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1、任意角的三角函数及三角恒等变换现在学习的是第1页，共76页【主干知识】1.必记公式(1)同角三角函数之间的关系:平方关系:_;商数关系:_.(2)诱导公式:公式:S+2k;S;S-;巧记口诀:奇变偶不变,符号看象限,当锐角看.sin2+cos2=1sintancos2S;现在学习的是第2页，共76页(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:sin()=_;cos()=_;tan()=_.辅助角公式:asin+bcos=_= cos(+).sincoscossincoscossinsintantan1tantan22ab sin()22ab现在学习的是第3页，共76页(4)二倍角的正弦、余弦、正切
2、公式:sin2=_;cos2=_=2cos2-1=1-2sin2;tan2=_.2sincoscos2-sin222tan1tan 现在学习的是第4页，共76页(5)降幂公式:sin2=_;cos2=_.1 cos 221cos 22现在学习的是第5页，共76页2.易错提醒(1)同角关系应用错误:利用同角三角函数的平方关系开方时,忽略判断角所在的象限或判断出错,导致三角函数符号错误.(2)诱导公式的应用错误:利用诱导公式时,三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错.(3)忽视角的范围:给值求角或给角求值时,忽视角的范围.现在学习的是第6页，共76页【考题回顾】1.（2014梅州模拟）已知为锐角
3、，且tan()+3=0，则sin 的值为( )【解析】选B.由正切的诱导公式得tan(-)=-tan,故tan(-)+3=0tan =3,由公式tan2+1= 得，cos2= sin = 因为为锐角，所以sin 0sin ，故选B.13 103 73 5A.B.C.D.3107521cos 11023 101 cos ,10 3 1010现在学习的是第7页，共76页2.(2014宜春模拟)已知，为锐角，cos = ,tan(-)=- ，则tan 的值为（ ）【解析】选B.因为，为锐角，cos = ,所以tan = ,tan =tan-（-）=35131913A.B.3C.D.31393541(
4、)tan tan 333.411tan tan1()33 （）43现在学习的是第8页，共76页3.（2013浙江高考）已知R，sin +2cos =则tan 2=( )102，4334A.B.C.D.3443 现在学习的是第9页，共76页【解析】选C.由所以tan =- 或tan =3.当tan =- 时，tan 2=当tan =3时，tan 2=2210sin 2cos 2sin cos 1，103 10sin sin 10103 1010cos cos 1010 ，解得或，13132222tan 33.11tan 41 ()3 222tan 63.1tan 1 34 现在学习的是第10页，
5、共76页4.（2014 惠州模拟）已知函数f(x)=cos2x+sin xcos x,xR.（1）求f( )的值.（2）若63sin (,)f().52224，且，求现在学习的是第11页，共76页【解析】(1)(2)f(x)=cos2x+sin xcos x=2231333f( )cossincos().666622241cos 2x1sin 2x221112sin 2xcos 2xsin(2x),2222412f()sin()224221241212 13sin()( sin cos ).223222234sin (,)cos ,52512 1334f()()224222525103 24
6、6.20 因为，且，所以所以现在学习的是第12页，共76页热点考向一 三角函数的定义 【考情快报】难度:基础题命题指数:题型:以选择题、填空题为主考查方式:主要考查三角函数的定义的应用,一般和求三角函数值或角的大小有关,常与解析几何、平面向量交汇现在学习的是第13页，共76页【典题1】（1）（2014杭州模拟）已知角的终边上一点的坐标为 则角的最小正值为（ ）（2）（2014南昌模拟）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos 2=( )55(sin,cos),6652511A.B.C.D.63364334A.B.C.D.5555 现在学习的是第14页，共7
