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1、3.向量的记法：用粗体字母，如a、I；或上面加箭头的字母，如4.向量的模：即向量的大小，用顺序写出始点和终点的记法，如特殊情形：单位向量：模等于1；零向量：模等于0，记为0，其方向可以是任意的；负向量：与a大小相等方向相反的向量，记为-a.的模记为而其属性不变，本章中只研究自由向量。5.自由向量：与始点位置无关的向量，可以对其进行平移第1页/共19页1.向量的加法：（即向量的合成，可参照力的合成法则）定义：将a、b的始点放在一起，以a、b 为邻边作平行四边形，则从始点到对角顶点的向量称a、b 的和，记a+b（称平行四边形法则）。aba+b称为平行向量，也称为共线，易知其方向相同或相反。若a与b
2、在同一条直线上或在两条平行直线上，6.平行向量：7.向量相等：大小相等，方向相同，记a=b.二.向量的线性运算：第2页/共19页 平行向量的和：当a与b方向相同时，其和向量的模等于两向量模之和，其方向与a、b 方向相同；当a与b方向相反时，其和向量的模等于两向量模之差，其方向与a、b 中模较大的向量的方向相同；运算律：1）交换律：a+b=b+a 2）结合律：（a+b）+c=a+(b+c)三角形法则：向量的加法还可以使用三角形法则，如图：特殊情况：a+0=a；a+（-a）=0.aba+b第3页/共19页2.向量的减法：两向量a与b的差a-b规定为a+（-b），可使用三角形法则求出，如图：aba-
3、b第4页/共19页3.向量与数的乘法：定义：向量a与数的乘积仍为一向量，记为a.其模：其方向：当0时与a相同，当0时与a相反，=0时为零向 量；特别：1 a=a，（-1）a=-a.两个非零向量平行充要条件：存在0，使a=b.非零向量单位化：设a 0，与a同向的单位向量记为ao，易知ao=第5页/共19页运算律：结合律：(a)=(a)=()a 分配律：（+）a=a+a；（a+b)=a+b=a,三.向量在轴上的投影 1.两非零向量的夹角：设a、b0，将其始点移至 同一点O，设=b,则规定向量与之间不超过的夹角为向量a 与b之间的夹角，记作（a,b),或（b，a).如图：BabAO类似地可规定向量与
4、一坐标轴的夹角或空间两轴的夹角.第6页/共19页2.向量在轴上的投影：点在轴上的投影：过A作轴u的垂直平面，则与u的交点A称为A在轴u上的投影.如图：AA 向量在轴上的投影：设A点的坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），则x2-x1称为向量 在x轴的投影，记作 同样第7页/共19页令 分别为x轴上的单位向量，则有或将投影 ，分别叫做向量 的坐标再设C点的坐标 ，则 不难证明即和的投影等于投影的和一般地有：个向量之和在 轴上的投影等于各个向量在 轴上投影之和第8页/共19页注：相等向量在同一轴上的投影相等。易知，当向量与轴成锐角时投影为正；成钝 角时投影为 负；成直角时投影为0.BAA
5、uBB”u3.关于向量投影的定理：定理1：向量 在轴 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦。其中=即第9页/共19页 任何一个向量可在坐标轴上的分解，即分别称为 在 轴，轴上的向量称为投影，或坐标，或数量m 若已知向量的坐标 ,则向量的大小和 方向就被确定由 可得称为 的方向余弦第10页/共19页定理：数与向量的乘积在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘积总之，我们将数量和向量这一对矛盾统一在 之中2 空间直角坐标系与向量的坐标一.空间直角坐标系：1.定义：由过同一原点O作三条相互垂直的数轴（分别称ox轴、oy轴、oz轴，又称横轴、纵轴、竖轴，按右手法则排列）所组成的坐标系称为空间直
6、角坐标系，记为Oxyz。第11页/共19页其中以三坐标轴正向确定的称第卦限，按逆时针方向依次称第、卦限，第卦限下面称第卦限，再按逆时针方向依次称第、卦限。3.点的坐标：设有空间中点M，过M作三个平面分别垂直于Ox、Oy、Oz轴，并分别交三轴于点P、Q、R，设这三点在三轴上的坐标分别为x、y、z，则称M点的在该空间坐标系中的坐标为（x,y,z)，并记M点为M(x,y,z).如图：2.有关概念：在上面定义中的点O称为坐标原点；Ox轴、Oy轴、Oz轴称坐标轴；由每两条坐标轴所确定的平面称为坐标平面，其中由Ox轴和Oy轴所确定的平面称为xOy面，依次类推；三个坐标平面把整个空间分为八个部分，每个部分称
7、为一个卦限，第12页/共19页OQPzyxMR坐标平面：xOy面上为（x,y,0)，yOz面上为（0,y,z)，zOx上为（x,0,z)；坐标卦限：在第卦限中的点的坐标的符号依次为(+,+,+),(-,+,+),(-,-,+),(+,-,+),(+,+,-),(-,+,-),(-,-,+),(+,-,-).其中x、y、z分别称M点的横坐标、纵坐标和竖坐标。4.坐标特征：点的坐标有以下特征：坐标原点：（0,0,0）；坐标轴：x轴上为（x,0,0)，y轴上为（0,y,0)，z轴上为（0,0,z)；第13页/共19页也可记为二.向量的坐标：1.基本单位向量：此向量的坐标为为点M的向径，称向量设有空间
8、中点M（x,y,z)，2.点M的向径的坐标：分别记为i、j、k.正向相同的三个单位向量与x轴、y轴、z轴第14页/共19页5.向量线性运算的坐标（代数）表示：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间中两点，3.向量的坐标：易知：=x2-x1,y2-y1,z2-z1易知i、j、k的坐标分别为1,0,0,0,1,0,0,014.i、j、k的坐标：设有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,则有 a=(ax)i+(ay)j+(az)k ab=(ax bx)i+(ay by)j+(az bz)k第15页/共19页即ax=bx,ay=by,az=bz,从中消去得其中若上
9、式中某个分母为0，则其分子也为0.6.两向量平行的充要条件：我们已知两向量a与b平行的充要条件是a=b,即两向量平行的充要条件是其坐标对应成比例，第16页/共19页3a-2b=(18-6)i+(-12-8)j+(30+18)k=12i-20j+48k例1 已知两向量a=6i-4j+10k,b=3i+4j-9k,求a+2b,3a-2b.解 a+2b=(6+6)i+(-4+8)j+(10-8)k=12i+4j-8k三.模与方向余弦的坐标表示：1.模：第17页/共19页其余弦称为该向量的方向余弦。设有空间中两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，2.方向余弦：称a与三坐标轴正向的夹角、为该向量的方向角，易知3.方向余弦的性质：4.两点之间距离公式：则此两点之间的距离为第18页/共19页谢谢您的观看！第19页/共19页