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1、第五节第五节 曲线的凹凸性曲线的凹凸性、拐点与渐近线拐点与渐近线一一.曲线的凹凸性曲线的凹凸性定义定义1 直观定义直观定义.注注(1)凹凹凸凸(2)凹也称上凹、下凸凹也称上凹、下凸凸也称上凸、下凹凸也称上凸、下凹.定义定义2 如果在某个区间内如果在某个区间内,曲线位于其上曲线位于其上任一点切线的上方任一点切线的上方,则称该曲线在则称该曲线在这个区间内是凹曲线这个区间内是凹曲线;如果在某个区间内如果在某个区间内,曲线位于其上曲线位于其上任一点切线的下方任一点切线的下方,则称该曲线在则称该曲线在这个区间内是凸曲线这个区间内是凸曲线;定义定义3 如果对某区间内任意两点如果对某区间内任意两点有有则称曲
2、线为凹曲线则称曲线为凹曲线;则称曲线为凸曲线则称曲线为凸曲线.如果对某区间内任意两点如果对某区间内任意两点有有如果如果函数函数在区间在区间内可导内可导,则曲线则曲线在区间在区间内凹内凹(凸凸)导函数导函数在区间在区间内单调增加内单调增加(减少减少).证证条件条件:,结论结论:曲曲线线曲线曲线:曲线上任一点曲线上任一点处的切线处的切线:即即只需证只需证定理定理4.10单调增加单调增加,对对只需证只需证设设所以所以故曲线为凹曲线故曲线为凹曲线.(条件条件:曲线曲线结论结论:)设设是是内任意两点内任意两点曲线上过曲线上过处的切线处的切线:曲线上过曲线上过处的切线处的切线:因曲线因曲线故故从而从而从而
3、从而(1)式与式与(2)式相加得式相加得故故从而从而单调增加单调增加.设设函数函数在区间在区间内有内有二阶导数二阶导数,那么那么如果如果时时,恒有恒有则曲线则曲线在区间在区间内是凹曲线内是凹曲线;如果如果时时,恒有恒有则曲线则曲线在区间在区间内是凸曲线内是凸曲线.定理定理4.11例例1讨论曲线讨论曲线的凹凸性的凹凸性.解解的定义域为的定义域为令令得得补充补充:07年考研真题年考研真题10分分设函数设函数由方程由方程确定确定,试判断曲线试判断曲线在点在点附近的凹凸性附近的凹凸性.解解在点在点附近是凸的附近是凸的.利用凹凸性证明不等式利用凹凸性证明不等式例例2试证明试证明时时,有有(99年考题年考
4、题)证明证明所以曲线是凸的所以曲线是凸的又又故故时时即即定义定义 曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点.如果如果为曲线为曲线的拐点的拐点,则必有则必有或或不存在不存在.不存在不存在注注 (1)一般来说圈中的点为一般来说圈中的点为有限多个有限多个.(2)拐点是曲线上的点拐点是曲线上的点,表表示拐点要用两个坐标示拐点要用两个坐标.二二.曲线的拐点曲线的拐点拐点定理拐点定理例例3 讨论曲线讨论曲线拐点拐点.解解的定义域为的定义域为令令得得拐点拐点拐点拐点例例4讨论曲线讨论曲线的凹凸性与拐点的凹凸性与拐点解解的定义域为的定义域为令令得得另另不存在不存在三三.曲线的渐近线曲线
5、的渐近线定义定义如果曲线上的动点如果曲线上的动点沿着曲线无限沿着曲线无限地远离原点时地远离原点时,点点与某一固定直线与某一固定直线的距离趋于零的距离趋于零,则称该直线为曲线的则称该直线为曲线的渐近线渐近线.1.水平渐近线水平渐近线2.垂直渐近线或铅垂渐近线垂直渐近线或铅垂渐近线3.斜渐近线斜渐近线渐近线渐近线1.水平渐近线水平渐近线是水平渐近线是水平渐近线或或或或例例5 求曲线求曲线的水平渐近线的水平渐近线.解解 因因水平渐近线为水平渐近线为2.垂直渐近线或铅垂渐近线垂直渐近线或铅垂渐近线是铅垂渐近线是铅垂渐近线或或是是的间断点的间断点例例4 求曲线求曲线的铅垂渐近线的铅垂渐近线.解解 因因铅垂渐近线为铅垂渐近线为是是的间断点的间断点,且且3.斜渐近线斜渐近线是斜渐近线是斜渐近线或或或或设设又又故故从而从而若若则则讨讨论论例例6 求曲线求曲线的斜渐近线的斜渐近线.解解是斜渐近线是斜渐近线.是水平渐近线是水平渐近线或或是铅垂渐近线是铅垂渐近线或或是是的间断点的间断点()或或是斜渐近线是斜渐近线渐近线总结渐近线总结:练习练习 求曲线求曲线的渐近线的渐近线.解解故无水平渐近线故无水平渐近线.(1)(2)故有垂直渐近线故有垂直渐近线故斜渐近线为故斜渐近线为(3)练习练习 求曲线求曲线的渐近线的渐近线.解解作业题作业题习题四习题四(A)29、30、31、32.