7、6页【信息联想】（1）看到终边上一点的坐标想到_.（2）看到终边在直线y=2x上，想到_；看到cos 2,想到_.55(sin,cos)66，三角函数的定义三角函数的定义二倍角公式现在学习的是第15页，共76页【规范解答】（1）选C.由三角函数的定义知：所以是第四象限角，因此的最小正值为53coscos662tan 3.51sinsin66255sin0,cos0.66 又5.3现在学习的是第16页，共76页(2)选B.方法一：在角的终边上任取一点P（a,2a）(a0).则r2=|OP|2=a2+(2a)2=5a2.所以cos2=cos 2=2cos2-1=方法二：由方法一知tan = =2,
8、cos 2=cos2-sin2=22a1,5a5231.55 2aa222222cos sin 1tan 3.cos sin 1tan 5 现在学习的是第17页，共76页【互动探究】若将本例（1）中点的坐标变为则结果如何？【解析】选D.由三角函数定义知：所以是第四象限角，的最小正值为1111(cos,sin),66111sinsin3662tan .1133coscos6621111cos0,sin0.66 又11.6现在学习的是第18页，共76页【规律方法】运用定义可求解的两类问题1.求三角函数值（或角）当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函
9、数值，再求其他.但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论.2.建模由于三角函数的定义与单位圆、弧长公式等存在一定的联系，因此在命题思路上可以把圆的有关知识同三角函数间建立联系.现在学习的是第19页，共76页【变式训练】1.（2014广州模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为 ，则cos =_.【解析】易知A点的横坐标为- ,所以cos =- .答案：- 45353535现在学习的是第20页，共76页2.角速度为 的质点P，从点(1,0)出发，逆时针沿单位圆x2y21运动，经过17个时间单位后，点P的坐标是_.4现在学习的是第21页，共76页【解析】经
10、过17个单位时间，质点运动的弧度是此时质点P在角 的终边上，即在 的终边上，根据三角函数的定义，此时该点的坐标是即答案： 174，1721445455(cos ,sin )44，22(,).2222(,)22现在学习的是第22页，共76页【加固训练】1.（2014绍兴模拟）已知角 的终边上有一点P（1，a）,则a的值是（ ）【解析】选D.由三角函数的定义可知33A.3B.3C.D. 33atana3.31，所以现在学习的是第23页，共76页2.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于（2
11、，1）时， 的坐标为_.OP 现在学习的是第24页，共76页【解析】设A（2，0），B（2，1），由题意知劣弧 长为2，ABP=设P（x,y），则x=2-1cos(2- )=2-sin 2,y=1+1sin(2- )=1-cos 2,所以 的坐标为（2-sin 2,1-cos 2）.答案：(2-sin 2,1-cos 2)PA22.122OP 现在学习的是第25页，共76页热点考向二 同角三角函数间的基本关系及诱导关系【考情快报】难度:基础题命题指数:题型:以选择题、填空题为主,有时也出现在解答题中关键的一步考查方式:主要考查平方关系,商数关系及诱导公式的应用,常与和差角公式、倍角公式相结合考
12、查现在学习的是第26页，共76页【典题2】（1）（2014合肥模拟）若sin(-)=-且 则sin =( )(2)(2014安庆模拟)已知 =-1,求下列各式的值：cos2( +)-sin(-)cos(+)+2.533(,),2()226666A.B.C.D.3663tan tan 1sin 3cos ;sin cos 2现在学习的是第27页，共76页【信息联想】（1）看到sin(-)， 想到_.（2）看到 想到_;看到 +,-,+,想到_.sin(),22sin 3cos ,sin cos 2诱导公式及二倍角公式商数关系诱导公式现在学习的是第28页，共76页【规范解答】（1）选B.sin(-
13、)=sin =又(, ),所以cos =由cos =5,33222521 sin 1 ().33 2 32cos1,(,)cos22242得21cos 163,2266sin()cos.2226 所以现在学习的是第29页，共76页（2）由已知得tan =1.222222222222213tan 352.1tan 1312sin sin cos 2sin sin cos2(cos sin )3sin sin cos 2cos 3tan tan2sin cos tan 1113 ( )21322.15( )12 原式原式现在学习的是第30页，共76页【规律方法】1.利用同角三角函数的关系式化简求值
