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1、向量自回归和向量误差修正模型 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望向向量量自自回回归归(VAR)是是基基于于数数据据的的统统计计性性质质建建立立模模型型，VARVAR模模模模型型型型把把把把系系系系统统统统中中中中每每每每一一一一个个个个内内内内生生生生变变变变量量量量作作作作为为为为系系系系统统统统中中中中所所所所有有有有内内内内生生生生变变变变量量量量的的的的滞滞滞滞后后后后值值值值的的的的函函函函数数数数来来来来构构构构造造造造模模模模型型型型，从
2、从从从而而而而将将将将单单单单变变变变量量量量自自自自回回回回归归归归模模模模型型型型推推推推广广广广到到到到由由由由多多多多元元元元时时时时间间间间序序序序列列列列变变变变量量量量组组组组成成成成的的的的“向向向向量量量量”自自自自回回回回归归归归模模模模型型型型。VAR模模型型是是处处理理多多个个相相关关经经济济指指标标的的分分析析与与预预测测最最容容易易操操作作的的模模型型之之一一，并并且且在在一一定定的的条条件件下下，多多元元MA和和ARMA模模型型也也可可转转化化成成VAR模模型型，因因此此近近年年来来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。模型受到越来越多的经济工作者的重视。9.
3、19.1向量自回归理论向量自回归理论向量自回归理论向量自回归理论 2VAR(p)模型的数学表达式是模型的数学表达式是(9.1.1)其其中中：yt是是k 维维内内生生变变量量列列向向量量，xt 是是d 维维外外生生变变量量列列向向量量，p是是滞滞后后阶阶数数，T是是样样本本个个数数。k k 维维矩矩阵阵 1，p和和k d维维矩矩阵阵H是是待待估估计计的的系系数数矩矩阵阵。t 是是k 维维扰扰动动列列向向量量，它它们们相相互互之之间间可可以以同同期期相相关关，但但不不与与自自己己的的滞滞后后值值相相关关且且不不与与等等式式右右边边的的变变量量相相关关，假假设设 是是 t 的的协协方方差差矩矩阵阵，
4、是是一一个个(k k)的的正正定定矩阵。式矩阵。式(9.1.1)可以展开表示为可以展开表示为 9.1.19.1.1VARVAR模型的一般表示模型的一般表示模型的一般表示模型的一般表示3(9.1.2)即即含含有有k个个时时间间序序列列变变量量的的VAR(p)模模型型由由k 个个方方程程组组成。成。4其中其中，ci,aij,bij 是要被估计的参数。也可表示成：是要被估计的参数。也可表示成：例例例例如如如如：作作为为VAR的的一一个个例例子子，假假设设工工业业产产量量（IP）和和货货币币供供应应量量（M1）联联合合地地由由一一个个双双变变量量的的VAR模模型型决决定定。内内生生变变量量滞滞后二阶的
5、后二阶的VAR(2)模型是：模型是：5一一 般般 称称 式式(9.1.1)为为 非非非非 限限限限 制制制制 性性性性 向向向向 量量量量 自自自自 回回回回 归归归归 模模模模 型型型型(unrestrictedVAR)。冲冲击击向向量量 t 是是白白噪噪声声向向量量，因因为为 t 没没有结构性的含义，被称为简化形式的冲击向量。有结构性的含义，被称为简化形式的冲击向量。为为了了叙叙述述方方便便，下下面面考考虑虑的的VAR模模型型都都是是不不含含常常数数项项的的非限制向量自回归模型，用下式表示非限制向量自回归模型，用下式表示 或或 (9.1.5)6如如 果果 行行 列列 式式 det(L)的的
6、 根根 都都 在在 单单 位位 圆圆 外外，则则 式式(9.1.5)满满足足稳稳定定性性条条件件，可可以以将将其其表表示示为为无无穷穷阶阶的的向向量量动动平均平均(VMA()形式形式(9.1.6)其中其中7对对VAR模模型型的的估估计计可可以以通通过过最最小小二二乘乘法法来来进进行行，假假如如对对 矩矩阵阵不不施施加加限限制制性性条条件件，由由最最小小二二乘乘法法可可得得 矩矩阵阵的的估计量为估计量为(9.1.7)其中：其中：当当VAR的的参参数数估估计计出出来来之之后后，由由于于 (L)A(L)=Ik，所所以也可以得到相应的以也可以得到相应的VMA()模型的参数估计。模型的参数估计。8由由于
