需要减设汽车以等加速度设汽车以等加速度车到停车走了多少距离车到停车走了多少距离?12 上页 下页 返回 结束 例例10解解13 上页 下页 返回 结束 则有则有1.微积分基本公式微积分基本公式积分中值定理积分中值定理微分中值定理微分中值定理牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 2.变限积分求导公式变限积分求导公式 四、小结四、小结 14 上页 下页 返回 结束 定理定理3 设函数设函数 f(t)在区间在区间 c,d 上连续上连续,函数函数区间区间a,b上可导上可导,且且则函数则函数在区间在区间a,b上可导上可导,且且积分变限函数积分变限函数补充补充:15 上页 下页 返回 结束 证明证明 因为函数因为函数 f(t)在区间在区间c,d 上连上连续续,所以所以 f(t)在区间在区间c,d 上有原函数上有原函数F(t),由由Newton-Leibniz公式及复合函数求导法则得公式及复合函数求导法则得显然显然,当当时时,上式就是上式就是定理定理 1 的的定理定理3结论结论.16