14、的三种常用方法（1）切弦互换法：利用tan 进行转化.（2）和积转化法：利用(sin cos )2=12sin cos 进行变形、转化.（3）常值代换法：其中之一就是把1代换为sin2cos2.同角三角函数关系sin2cos21和tan 联合使用，可以根据角的一个三角函数值求出另外两个三角函数值根据tan 可以把含有sin ，cos 的齐次式化为tan 的关系式sin cos sin cos sin cos 现在学习的是第31页，共76页2.利用同角三角函数的关系式化简求值的三个关注点（1）函数名称和符号：利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角的三角函数，其步骤是：去负脱周
15、化锐求值.特别注意解题过程中函数名称和符号的确定.（2）开方：在利用同角三角函数的平方关系时，若开方特别注意根据条件进行讨论取舍.（3）结果整式化：解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能整式化.现在学习的是第32页，共76页【变式训练】1.（2014北京模拟）若sin(3+)=(- ,0),则tan =_.【解析】由sin(3+)= (- ,0)得sin =-cos = ,故tan =- .答案：- 1,221,221,2323333现在学习的是第33页，共76页2.直线2x-y+1=0的倾斜角为,则 的值为_.【解析】由题意可知，tan =2,则答案：221sin cos 2222222
16、21sin cos tan 15.sin cos sin cos tan 1353现在学习的是第34页，共76页【加固训练】1.已知2sin( +)-sin(-)=0，则sin2+sin cos -2cos2=( )24534A.B.C.D.3445 【解析】选D.因为2sin( +)-sin(-)=0,所以tan =2.sin2+sin cos -2cos2=22222sin sin cos 2cos sin cos 22tan tan 24224.tan 14 15现在学习的是第35页，共76页2.计算：tan 300=_.【解析】tan 300=tan(360-60)=-tan 60=-
17、 .答案：- 33现在学习的是第36页，共76页3.已知为第二象限角，sin +cos =则cos 2=_.33，现在学习的是第37页，共76页【解析】因为sin +cos = ,所以两边平方得1+2sin cos = ，所以2sin cos = 0，因为已知为第二象限角，所以sin 0,cos 0，sin cos =所以cos 2=cos2sin2=(cos sin )(cos +sin )答案：33132325151 2sin cos 1333，1535.33353现在学习的是第38页，共76页热点考向三 三角恒等变换 【考情快报】高频考向多维探究难度:基础、中档题命题指数:题型:选择题、
18、填空题、解答题均可考查考查方式:主要考查和差角公式、倍角公式及其变形,常与三角函数式的化简求值及三角函数的图象、性质相结合现在学习的是第39页，共76页命题角度一 利用三角恒等变换求值（求角）【典题3】（1）（2014天津模拟）已知则cos +sin 等于（ ）（2）已知锐角，满足sin = ,cos =则+=_.cos 22,2sin()4 7711A.B.C.D.2222553 10,10现在学习的是第40页，共76页【信息联想】（1）看到 想到_.（2）看到求+，想到_.cos 222sin()4 ，利用诱导公式、差角公式、倍角公式化简先求出+的某一三角函数值现在学习的是第41页，共76
19、页【规范解答】（1）选D. 所以sin +cos =-cos 2cos 22sin()(sin cos )4222cos sin cos sin 2,222sin cos 22 1.2现在学习的是第42页，共76页（2）由锐角，满足得cos =所以cos(+)=cos cos -sin sin =又因为0+，所以+=答案：53 10sin cos .510，222 5101 sin ,sin 1 cos .5102.2.44现在学习的是第43页，共76页命题角度二 利用三角恒等变换化简【典题4】（1）（2014玉溪模拟）已知函数f(x)=2sin x( cos x-sin x)+1,若f(x-
20、)为偶函数，则可以为（ ）(2)（2014 揭阳模拟）已知函数f(x)=求函数f(x)的定义域和最小正周期.若f()=2,0,，求f(+ )的值3A.B.C.D.2346sin 2x2sin x.sin x12现在学习的是第44页，共76页【信息联想】(1)看到f(x)的表达式，想到_.(2)看到求函数f(x)= +2sin x的最小正周期，想到_.利用三角恒等变换将f(x)化为y=Asin(x+)的形式将f(x)化为f(x)=Asin(x+)的形式sin 2xsin x现在学习的是第45页，共76页【规范解答】(1)选B.f(x)=2 sin xcos x-2sin2x+1= sin 2x+