7、于仅仅仅仅有有内内生生变变量量的的滞滞后后值值出出现现在在等等式式的的右右边边，所所以以不不存存在在同同期期相相关关性性问问题题，用用普普通通最最小小二二乘乘法法(OLS)能能得得到到VAR简简化化式式模模型型的的一一致致且且有有效效的的估估计计量量。即即使使扰扰动动向向量量 t 有有同同期期相相关关，OLS仍仍然然是是有有效效的的，因因为为所所有有的的方方程程有有相相同同的的回回归归量量，其其与与广广义义最最小小二二乘乘法法(GLS)是是等等价价的的。注注意意，由由于于任任何何序序列列相相关关都都可可以以通通过过增增加加更更多多的的yt 的的滞滞后后而而被被消消除除，所所以以扰扰动动项项序序
8、列列不不相相关关的的假假设设并并不不要求非常严格。要求非常严格。9例例例例9.19.1我国货币政策效应实证分析的我国货币政策效应实证分析的我国货币政策效应实证分析的我国货币政策效应实证分析的VARVAR模型模型模型模型 为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影响和短期影响及其贡献度，根据我国期影响和短期影响及其贡献度，根据我国1995年年1季度季度2007年年4季度的季度数据，设居民消费价格指数为季度的季度数据，设居民消费价格指数为CPI_90(1990年年1季度季度=1)、居民消费价格指数增长率为、居民消费价格指数增长率为CPI、实、实际际
9、GDP的对数的对数ln(GDP/CPI_90)为为ln(gdp)、实际实际M1的对的对数数ln(M1/CPI_90)为为ln(m1)和实际利率和实际利率rr(一年期存款利一年期存款利率率R-CPI）。）。10利用利用VAR(p)模型对模型对 ln(gdp)，ln(m1)和和rr，3个变量之个变量之间的关系进行实证研究，其中实际间的关系进行实证研究，其中实际GDP和实际和实际M1以对数差分以对数差分的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。11EViewsEViews软件中软件中软件中软件中VARVAR模型的建立和估计模型的建立和估计模型的建立和估计模型
10、的建立和估计 1 1建立建立建立建立VARVAR模型模型模型模型为为了了创创建建一一个个VAR对对象象，应应选选择择Quick/EstimateVAR或或者者选选择择Objects/Newobject/VAR或或者者在在命命令令窗窗口口中中键键入入var。便会出现下图的对话框便会出现下图的对话框(以例以例9.1为例为例)：12可以在对话框内添入相应的信息：可以在对话框内添入相应的信息：可以在对话框内添入相应的信息：可以在对话框内添入相应的信息：(1)(1)选择模型类型（选择模型类型（选择模型类型（选择模型类型（VARTypeVARType）：）：）：）：无无约约束束向向量量自自回回归归（Unr
11、estrictedVAR）或或者者向向量量误误差差修修正正（VectorErrorCorrection）。无无约约束束VAR模模型是指型是指VAR模型的简化式。模型的简化式。(2)(2)在在在在EstimationSampleEstimationSample编辑框中设置样本区间编辑框中设置样本区间编辑框中设置样本区间编辑框中设置样本区间13(3)(3)输入滞后信息输入滞后信息输入滞后信息输入滞后信息在在LagIntervalsforEndogenous编编辑辑框框中中输输入入滞滞后后信信息息，表表明明哪哪些些滞滞后后变变量量应应该该被被包包括括在在每每个个等等式式的的右右端端。这这这这一一一一
12、信信信信息息息息应应应应该该该该成成成成对对对对输输输输入入入入：每每每每一一一一对对对对数数数数字字字字描描描描述述述述一一一一个个个个滞滞滞滞后后后后区区区区间间间间。例例如，滞后对如，滞后对14表表示示用用系系统统中中所所有有内内生生变变量量的的1阶阶到到4阶阶滞滞后后变变量量作作为为等等式式右端的变量。右端的变量。也也可可以以添添加加代代表表滞滞后后区区间间的的任任意意数数字字，但但都都要要成成对对输输入。例如：入。例如：24691212即为用即为用24阶，阶，69阶及第阶及第12阶滞后变量。阶滞后变量。14(4)(4)在在在在EndogenousVariablesEndogenous
13、Variables编辑栏中输入相应的内生变量编辑栏中输入相应的内生变量编辑栏中输入相应的内生变量编辑栏中输入相应的内生变量(5)5)在在在在ExogenousVariablesExogenousVariables编辑栏中输入相应的外生变量编辑栏中输入相应的外生变量编辑栏中输入相应的外生变量编辑栏中输入相应的外生变量EViews允许允许VAR模型中包含外生变量，模型中包含外生变量，其其中中xt 是是d 维维外外生生变变量量向向量量,k d 维维矩矩阵阵H 是是要要被被估估计计的的系系数数矩矩阵阵。可可以以在在ExogenousVariables编编辑辑栏栏中中输输入入相相应应的的外外生生变变量。
