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1、关于曲线的凹凸性和渐近线第一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月一、曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动
2、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义1*:第五张，PPT共五十四页，创作于2022年6月对于曲线的弯曲方向，我们对于曲线的弯曲方向，我们换一个角度来看换一个角度来看曲线上任一点的切线位于曲线上任一点的切线位于曲线的上方曲线的上方曲线上任一点的切线位曲线上任一点的切线位于曲线的下方于曲线的下方机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第六张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 我们可以
3、证明：定义我们可以证明：定义1 1和定义和定义2 2是等价的。是等价的。第八张，PPT共五十四页，创作于2022年6月定理定理1 1（凹凸性的充分条件）：（凹凸性的充分条件）：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第九张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明1 1：用定义用定义1 1证证第十张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由定义
4、由定义2，(1)成立。成立。同理可以证明同理可以证明(2)。证明证明2 2：用定义用定义2 2证证第十二张，PPT共五十四页，创作于2022年6月推论：推论：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十三张，PPT共五十四页，创作于2022年6月例例1 1：解：解：注意到注意到,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十四张，PPT共五十四页，创作于2022年6月例例2 2解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1)(2)第十五张，PPT共五十四页，创作于2022年6月二、曲线的拐点二、曲线的拐点1 1、定义、定义注意注意
5、:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。2 2、拐点的求法、拐点的求法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十六张，PPT共五十四页，创作于2022年6月证证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十七张，PPT共五十四页，创作于2022年6月例例3 3：解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十八张，PPT共五十四页，创作于2022年6月注意注意:例例4 4：解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十九张，PPT共五十四页，创作于
6、2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求函数求函数 f(x)的拐点的步骤：的拐点的步骤：注意：注意：例例第二十张，PPT共五十四页，创作于2022年6月定理定理4 4证明：证明：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月例例5 5：解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十二张，PPT共五十四页，创作于2022年6月三、渐近线三、渐近线定义定义:1.1.铅直渐近线铅直渐近线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十三张，PPT共五十四页
7、，创作于2022年6月例如例如有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十四张，PPT共五十四页，创作于2022年6月2.2.水平渐近线水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十五张，PPT共五十四页，创作于2022年6月3.3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法:显然，水平渐近线是斜渐近线的特例。显然，水平渐近线是斜渐近线的特例。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十六张，PPT共五十四页，创作于2022年6月证明：证明：由渐近
8、线的定义，有由渐近线的定义，有要使此时成立，必须要使此时成立，必须机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十七张，PPT共五十四页，创作于2022年6月注意注意:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二十八张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6 6解解第二十九张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十张，PPT共五十四页，创作于2022年6月例例7 7：确定常数确定常数 a,b,使使解解:由条件知，由条件知，第三
9、十一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月四、函数作图四、函数作图利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步第三步第三步机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 步骤：步骤：第三十二张，PPT共五十四页，创作于2022年6月第五步第五步第四步第四步 求曲线的渐近线；求曲线的渐近线；第七步第七步第六步第六步 作图。作图。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十三张，PPT共五十四页，创作于2022年6月例例8 8解解非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束
10、结束 第三十四张，PPT共五十四页，创作于2022年6月列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十五张，PPT共五十四页，创作于2022年6月作图作图机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十六张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十七张，PPT共五十四页，创作于2022年6月例例9 9解解无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间列表确
11、定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数没有渐近线。函数没有渐近线。第三十八张，PPT共五十四页，创作于2022年6月拐点拐点极大值极大值极小值极小值机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三十九张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十张，PPT共五十四页，创作于2022年6月1 1、凹凸性的定义：两种定义；、凹凸性的定义：两种定义；用函数二阶导数等于零或二阶导数不存在的点，将用函数二阶导数等于零或二阶导数不存在的点，将
12、函数的定义域分成若干个区间，由二阶导数的符号判定函数的定义域分成若干个区间，由二阶导数的符号判定函数在各个区间的凹凸性，再由凹凸性的改变判别拐点函数在各个区间的凹凸性，再由凹凸性的改变判别拐点;2 2、凹凸性的判别和拐点的求法：、凹凸性的判别和拐点的求法：3 3、渐近线的求法：水平渐近线和斜渐近线；、渐近线的求法：水平渐近线和斜渐近线；机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 五、小结五、小结4 4、函数作图。、函数作图。第四十一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月作业作业机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 习题习题3-4(P188)1(3)(6
13、)；2(2)；3；5；7(2)(6)；8；11(2)；12 第四十二张，PPT共五十四页，创作于2022年6月解：解：例例机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习第四十三张，PPT共五十四页，创作于2022年6月解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十四张，PPT共五十四页，创作于2022年6月 ;.的凹区间是的凹区间是凸区间是凸区间是拐点为拐点为提示提示:及及 ;第五节第五节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.曲线曲线第四十五张，PPT共五十四页，创作于2022年6月4.曲线曲线(A)没有渐近线；没
14、有渐近线；(B)仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十六张，PPT共五十四页，创作于2022年6月5.求证曲线求证曲线 有位于一直线的三个拐点有位于一直线的三个拐点.证明：证明：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十七张，PPT共五十四页，创作于2022年6月令令得得从而三个拐点为从而三个拐点为因为因为所以三个拐点共线所以三个拐点共线.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第
15、四十八张，PPT共五十四页，创作于2022年6月6、解解偶函数偶函数,图形关于图形关于y 轴对称轴对称.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四十九张，PPT共五十四页，创作于2022年6月拐点拐点极大值极大值列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月备用题备用题 求笛卡儿叶形线求笛卡儿叶形线的渐近线的
16、渐近线 .解解:令令 y=t x,代入原方程得曲线的参数方程代入原方程得曲线的参数方程 :因因所以笛卡儿叶形线有斜渐近线所以笛卡儿叶形线有斜渐近线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十二张，PPT共五十四页，创作于2022年6月笛卡儿叶形线笛卡儿叶形线参数的几何意义参数的几何意义:图形在第四象限图形在第四象限图形在第二象限图形在第二象限图形在第一象限图形在第一象限点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五十三张，PPT共五十四页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第五十四张，PPT共五十四页，创作于2022年6月