21、cos 2x=2sin(2x+ ).因为f(x-)为偶函数，所以-2+当k=-1时，=336kkkZ ,6226 .3现在学习的是第46页，共76页(2)由sin x0解得xk(kZ)，所以函数f(x)的定义域为x|xk(kZ),所以f(x)= +2sin x=2cos x+2sin x所以f(x)的最小正周期T= =2.由f()=2cos +sin =12cos sin =0,因为0,且，sin 0,所以=所以sin2xsin x2 2(sincos xcossin x)2 2sin(x)444，21,25f()2 2sin()2 2sin2.124126现在学习的是第47页，共76页【一题
22、多解】解决本例（2），还有如下方法：由f()=2,0,得，sin +cos =1cos =1-sin ,代入sin2+cos2 =1得，sin2 +(1-sin )2=12sin (sin -1)=0,又sin 0,所以sin =1，又0,，所以=所以,25f()2 2sin()2 2sin2.124126现在学习的是第48页，共76页【规律方法】三角恒等变换的思路与方法1.思路：（1）和式：降次、消项、逆用公式.（2）三角分式：分子与分母约分或逆用公式.（3）二次根式：切化弦、变量代换、角度归一.现在学习的是第49页，共76页2.方法：（1）弦切互化：一般是切化弦.（2）常值代换：特别是“1
23、”的代换，如1=sin2+cos2=tan 45等.（3）降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式（降幂公式）降次.（4）公式的变形应用：如sin =cos tan ,sin2=221 cos 21cos 2,cos ,tan tan tan (1tantan ),221 sin (sincos).22等现在学习的是第50页，共76页（5）角的合成及三角函数名的统一：asin +bcos =（6）角的拆分与角的配凑：如=(-)+，22bab sin (tan ).a ,(2).2242可视为的半角等现在学习的是第51页，共76页【变式训练】1.（2014厦门模拟）若 则cos( +2)=
24、_.1sin()63，23现在学习的是第52页，共76页【解析】因为答案：1sin(),63228cos ()692cos(2)cos2()12cos ()3367.9 则，所以79现在学习的是第53页，共76页2.（2014广东高考）已知函数f(x)=Asin(x+ )，xR，且（1）求A的值.（2）若f()f()= ,【解题提示】（1）属于给角求值问题，把 代入解析式求A.(2)可利用两角和与差的正弦和诱导公式及同角三角函数的关系求解.353 2f().1223(0,)f().26，求512现在学习的是第54页，共76页【解析】（1）由（2）f()f()=553A 23 2f()Asin(
25、)AsinA3.12123422可得3，3sin() 3sin()33313313( sin cos ) 3(cos sin )322223sin .36(0,)cos 23f()3sin()3sin()3cos 6.6632则，因为，所以，现在学习的是第55页，共76页【加固训练】1.求值： =_.【解析】由题意得:答案：2cos 10sin 20cos 202cos 10sin 20cos 203cos 20sin 20sin202cos 3020sin 20cos 20cos 203. 3现在学习的是第56页，共76页2.已知的值为_.137sin(),(, ),cos()44212 则
26、现在学习的是第57页，共76页【解析】由答案：353(, ),().2444 得，115sin(),cos(),44447cos()cos()1243151134242153.8 又则得1538现在学习的是第58页，共76页3.已知函数f(x)=2sin xcos x+cos 2x(xR).（1）当x取什么值时，函数f(x)取得最大值，并求其最大值.（2）若为锐角，且 求tan 的值.2f()83，现在学习的是第59页，共76页【解析】（1）f(x)=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=所以当2x+ =2k+ (kZ)，即x=k+ (kZ)时，函数f(x)取得最大
27、值，其最大值为（2）因为222(sin 2xcos 2x)222sin(2x).44282.2f(),8322sin(2),231cos 2.3所以所以现在学习的是第60页，共76页因为为锐角，即0所以02,所以sin 2=所以tan 2=,222 21 cos 2,3sin 22 2,cos 2222tan 2 2,1tan 2tan tan 20,2tan 1tan 20,2tan tan 2,22tan .2 所以所以所以所以或（不合题意，舍去）所以现在学习的是第61页，共76页【备选考向】三角恒等变换与平面向量、解三角形的交汇问题【典题】已知锐角三角形ABC中，向量m=(2-2sin