14、系统通常会自动给出常数量。系统通常会自动给出常数c 作为外生变量。作为外生变量。其其余余两两个个菜菜单单（Cointegration和和Restrictions）仅仅与与VEC模型有关，将在下面介绍。模型有关，将在下面介绍。152 2VARVAR估计的输出估计的输出估计的输出估计的输出VAR对对象象的的设设定定框框填填写写完完毕毕，单单击击OK按按纽纽，EViews将会在将会在VAR对象窗口显示如下估计结果：对象窗口显示如下估计结果：16表表中中的的每每一一列列对对应应VAR模模型型中中一一个个内内生生变变量量的的方方程程。对对方方程程右右端端每每一一个个变变量量，EViews会会给给出出系系
15、系系数数数数估估估估计计计计值值值值、估估计计系系系系数数数数的的的的标标标标准准准准差差差差(圆圆圆圆括括括括号号号号中中中中)及及t-t-统统统统计计计计量量量量(方方方方括括括括号号号号中中中中)。例例如如，在在D(log(M1_TC_P)的的方方程程中中RR_TC(-1)的系数是的系数是-0.001195。同同时时，有有两两类类回回归归统统计计量量出出现现在在VAR对对象象估估计计输输出的底部：出的底部：17 输输出出的的第第一一部部分分显显示示的的是是每每个个方方程程的的标标准准OLS回回归归统统计计量量。根根据据各各自自的的残残差差分分别别计计算算每每个个方方程程的的结结果果，并并
16、显显示示在对应的列中。在对应的列中。输出的第二部分显示的是输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。模型的回归统计量。18残差的协方差的行列式值残差的协方差的行列式值(自由度调整自由度调整)由下式得出：由下式得出：其其中中m 是是VAR模模型型每每一一方方程程中中待待估估参参数数的的个个数数，不不做做自自由由度度调调整整的的残残差差协协方方差差行行列列式式计计算算中中不不减减m。是是k 维维残残差差列列向向量量。通通过过假假定定服服从从多多元元正正态态（高高斯斯）分分布布计计算算对对数数似似然值：然值：AIC和和SC两个信息准则的计算将在后文详细说明。两个信息准则的计算将在后文详细说明。1
17、9 例例9.1结果如下：结果如下：尽尽管管有有几几个个系系数数不不是是很很显显著著，我我们们仍仍然然选选择择滞滞后后阶阶数数为为2。3个方程拟合优度分别为：个方程拟合优度分别为：可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。20同同时时，为为了了检检验验扰扰动动项项之之间间是是否否存存在在同同期期相相关关关关系系，可可用用残残差差的的同同期期相相关关矩矩阵阵来来描描述述。用用ei表表示示第第i 个个方方程程的的残残差，差，i=1，2，3。其结果如表其结果如表9.1所示。所示。表表表表9.19.1残差的同期相关矩阵残差的同期相关矩阵残差的同期相关矩阵残差的同期相
18、关矩阵 e1e2e3e110.007-0.42 e20.007 10.21 e3-0.42 0.21 121从从表表中中可可以以看看到到实实际际利利率率rr、实实际际M1的的 ln(m1)方方程程和和实实际际GDP的的 ln(gdp)方方程程的的残残差差项项之之间间存存在在的的同同期期相相关关系系数数比比较较高高，进进一一步步表表明明实实际际利利率率、实实际际货货币币供供给给量量(M1)和和实实际际GDP之之间间存存在在着着同同期期的的影影响响关关系系，尽尽管管得得到到的的估估计计量量是是一一致致估估计计量量，但但是是在在本本例例中中却却无无法刻画它们之间的这种同期影响关系。法刻画它们之间的这
19、种同期影响关系。229.1.29.1.2结构结构结构结构VARVAR模型模型模型模型(SVAR)SVAR)在在式式(9.1.1)或或式式(9.1.3)中中，可可以以看看出出，VAR模模型型并并没没有有给给出出变变量量之之间间当当期期相相关关关关系系的的确确切切形形式式，即即在在模模型型的的右右端端不不含含有有当当期期的的内内生生变变量量，而而这这些些当当期期相相关关关关系系隐隐藏藏在在误误差差项项的的相相关关结结构构之之中中，是是无无法法解解释释的的，所所以以将将式式(9.1.1)和和式式(9.1.3)称称为为VAR模模型型的的简简化化形形式式。本本节节要要介介绍绍的的结结构构VAR模模型型(
