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1、三角函数及三角恒等变换 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望2B 版：版：第一章第一章 基本初等函数基本初等函数（）第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换为什么叫基本初等函数（为什么叫基本初等函数（II）？）？为什么要分成两章？为什么要分成两章？3三角函数的地位与作用三角函数的地位与作用 传统：测量。传统：测量。课标：三角函数是描述周期现象的重要课标：三角函数是描述周期现象的重要的数学模型。的数学模型。电磁波电磁波 Fourier级数级数4第一章第一章基
2、本初等函数（基本初等函数（）1.1 任意角的概念及弧度制任意角的概念及弧度制1.2 任意角的三角函数任意角的三角函数1.3 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质51.1 任意角的概念及弧度制任意角的概念及弧度制1.1.1 角的概念的推广角的概念的推广6各角和的旋转量等于各角旋转量的和。各角和的旋转量等于各角旋转量的和。7 例例 1 射线射线 OA 绕端点绕端点 O 顺时针旋转顺时针旋转 80 到到 OB 的位置，接着逆时针旋转的位置，接着逆时针旋转 250 到到 OC 的位置，然后再顺时针旋转的位置，然后再顺时针旋转 270 到到 OD 位位置，求置，求 AOD 的大小。的大小。转角运算的
3、几何意义。转角运算的几何意义。8为什么要这样做？为什么要这样做？角运算的几何意义，角运算的几何意义，有助于帮助学生理解，为有助于帮助学生理解，为用对称变换等证明诱导公用对称变换等证明诱导公式打下伏笔。式打下伏笔。xyaa+p 29思考与讨论思考与讨论1.如果如果 a 是第一象限的角，那么是第一象限的角，那么 a 的取的取值范围可以表示为怎样的不等式？值范围可以表示为怎样的不等式？2.如果如果 a 分别是第一、第二、第三和第四分别是第一、第二、第三和第四象限的角，那么象限的角，那么 分别是第几象限角分别是第几象限角？10可能存在的困难可能存在的困难为什么要对为什么要对 k 这样分类讨论？这样分类
4、讨论？11 练习练习A 1.判断：（判断：（2）终边相等的角一定相等。）终边相等的角一定相等。如果角如果角a 和角和角b 的终边相同，则它们之间的终边相同，则它们之间的大小有何关系？的大小有何关系？答：存在一个整数答：存在一个整数 k，使得，使得a-b =k360。121.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算弧度制和弧度制与角度制的换算 旋转时，射线上的旋转时，射线上的点形成圆弧。点形成圆弧。为什么不用单位圆定义？为什么不用单位圆定义？13角的集合与实数集角的集合与实数集 R 之间的一一对应。之间的一一对应。角度制是角度制是60进制，弧度制是十进制。进制，弧度制是十进制。角度值换算为弧度值的算
5、法。角度值换算为弧度值的算法。建议讲解：机械，但步骤清楚。建议讲解：机械，但步骤清楚。角度数角度数 n 与角度与角度 n 的区别。的区别。例例 3 可以不讲，例可以不讲，例 4 要求学生掌握。要求学生掌握。141.2 任意角的三角函数任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义三角函数的定义 锐角三角函数锐角三角函数15任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义:相似三角形相似三角形为什么不用单位圆定义？为什么不用单位圆定义？16三角函数的自变量三角函数的自变量如果点如果点 P(x，y)是角是角 a 终边上一点，那么终边上一点，那么定义定义 称为余弦函数。称为余弦函数。问题：余弦函数中的自变量是谁
6、？问题：余弦函数中的自变量是谁？17教材：教材：叫做角叫做角a 的余弦，的余弦，记记作作cos a，即，即 对于每一个确定的角对于每一个确定的角a，有唯一的余，有唯一的余弦弦值值与之与之对应对应，因此，因此这这个个对应对应法法则则是以是以 a 为为自自变变量的函数，叫做量的函数，叫做 a 的余弦函数。的余弦函数。18例例 2 求下列各角的六个三角函数值：求下列各角的六个三角函数值：（1）0；（2）p；（3）。练习练习A 3.填表：特殊角的三角函数。填表：特殊角的三角函数。探索与研究：探索与研究：算任意角的三角函数值的算法。算任意角的三角函数值的算法。191.2.2 单位圆与三角函数线单位圆与三
7、角函数线用到了轴上向量及其数量的知识。用到了轴上向量及其数量的知识。建议先讲点轴上向量的知识（数学二建议先讲点轴上向量的知识（数学二2.1.1 或或 数学四数学四 2.1.5）。）。可以用有向线段来解释。可以用有向线段来解释。20为什么要用单位圆？为什么要用单位圆？正切线为什么在正切线为什么在 x=1 这条线上？这条线上？21思考与讨论：思考与讨论：时，时，的大小关系。的大小关系。xyOABC221.2.3 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式例例3.已知已知求求 tan a 的值。的值。23奇变偶不变，符号看象限。奇变偶不变，符号看象限。诱导公式传统的处理方式：诱导公式传统的处理
