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1、四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第七七章 第1页/共28页表示法:向量的模:向量的大小,一、一、向量的概念向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量自由向量:与起点无关的向量.单位向量:模为 1 的向量,零向量:模为 0 的向量,有向线段 M1 M2,或 a,第2页/共28页规定:零向量与任何向量平行;若向量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a 与 b 相等,记作
2、 ab;若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行,ab;与 a 的模相同,但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线.若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k 个向量共面.记作a;第3页/共28页二、向量的线性运二、向量的线性运算算1.向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.第4页/共28页第5页/共28页2.向量的减法向量的减法三角不等式第6页/共28页3.向量与数的乘向量与数的乘法法 是一个数,规定:可见 与 a 的乘积是一个新向量,记作总之:
3、运算律:结合律分配律因此第7页/共28页定理定理1.设 a 为非零向量,则(为唯一实数)证证:“”.,取 且再证数 的唯一性.则ab设 ab取正号,反向时取负号,a,b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a,第8页/共28页“”则例例1.设 M 为解解:ABCD 对角线的交点,已知 b a,b0a,b 同向a,b 反向ab 第9页/共28页三、空间直角坐标三、空间直角坐标系系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o,坐标面 卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念第10页/
4、共28页向径在直角坐标系下在直角坐标系下坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标:有序数组(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0);起点为原点的向量第11页/共28页坐标轴:坐标面:第12页/共28页2.向量的坐标表向量的坐标表示示在空间直角坐标系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式,任意向量 r 可用向径 OM 表示.第13页/共28页四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:第14页/共28页例例2.求解以向量为未知元的线性方程组解解:2 3,得代入得
5、第15页/共28页例例3.已知两点已知两点在AB直线上求一点 M,使解解:设 M 的坐标为如图所示及实数得即第16页/共28页说明说明:由由得定比分点公式定比分点公式:点 M 为 AB 的中点,于是得中点公式中点公式:第17页/共28页五、向量的模、方向角、投五、向量的模、方向角、投影影 1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与第18页/共28页例例4.求证以求证以证证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点第19页/共28页例例5.在在 z 轴上求与轴上求与两点两点等距解解:设该点为解得故所求点为及 (1)如何求在 xoy
6、面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?离的点.第20页/共28页提示提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.已知两点和解解:求与 方向相同的单位向量 .第21页/共28页2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O,称 =AOB(0 )为向量 的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦.记作第22页/共28页方向余弦的性质:第23页/共28页例例7.已知两已知两点点和的模、方向余弦和方向角.解解:计算向量第24页/共28页例例8.设点设点 A 位于第一位于第一卦限卦限,解解:已知角依次为求点 A 的坐标.则因点 A 在第一卦限,故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 第25页/共28页性质性质1性质性质2性质性质33.向量在轴上的投影一般地,设点o及单位向量e确定u轴.任给向量r,作再过作与u轴垂直的平面交u 轴于点M,则向量称为向量r在u轴上的分向量.设则数称为向量r在u轴上的投影,记作第26页/共28页作业作业 P300 5,13,15,第27页/共28页谢谢您的观看！第28页/共28页