20、StructuralVAR，SVAR)，实实际际是是指指VAR模模型型的的结结构构式式，即即在在模模型型中中包包含变量之间的当期关系。含变量之间的当期关系。231 1两变量的两变量的两变量的两变量的SVARSVAR模型模型模型模型为为了了明明确确变变量量间间的的当当期期关关系系，首首先先来来研研究究两两变变量量的的VAR模模型型结结构构式式和和简简化化式式之之间间的的转转化化关关系系。如如含含有有两两个个变变量量(k=2)、滞滞后后一一阶阶(p=1)的的VAR模模型型结结构构式式可可以以表表示示为下式为下式(9.1.8)24在模型在模型(9.1.8)中假设：中假设：（1）随随机机误误差差uxt
21、 和和uzt是是白白噪噪声声序序列列，不不失失一一般般性性，假设方差假设方差 x2=z2=1；（2）随机误差）随机误差uxt 和和uzt 之间不相关，之间不相关，cov(uxt,uzt)=0。式式(9.1.8)一一 般般 称称 为为 一一一一 阶阶阶阶 结结结结 构构构构 向向向向 量量量量 自自自自 回回回回 归归归归 模模模模 型型型型(SVAR(1)SVAR(1)。25它它是是一一种种结结构构式式经经济济模模型型，引引入入了了变变量量之之间间的的作作用用与与反反馈馈作作用用，其其中中系系数数c12表表示示变变量量zt 的的单单位位变变化化对对变变量量xt 的的即即即即时时时时作作作作用用
22、用用，21表表示示xt-1的的单单位位变变化化对对zt 的的滞滞滞滞后后后后影影影影响响响响。虽虽然然uxt和和uzt是是单单纯纯出出现现在在xt 和和zt 中中的的随随机机冲冲击击，但但如如果果c21 0，则则作作用用在在xt 上上的的随随机机冲冲击击uxt通通过过对对xt 的的影影响响，能能够够即即时时传传到到变变量量zt 上上，这这是是一一种种间间间间接接接接的的的的即即即即时时时时影影影影响响响响；同同样样，如如果果c12 0，则则作作用用在在zt 上上的的随随机机冲冲击击uzt也也可可以以对对xt 产产生生间间接接的的即即时时影影响响。冲冲击击的的交交互互影影响响体体现现了变量作用的
23、双向和反馈关系。了变量作用的双向和反馈关系。26为为了了导导出出VAR模模型型的的简简化化式式方方程程，将将上上述述模模型型表表示示为为矩阵形式矩阵形式 该模型可以简单地表示为该模型可以简单地表示为 (9.1.9)27假设假设C0可逆，可导出简化式方程为可逆，可导出简化式方程为其中其中 (9.1.10)28从从而而可可以以看看到到，简简化化式式扰扰动动项项 t 是是结结构构式式扰扰动动项项ut 的的线线性性组组合合，因因此此代代表表一一种种复复合合冲冲击击。因因为为uxt和和uzt 是是不不相相关关的的白白噪噪声声序序列列，则则可可以以断断定定上上述述 1t 和和 2t也也是是白白噪噪声声序序
24、列，并且均值和方差为列，并且均值和方差为29同期的同期的 1t 和和 2t 之间的协方差为之间的协方差为从从式式(9.1.11)可可以以看看出出当当c120或或c210时时，VAR模模型型简简化化式式中中的的扰扰动动项项不不再再像像结结构构式式中中那那样样不不相相关关，正正如如例例9.1中中的的表表9.1所所显显示示的的情情况况。当当当当 c c1212=c c2121=0 0时时时时，即即即即变变变变量量量量之之之之间间间间没没没没有有有有即即即即时时时时影影影影响响响响，上上上上述述述述协协协协方方方方差差差差为为为为0 0，相相相相当当当当于于于于对对对对C C0 0矩矩矩矩阵施加约束。
25、阵施加约束。阵施加约束。阵施加约束。(9.1.11)302 2多变量的多变量的多变量的多变量的SVARSVAR模型模型模型模型 下下面面考考虑虑k个个变变量量的的情情形形，p阶阶结结构构向向量量自自回回归归模模型型SVAR(p)为为(9.1.13)其中其中：,31可以将式可以将式(9.1.13)写成滞后算子形式写成滞后算子形式(9.1.14)其其中中：C(L)=C0 1L 2L2 pLp，C(L)是是滞滞后后算算子子L的的k k 的的参参数数矩矩阵阵，C0 Ik。需需要要注注意意的的是是，本本书书讨讨论论的的SVAR模模型型，C0 矩矩阵阵均均是是主主对对角角线线元元素素为为1的的矩矩阵阵。如
26、如果果C0是是一一个个下下三三角角矩矩阵阵，则则SVAR模模型型称称为为递递归归的的SVAR模型。模型。32不不失失一一般般性性，在在式式(9.1.14)假假定定结结构构式式误误差差项项(结结构构冲冲击击)ut 的的方方差差-协协方方差差矩矩阵阵标标准准化化为为单单位位矩矩阵阵Ik。同同样样，如如果果矩矩 阵阵 多多 项项 式式 C(L)可可 逆逆，可可 以以 表表 示示 出出 SVAR的的 无无 穷穷 阶阶 的的VMA()形式形式其中：其中：(9.1.15)33式式(9.1.15)通通常常称称为为经经济济模模型型的的最最最最终终终终表表表表达达达达式式式式，因因为为其其中中所所有有内内生生变