28、B,cos B-sin B),n=(1+sin B,cos B+sin B)，且mn.（1）求角B的大小.（2）当函数y=2sin2A+cos 取最大值时，判断三角形ABC的形状.C3A2现在学习的是第62页，共76页【解析】（1）因为mn，所以mn=0.即（2-2sin B）(1+sin B)+(cos B-sin B)(cos B+sin B)=0,即3-4sin2B=0,sin B=又因为ABC为锐角三角形，所以B=3.2.3现在学习的是第63页，共76页（2）由（1）知B=所以y=2sin2A+cos=2sin2A+cos=2sin2A+cos3，C3A2BA3A2(2A)331sin
29、 2Acos 2A1sin(2A)1.2262AAy.623ABCABC.3 当时，即时 有最大值此时，所以三角形是正三角形现在学习的是第64页，共76页【规律方法】与三角恒等变换交汇问题的解题思路（1）与平面向量交汇：利用平面向量坐标表示、数量积、向量的模、向量的夹角等进行运算，将平面向量问题转化为三角恒等变换问题.（2）与三角形交汇：利用三角形内角和为180度，确定角的范围，有时结合正余弦定理解答.现在学习的是第65页，共76页【加固训练】已知a=(1,cos x),b=( ,sin x),x(0,).（1）若ab，求 的值.（2）若ab，求sin x-cos x的值.13sin xcos
30、 xsin xcos x现在学习的是第66页，共76页【解析】（1）因为ab，所以sin x= cos x，所以tan x= ，131311sin xcos xtan x132.1sin xcos xtan x113 所以现在学习的是第67页，共76页(2)因为ab，所以 +sin xcos x=0，所以sin xcos x=- ，所以（sin x-cos x）2=1-2sin xcos x= ，又因为x（0，）且sin xcos x0，所以x( ，)，所以sin x-cos x0，所以sin x-cos x=131353215.3现在学习的是第68页，共76页转化与化归思想解决三角恒等变换问
31、题【思想诠释】三角恒等变换中应用转化与化归思想的常见类型1.求值(求角):三角中的给值求值或给值求角问题,常需根据三角函数式中角或名或结构的差异,进行弦切间名称的转化;和差角、倍角、半角与单角的转化;三角函数分式与整式,降次与升幂的结构的转化等.现在学习的是第69页，共76页2.研究三角函数的图象与性质:常先将函数的解析式利用三角恒等变换转化为y=Asin(x+)+B(或y=Acos(x+)+B,y=Atan(x+)+B)的形式,进而利用函数y=sinx(或y=cosx,y=tanx)的图象与性质解决问题.现在学习的是第70页，共76页【典例分析】【典题】(2014西安模拟)已知角的顶点在原点
32、，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（-3， ）.（1）求sin 2-tan 的值.（2）若函数f(x)=cos(x-)cos -sin(x-)sin ，求函数y= 上的取值范围.3 223f(2x)2fx0,23在区间现在学习的是第71页，共76页【思想联想】（1）知道终边经过点P，可得的三角函数值，联想到转化与化归思想，将待求式用的三角函数表示，代入求值.（2）题目涉及求y的取值范围，联想到转化与化归思想，将y化成y=Asin(x+)+B结构求解. 现在学习的是第72页，共76页【规范解答】现在学习的是第73页，共76页【能力迁移】已知函数f(x)=（1）求函数f(x)的最小正周期.（2
33、）设,求f 的值.22cos(2x)2sin x.4130,f(),f(),2242262()2现在学习的是第74页，共76页【思想联想】（1）涉及求最小正周期，可联想到转化与化归思想，利用三角恒等变换将f(x)化为Asin(x+)+B的结构求解.（2）根据所给等式，可联想到转化与化归思想，将等式转化为,的三角函数式，进而求得f 的值.()2现在学习的是第75页，共76页【解析】（1）f(x)= cos(2x+ )+2sin2x=cos 2x-sin 2x+(1-cos 2x)=1-sin 2x.所以函数f(x)的最小正周期为T= =.（2）因为f(x)=1-sin 2x,所以2422f()1 sin2()1 sin()1 cos ,24242f()1 sin2()1 sin().262631f()242111 cos ,cos .22 因为，所以所以现在学习的是第76页，共76页