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1、空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数(dish)D曲面曲面方程方程第一页，共26页。一、曲面方程一、曲面方程一、曲面方程一、曲面方程(fngchng)(fngchng)(fngchng)(fngchng)的概念的概念的概念的概念求到两定点(dn din)A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明说明(shumng):(shumng):动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB AB 的垂直平分面的垂直平分面.引例引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解解:设轨迹上的动点为轨迹方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共26页第
2、二页，共26页。定定定定义义义义(dngy(dngy)1.)1.如果(rgu)曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足(mnz)此方程;则 F(x,y,z)=0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题 :(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共26页第三页，共26页。故所求方程(fngchng)为例例例例1.1.求求求
3、求动动动动点点点点到到到到定定定定点点点点(dn din)(dn din)方程(fngchng).特别,当M0在原点时,球面方程为解解:设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹表示上(下)球面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共26页第四页，共26页。例例例例2.2.2.2.研究研究研究研究(ynji)(ynji)(ynji)(ynji)方程方程方程方程解解:配方配方(pi fng)(pi fng)得得此方程(fngchng)表示:说明说明:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为 一个球面球面,或点点,或虚轨迹虚轨
4、迹.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共26页第五页，共26页。定义定义(dngy)2.(dngy)2.一条平面曲线一条平面曲线二、旋转二、旋转二、旋转二、旋转(xunzhun)(xunzhun)(xunzhun)(xunzhun)曲面曲面曲面曲面 绕其平面上一条定直线绕其平面上一条定直线(zhxin)(zhxin)旋转旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴 .例如例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共26页第六页，共26页。建立建立yozyoz面上曲线面上曲线(qxin)C(qxin)C 绕绕 z z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的方程的方
5、程:故旋转曲面(qmin)方程为当绕 z 轴旋转(xunzhun)时,若点给定 yoz 面上曲线 C:则有则有该点转到机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共26页第七页，共26页。思考：当曲线思考：当曲线思考：当曲线思考：当曲线(qxin)C(qxin)C 绕绕绕绕 y y 轴旋转时，方程如轴旋转时，方程如轴旋转时，方程如轴旋转时，方程如何？何？何？何？机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第7页/共26页第八页，共26页。例例例例3.3.试试试试建建建建立立立立(jinl)(jinl)顶顶顶顶点点点点在在在在原原原原点点点点,旋旋旋旋转转转转轴轴轴轴为为为为z z 轴轴轴轴,半半
6、半半顶角为顶角为顶角为顶角为的圆锥(yunzhu)面方程.解解:在在yozyoz面上面上(min shn)(min shn)直线直线L L 的方程为的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共26页第九页，共26页。例例例例4.4.求求求求坐坐坐坐标标标标(zubio)(zubio)面面面面 xoz xoz 上上上上的的的的双曲线双曲线双曲线双曲线分别(fnbi)绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面(qmin)方程.解解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束
7、第9页/共26页第十页，共26页。三、柱面三、柱面三、柱面三、柱面引例引例(yn l).(yn l).分析方程分析方程表示(biosh)怎样的曲面.的坐标(zubio)也满足方程解解:在 xoy 面上，表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间过此点作柱面柱面.对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共26页第十一页，共26页。定义定义定义定义(dngy(dngy)3.)3.平行(pngxng)定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹(guj)叫做柱面.
8、表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.z 轴的平面平面.表示母线平行于(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线准线,l 叫做母线母线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共26页第十二页，共26页。一般一般(ybn)(ybn)地地,在三维空间在三维空间柱面,柱面,平行(pngxng)于 x 轴;平行(pngxng)于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2.母线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共26页第十三页，共
9、26页。四、二次曲面四、二次曲面四、二次曲面四、二次曲面三元(sn yun)二次方程 适当选取(xunq)直角坐标系可得它们的标准方程,下面(xi mian)仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为 0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共26页第十四页，共26页。1 1 1 1.椭球面椭球面椭球面椭球面(1)范围(fnwi)：(2)与坐标(zubio)面的交线：椭圆机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第14页/共26页第十五页，共26页。与的交线为
10、椭圆(tuyun)：(4)当 ab 时为旋转(xunzhun)椭球面;同样(tngyng)的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3)截痕:为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共26页第十六页，共26页。2.2.抛物面抛物面抛物面抛物面(1)椭圆(tuyun)抛物面(p,q 同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面(qmin)）特别(tbi),当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.(p,q 同号)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共26页第十七页，共26页。3.3.双曲面双曲面双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆(tuyun).时,截痕为(实轴平行(pngx
11、ng)于x 轴；虚轴平行(pngxng)于z 轴）平面 上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线:第17页/共26页第十八页，共26页。虚轴平行(pngxng)于x 轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行(pngxng)于z 轴;机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 相交直线:双曲线:第18页/共26页第十九页，共26页。(2)(2)双叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面双曲线椭圆(tuyun)注意(zh y)单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18 目录(ml)上页 下页 返回 结束 图形图形第19页/共26页第二十页，共26页。4.4.椭圆锥面椭
12、圆锥面椭圆锥面椭圆锥面椭圆(tuyun)在平面(pngmin)x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆上任(shng rn)一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到,见书 P316)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共26页第二十一页，共26页。内容内容内容内容(nirng)(nirng)(nirng)(nirng)小小小小结结结结1.空间空间(kngjin)曲面曲面三元(sn yun)方程 球面 旋转曲面如,曲线绕 z 轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.机动 目录
13、 上页 下页 返回 结束 第21页/共26页第二十二页，共26页。2.2.二次曲面二次曲面三元(sn yun)二次方程 椭球面 抛物面:椭圆(tuyun)抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面:机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第22页/共26页第二十三页，共26页。斜率(xil)为1的直线平面(pngmin)解析几何中空间(kngjin)解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习1.指出下列方程的图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共26页第二十四页，共26页。2.P318 题3,10机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 题题10 答案答案(d n):在 xoy 面上(min shn)第24页/共26页第二十五页，共26页。作业作业(zuy)P318 2;4;7;8(1),(5);11第四节 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 第25页/共26页第二十六页，共26页。