27、变量量都都表表示示为为ut的的分分布布滞滞后后形形式式。而而且且结结构构冲冲击击ut 是是不不可可直直接接观观测测得得到到，需需要要通通过过yt 各各元元素素的的响响应应才才可可观观测测到到。可可以以通通过过估估计计式式(9.1.5)，转转变变简简化化式式的误差项得到结构冲击的误差项得到结构冲击ut。从式从式(9.1.6)和式和式(9.1.15)，可以得到，可以得到(9.1.16)34上上式式对对于于任任意意的的t 都都是是成成立立的的，称称为为典典型型的的SVAR模模型。由于型。由于A0=Ik，可得可得式式(9.1.17)两端平方取期望，可得两端平方取期望，可得 所所以以我我们们可可以以通通
28、过过对对B0施施加加约约束束来来识识别别SVAR模模型型。由式由式(9.1.15)，有，有(9.1.17)(9.1.18)359.29.2结构结构结构结构VAR(SVAR)VAR(SVAR)模型的识别条件模型的识别条件模型的识别条件模型的识别条件 前前面面已已经经提提到到，在在VAR简简化化式式中中变变量量间间的的当当期期关关系系没没有有直直接接给给出出，而而是是隐隐藏藏在在误误差差项项的的相相关关关关系系的的结结构构中中。自自Sims的的研研究究开开始始，VAR模模型型在在很很多多研研究究领领域域取取得得了了成成功功，在在一一些些研研究究课课题题中中，VAR模模型型取取代代了了传传统统的的联
29、联立立方方程程模模型型，被被证证实实为为实实用用且且有有效效的的统统计计方方法法。然然而而，VAR模模型型存存在在参参数数过过多多的的问问题题，如如式式(9.1.1)中中，一一共共有有k(kp+d)个个参参数数，只只有有所所含含经经济济变变量量较较少少的的VAR模模型型才才可可以通过以通过OLS和极大似然估计得到满意的估计结果。和极大似然估计得到满意的估计结果。36为为了了解解决决这这一一参参数数过过多多的的问问题题，计计量量经经济济学学家家们们提提出出了了许许多多方方法法。这这些些方方法法的的出出发发点点都都是是通通过过对对参参数数空空间间施施加加约约束束条条件件从从而而减减少少所所估估计计
30、的的参参数数。SVAR模模型型就就是这些方法中较为成功的一种。是这些方法中较为成功的一种。9.2.19.2.1VARVAR模型的识别条件模型的识别条件模型的识别条件模型的识别条件 在在经经济济模模型型的的结结构构式式和和简简化化式式之之间间进进行行转转化化时时，经经常常遇遇到到模模型型的的识识别别性性问问题题，即即能能否否从从简简化化式式参参数数估计得到相应的结构式参数。估计得到相应的结构式参数。37 对于对于k 元元p 阶简化阶简化VAR模型模型利用极大似然方法，需要估计的参数个数为利用极大似然方法，需要估计的参数个数为(9.2.1)(9.2.2)而对于相应的而对于相应的k 元元p 阶的阶的
31、SVAR模型模型来说，需要估计的参数个数为来说，需要估计的参数个数为 (9.2.4)(9.2.3)38要要想想得得到到结结构构式式模模型型惟惟一一的的估估计计参参数数，要要求求识识别别的的阶阶条条件件和和秩秩条条件件，即即即即简简简简化化化化式式式式的的的的未未未未知知知知参参参参数数数数不不不不比比比比结结结结构构构构式式式式的的的的未未未未知知知知参参参参数数数数多多多多(识识别别的的阶阶条条件件和和秩秩条条件件的的详详细细介介绍绍请请参参见见第第12章章的的“12.1.2联联立立方方程程模模型型的的识识别别”)。因因此此，如如果果不不对对结结构式参数加以限制，将出现模型不可识别的问题。构
32、式参数加以限制，将出现模型不可识别的问题。对对于于k元元p阶阶SVAR模模型型，需需要要对对结结构构式式施施加加的的限限制制条条件件个个数数为为式式(9.2.4)和和式式(9.2.2)的的差差，即即施施加加k(k-1)/2个个限限制制条条件件才才能能估估计计出出结结构构式式模模型型的的参参数数。这这些些约约束束条条件件可可以是同期以是同期(短期短期)的，也可以是长期的。的，也可以是长期的。399.2.29.2.2SVARSVAR模型的约束形式模型的约束形式模型的约束形式模型的约束形式 为为了了详详细细说说明明SVAR模模型型的的约约束束形形成成，从从式式(9.1.16)和式和式(9.1.17)