8、方式：1.2.4 诱导公式诱导公式24xyaA-aBa+pCA(cos a，sin a)B(cos(-a)，sin(-a)C(cos(a+p)，sin(a+p)25xyaPBNa+p2MA261.3 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质27 设设 t=sin x，则有，则有 y=(t-1)2+2，t-1，1。转化为二次函数的问题。转化为二次函数的问题。y=(sin x-0.5)2+2 y=-(sin x-3)2+2求求 y=(sin x-1)2+2 的值域的值域1.3.1 正弦函数的图象与性质正弦函数的图象与性质28 在闭区间在闭区间-1，1上，当上，当 t=-1 时，时，|t-1|最大，
9、函数最大，函数 y=(t-1)2+2 取得最大值，最大取得最大值，最大值为值为 6。在闭区间在闭区间-1，1上，当上，当 t=1 时，时，|t-1|最小，函数最小，函数 y=(t-1)2+2 取得最小值，最小取得最小值，最小值为值为 2。29 y=(sin x-1)2+2 y=(sin x-0.5)2+2 y=-(sin x-3)2+230 “我们可以把我们可以把 2x 当成一个新的变量当成一个新的变量 u，即，即u=2x。函数。函数 y=sin u 的周期为的周期为 2p，这就是说，这就是说，当当 u 增加到且至少要增加到增加到且至少要增加到 u+2p时，函数的时，函数的值才重复取得，而值才
10、重复取得，而u+2p=2x+2p=2(x+p)。因此，当自变量因此，当自变量 x 增加到且必须增加到增加到且必须增加到x+p 时，函数的值才重复取得。时，函数的值才重复取得。因此函数因此函数y=sin 2x 的周期为的周期为 p。”已知已知 f(x)的周期为的周期为 T，则，则 f(3x)的周期为？的周期为？求周期：求周期：y=sin 2x31余弦函数余弦函数正切函数正切函数 先图象还是先性质？先图象还是先性质？1.3.2 余弦函数、正切函数的图象和性质余弦函数、正切函数的图象和性质32注意细节注意细节数学四第数学四第52页例页例2：判断判断 y=cos x+2 的奇偶性。的奇偶性。因为因为
11、f(-x)=cos(-x)+2=cos x+2，所以所以是偶函数。是偶函数。33 解：把函数解：把函数 y=cos x+2 记为记为f(x)=cos x+2。因为因为 f(-x)=cos(-x)+2=cos x+2=f(x)，所所以是偶函数。以是偶函数。平移平移 y=sin x+2341.3.3 已知三角函数值求角已知三角函数值求角重点在于特殊值，其余的了解即可。重点在于特殊值，其余的了解即可。课标上没有要求。课标上没有要求。35第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换3.1 和角公式和角公式3.2 倍角公式和半角公式倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积三角函数的积化和差与和差
12、化积 课标：经历用向量的数量积推导出两课标：经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。向量方法的作用。363.1 和角公式和角公式3.1.1 两角和与差的余弦两角和与差的余弦共有四种证明方法：共有四种证明方法：BECAxyOabDF37xyaPQ-bbRA3839xyaPQb存在整数存在整数 k，使得，使得 40探索与研究探索与研究NRQaMxyOPab41练习练习A 1.下式成立吗？下式成立吗？上式一定不成立吗？上式一定不成立吗？恒等问题是学生的一个难点。恒等问题是学生的一个难点。423.1.2 两角和与差的正弦两角和与差的正弦
13、 例：已知点例：已知点 P(x，y)，与原点距离保持不变，与原点距离保持不变，逆时针旋转逆时针旋转角到点角到点 P(x，y)。求证：。求证：43 例例 4 求函数求函数 y=asin x+bcos x的最大值、最的最大值、最小值和周期，其中小值和周期，其中 a，b 是不同时为零的实是不同时为零的实数。数。角角 j 的存在性和唯一性。的存在性和唯一性。443.1.1 两角和与差的正切两角和与差的正切453.2 倍角公式倍角公式3.2.1 倍角公式倍角公式463.2.2 半角的正弦、余弦和正切公式半角的正弦、余弦和正切公式473.3 三角函数的积化和差与和差化积三角函数的积化和差与和差化积4849
14、探索与研究探索与研究50函数函数 的周期和奇偶性。的周期和奇偶性。2007广东广东函数函数 的图象经过点的图象经过点（0，1），求周期和初相。），求周期和初相。51函数函数 的最小正周期的最小正周期和最大值分别为和最大值分别为 ，。2007山东卷山东卷由函数由函数 的图象怎样才能得到的图象怎样才能得到函数函数 的图象？的图象？52函数函数 的图象。的图象。2007海南、宁夏海南、宁夏若若 ，求，求 的值。的值。53函数函数 的周期和奇偶性。的周期和奇偶性。2008广东广东函数函数 的最大的最大值为值为 1，图象经过点，图象经过点 。（1）求解析式。）求解析式。（2）已知）已知 ，且，且 求求
15、的值。的值。函数函数 的最小正周期。的最小正周期。54已知已知 ，则，则 的的值为值为 。2008山东卷山东卷函数函数 为偶函数，且图象的两相邻对称轴的距离为偶函数，且图象的两相邻对称轴的距离为为 。（1）求）求 的值。的值。（2）平移后求单调区间。）平移后求单调区间。55已知函数已知函数 的的图象，求图象，求 w w 的值。的值。2008海南、宁夏海南、宁夏求求 的值。的值。函数函数 的最值。的最值。56 如图，在平面直角坐标系中，以如图，在平面直角坐标系中，以 Ox 轴为轴为始边作两个锐角始边作两个锐角 a、b，它们的终边分别，它们的终边分别与单位圆交于与单位圆交于A、B两点。已知两点。已知 A、B 的横的横坐标分别为坐标分别为 、。（1）求）求 tan(a+b)的值。的值。（2）求）求a+2b 的值的值2008江苏江苏xyaBbA57龙正武龙正武 010-