33、出发，可以得到出发，可以得到其其中中A(L)、B(L)分分别别是是VAR模模型型和和SVAR模模型型相相应应的的VMA()模型的滞后算子式，模型的滞后算子式，B0=C0-1，这就隐含着这就隐含着 (9.2.5),i=0，1，2，(9.2.6)40 因因此此，只只需需要要对对B0进进行行约约束束，就就可可以以识识别别整整个个结结构构系系统统。如如果果B0是是已已知知的的，可可以以通通过过估估计计式式(9.1.17)和和式式(9.2.6)非非常常容容易易的的得得到到滞滞后后多多项项式式的的结结构构系系数数和和结结构构新新息息ut。在在有有关关SVAR模模型型的的文文献献中中，这这些些约约束束通通常
34、常来来自自于于经经济济理理论论，表表示示经经济济变变量量和和结结构构冲冲击击之之间间有意义的长期和短期关系。有意义的长期和短期关系。411.1.短期约束短期约束短期约束短期约束 短短期期约约束束通通常常直直接接施施加加在在矩矩阵阵B0上上，表表示示经经济济变变量量对对结结构构冲冲击击的的同同期期响响应应，常常见见的的可可识识别别约约束束是是简简单单的的0约束排除方法。约束排除方法。（1 1）通过通过通过通过Cholesky-Cholesky-分解建立递归形式的短期约束分解建立递归形式的短期约束分解建立递归形式的短期约束分解建立递归形式的短期约束 Sims提提出出使使B0矩矩阵阵的的上上三三角角
35、为为0的的约约束束方方法法，这这是是一一个个简简单单的的对对协协方方差差矩矩阵阵 的的Cholesky-分分解解。下下面面，首首先介绍先介绍Cholesky-分解的基本思想分解的基本思想 42Cholesky(Cholesky(乔利斯基乔利斯基乔利斯基乔利斯基)分解分解分解分解对对于于任任意意实实对对称称正正定定矩矩阵阵 ，存存在在惟惟一一一一个个主主对对角角线线元元素素为为1的的下下三三角角形形矩矩阵阵G 和和惟惟一一一一个个主主对对角角线线元元素素为为正正的对角矩阵的对角矩阵Q 使得：使得：利用这一矩阵利用这一矩阵G 可以构造一个可以构造一个k 维向量维向量ut，构造方法为构造方法为ut=
36、G-1 t，设设 (9.2.7)43则则 由由于于Q是是对对角角矩矩阵阵，可可得得ut 的的元元素素互互不不相相关关，其其（j,j）元元素素是是ujt 的的方方差差。令令Q1/2表表示示其其（j,j）元元素素为为ujt 标准差的对角矩阵。注意到式标准差的对角矩阵。注意到式(9.2.7)可写为可写为(9.2.8)其其中中P=GQ1/2是是一一个个下下三三角角矩矩阵阵。式式(9.2.8)被被称称为为Cholesky(Cholesky(乔利斯基乔利斯基乔利斯基乔利斯基)分解。分解。分解。分解。44SimsSims施加约束的基本过程是：施加约束的基本过程是：施加约束的基本过程是：施加约束的基本过程是：
37、由由于于 是是正正定定矩矩阵阵，所所以以可可得得到到Cholesky因因子子P，即即PP =。而而且且，当当给给定定矩矩阵阵 时时，Cholesky因因子子P是惟一确定的。是惟一确定的。对于对于VAR模型模型，其其中中VWN(0k,)表表示示均均值值为为0k，协协方方差差矩矩阵阵为为 的的白白噪噪声向量，这里声向量，这里0k表示表示k 维零向量。维零向量。上式两边都乘以上式两边都乘以P 1，得到得到45其中：其中：ut=P-1 t。由于由于 (9.2.9)(9.2.10)所所以以ut 是是协协方方差差为为单单位位矩矩阵阵的的白白噪噪声声向向量量，即即ut VMN(0k,Ik)。46在在向向量量
38、 t 中中的的各各元元素素可可能能是是当当期期相相关关的的，而而向向量量ut 中中的的各各元元素素不不存存在在当当期期相相关关关关系系，即即这这些些随随机机扰扰动动是是相相互互独独立立的的。这这这这些些些些相相相相互互互互独独独独立立立立的的的的随随随随机机机机扰扰扰扰动动动动可可可可以以以以被被被被看看看看作作作作是是是是导导导导致致致致内内内内生生生生变量向量变量向量变量向量变量向量 y yt t 变动的最终因素。变动的最终因素。变动的最终因素。变动的最终因素。由式由式(9.2.9)还可以得出还可以得出其中其中,(9.2.11)47很很明明显显，C0是是下下三三角角矩矩阵阵。这这这这意意意
39、意味味味味着着着着变变变变量量量量间间间间的的的的当当当当期期期期关关关关系系系系可可可可以以以以用用用用递递递递归归归归的的的的形形形形式式式式表表表表示示示示出出出出来来来来，得得到到的的正正交交VMA()表表示示(或或Wold表示表示)形式为形式为其其中中：Bi=Ai P，B0=P。注注意意到到B0=P，所所以以冲冲击击ut 对对yt 中的元素的当期冲击效应是由中的元素的当期冲击效应是由Cholesky因子因子P 决定的。决定的。(9.2.12)48更更需需要要注注意意的的是是，由由于于 P 是是下下三三角角矩矩阵阵，由由式式(9.2.9)可可知知，这这要要求求向向量量yt 中中的的y2
40、t，ykt 的的当当期期值值对对第第一一个个分分量量y1t 没没有有影影响响，因因此此CholeskyCholesky分分分分解解解解因因因因子子子子 P P 的的的的决决决决定定定定和和和和VARVAR模模模模型型型型中中中中变变变变量量量量的的的的次次次次序序序序有有有有关关关关，而而且且在在给给定定变变量量次次序序的模型中，的模型中，Cholesky分解因子矩阵分解因子矩阵P 是惟一的。是惟一的。综综上上所所述述，可可知知只只要要式式(9.1.13)中中的的C0是是主主对对角角线线元元素素为为1的的下下三三角角矩矩阵阵，则则SVAR模模型型是是一一种种递递归归模模型型，而且是恰好识别的。
41、而且是恰好识别的。49 （2 2）依据经济理论假设的短期约束）依据经济理论假设的短期约束）依据经济理论假设的短期约束）依据经济理论假设的短期约束 但但是是，一一般般短短期期约约束束的的施施加加不不必必是是下下三三角角形形式式的的。只要满足式只要满足式(9.1.18)：约约束束可可以以施施加加给给B0的的任任何何元元素素。同同时时，由由式式(9.1.15)可可知知，SVAR模模型型中中的的同同期期表表示示矩矩阵阵C0是是B0的的逆逆，即即B0=C0-1，因因此此也也可可以以通通过过对对C0施施加加限限制制条条件件实实现现短短期约束。期约束。502.2.长期约束长期约束长期约束长期约束关关于于长长
42、期期约约束束的的概概念念最最早早是是由由Blanchard和和Quah在在1989年年提提出出的的，是是为为了了识识别别模模型型供供给给冲冲击击对对产产出出的的长长期期影影响响。施施加加在在结结构构VMA()模模型型的的系系数数矩矩阵阵Bi(i=1，2，)上上的的约约束束通通常常称称为为长长期期约约束束。最最常常见见的的长长期期约约束束的的形形式式是是对对 i=0Bi的的第第i 行行第第j 列列元元素素施施加加约约束束，典典型型的的是是0约约束束形形式，表示第式，表示第i 个变量对第个变量对第j 个变量的累积乘数影响为个变量的累积乘数影响为0。关关于于长长期期约约束束更更详详细细的的说说明明及
43、及其其经经济济含含义义可可参参考考9.4节节的脉冲响应函数。的脉冲响应函数。51在在在在EViewsEViews中如何估计中如何估计中如何估计中如何估计SVARSVAR模型模型模型模型在在VAR估估计计窗窗口口中中选选择择：Procs/EstimateStructuralFactorization即可。下面对这一操作进行详细说明：即可。下面对这一操作进行详细说明：假设假设在在EViews中中SVAR模型为：模型为：(9.8.3)其其中中et，ut 是是k维维向向量量，et 是是简简化化式式的的残残差差，相相当当于于前前文文的的 t，而而ut 是是结结构构新新息息(结结构构式式残残差差)。A、B
44、是是待待估估计计的的k k矩阵。简化式残差矩阵。简化式残差et 的协方差矩阵为的协方差矩阵为 52例例例例9.29.2基于基于基于基于SVARSVAR模型的货币政策效应的实证分析模型的货币政策效应的实证分析模型的货币政策效应的实证分析模型的货币政策效应的实证分析货货币币政政策策主主要要指指中中央央银银行行通通过过调调整整利利率率和和货货币币供供应应量量，影影响响投投资资、社社会会需需求求及及总总支支出出，进进而而对对经经济济增增长长产产生生作作用用。凯凯恩恩斯斯学学派派和和货货币币主主义义学学派派都都承承认认货货币币供供应应量量对对经经济济有有影影响响，虽虽然然途途径径不不一一样样，但但都都是
45、是诱诱发发经经济济波波动动的的主主要要原原因因。为为了了验验证证利利率率和和货货币币供供给给的的冲冲击击对对经经济济波波动动的的影影响响，例例9.1使使用用了了VAR模模型型，但但是是其其缺缺点点是是不不能能刻刻画画变变量量之之间间的的同同期期相相关关关关系系，而而这这种种同同期期相相关关关关系系隐隐藏藏在在扰扰动动项项变变动动中中，因因此此可可以以通通过过本本节节介介绍绍的的SVAR模模型型来来识识别别，这这就就涉涉及及对对模模型型施施加加约约束束的的问问题题。首首先先，根根据据式式（9.1.19）建建立立3变变量量的的SVAR(2)模模型型，其其形式如下：形式如下：t=1，2，T(9.2.
46、13)53其中其中A、B参数矩阵及向量分别为参数矩阵及向量分别为，(9.2.14),其中其中 t 是是VAR模型的扰动项，模型的扰动项，u1t、u2t和和u3t分别表示作用在分别表示作用在实际利率实际利率rr、ln(m1)和和ln(gdp)上的结构式冲击，即结构式上的结构式冲击，即结构式扰动项，扰动项，utVMN(0k,Ik)。一般而言，简化式扰动项。一般而言，简化式扰动项 t 是结是结构式扰动项构式扰动项 ut 的线性组合，因此代表一种复合冲击。的线性组合，因此代表一种复合冲击。54模型中有模型中有3个内生变量，因此至少需要施加个内生变量，因此至少需要施加2k2 k(k+1)/2=12个约束
47、才能使得个约束才能使得SVAR模型满足可识别条件。本例中约束模型满足可识别条件。本例中约束B矩阵（即矩阵（即B0矩阵）是单位矩阵，矩阵）是单位矩阵，A矩阵（即矩阵（即A0矩阵）对角线矩阵）对角线元素为元素为1，相当于施加了，相当于施加了k2+k个约束条件。根据经济理论，个约束条件。根据经济理论，本例再施加如下两个约束条件：本例再施加如下两个约束条件：(1)实际利率对当期货币供给量的变化没有反应，即实际利率对当期货币供给量的变化没有反应，即a12=0；(2)实际利率对当期实际利率对当期GDP的变化没有反应，即的变化没有反应，即a13=0。551.1.用矩阵模式表示的短期约束用矩阵模式表示的短期约
48、束用矩阵模式表示的短期约束用矩阵模式表示的短期约束在在许许多多问问题题中中，对对于于A、B矩矩阵阵的的可可识识别别约约束束是是简简单单的的排排除除0约约束束。在在这这种种情情况况下下，可可以以通通过过创创建建矩矩阵阵指指定定A、B的的约约束束，矩矩阵阵中中想想估估计计的的未未知知元元素素定定义义为为缺缺省省值值NA，在在矩阵中所有非缺省的值被固定为某一指定的值。矩阵中所有非缺省的值被固定为某一指定的值。例例例例如如如如：对对于于例例9.2，(9.2.14)的的简简化化式式扰扰动动项项和和结结构构式式扰扰动动项项的的关关系系为为A t=ut，对对于于k=3个个变变量量的的SVAR模模型型，其矩阵
49、模式可定义为：其矩阵模式可定义为：56一一旦旦创创建建了了矩矩阵阵，从从VAR对对象象窗窗口口的的菜菜单单中中选选择择Procs/EstimateStructuralFactorization，在在下下图图所所示示的的SVAROptions的的对对话话框框中中，击击中中Matrix按按钮钮和和Short-RunPattern按按钮钮，并并在在相相应应的的编编辑辑框框中中填填入入模模版版矩阵的名字。矩阵的名字。572.2.用文本形式表示的短期约束用文本形式表示的短期约束用文本形式表示的短期约束用文本形式表示的短期约束 对对于于更更一一般般的的约约束束，可可用用文文本本形形式式指指定定可可识识别别
50、的的约约束。在文本形式中，以一系列的方程表示关系：束。在文本形式中，以一系列的方程表示关系：Aet=But并并用用特特殊殊的的记记号号识识别别et 和和ut 向向量量中中的的每每一一个个元元素素。A、B矩阵中被估计的元素必须是系数向量中被指定的元素。矩阵中被估计的元素必须是系数向量中被指定的元素。例例例例如如如如：像像上上例例所所假假定定的的一一样样，对对于于有有3个个变变量量的的SVAR模模型型，约约束束A矩矩阵阵为为C0矩矩阵阵，B矩矩阵阵是是一一对对角角矩矩阵阵。在在这这些些约约束束条条件件下下，Aet=ut的的关关系系式式可可以以写写为为下下面面的的形形式。式。58为为了了以以文文本本