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1、 第21讲:曲线系理论及其应用 173 第21讲:曲线系理论及其应用 在一个关于x,y的二元方程中,如果它含有一个不定的常数,赋于这个常数一些不同的值,可以得到一系列具有某种共同性质的曲线(包括直线),它们的全体组成的集合叫做具有某种共同性质曲线系. 利用曲线系解题,体现了参数变换的数学观点、整体处理的解题策略,以及“基本量”和“待定系数”的解题方法.这种观点、策略、方法的三位一体,能使解题水平更高、思维更活.下面介绍几类重要的曲线系.定理1:过曲线C1:f1(x,y)=0与C2:f2(x,y)=0的交点的曲线系方程为:f1(x,y)+f2(x,y)=0.定理2:设二次曲线C:ax2+cy2+
2、dx+ey+f=0与直线mx+ny+p=0有两个不同的交点,则过这两点的圆系方程为:(ax2+cy2+dx+ey+f)+(mx+ny+p)(mx-ny+t)=0,这里=,t为任意实数.定理3:过圆M:x2+y2+2dx+2ey+f=0外一点P(x0,y0)作圆M的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,则双切线PA与PB构成的曲线方程为:(x02+y02+2dx0+2ey0+f)(x2+y2+2dx+2ey+f)-x0x+y0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f2=0,即包含切线PA:a1x+b1y+c=0与PB:a2x+b2y+c2=0的方程.定理4:设二次曲线C:ax2+bxy+cy2+d
3、x+ey+f=0与直线l1:m1x+n1y+p1=0,l2:m2x+n2y+p2=0都有公共点,则过这些公共点的二次曲线系方程为:(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)+(m1x+n1y+p1)(m2x+n2y+p2)=0.例1:过曲线交点的直线系.始源问题:(2019年北大等十三校联考(北约)自主招生数学试题)求过抛物线y=2x2-2x-1,y=-5x2+2x+3两交点的直线方程.解析:由过抛物线y=2x2-2x-1,y=-5x2+2x+3两交点的曲线系:(2x2-2x-1-y)+(-5x2+2x+3-y)=0,即(2-5)x2+2(-1)x-(+1)y+3-1=0;令2-5=0=曲线系
4、:6x+7y-1=0过抛物线y=2x2-2x-1,y=-5x2+2x+3两交点的直线方程:6x+7y-1=0.原创问题:已知抛物线C1:y=2x2+3x-3,C2:y=-5x2+tx+-t.()求证:过抛物线C1与C2两交点的直线l过定点A;()过点A作斜率互为相反数的两直线与椭圆C:+=1分别交于异于点A的点M、N,求证:直线MN的斜率为定值.解析:()由y=2x2+3x-35y=10x2+15x-15;由y=-5x2+tx+-t2y=-10x2+2tx+-2t;由+得:7y=15x+2tx-2t2(x-1)t=7y-15x+直线l过定点A(1,);()设M(x1,y1),N(x2,y2),
5、直线MN:y=kx+t;由(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=0x1+x2=-,x1x2=;由kAM+kAN=0+=0+=02kx1x2+(t-k)(x1+x2)-(2t-3)=0-(t-k)-(2t-3)=08k(t2-3)-8kt(t-k)-(2t-3)(3+4k2)=06(2k-1)t+12k2-24k+9=06(2k-1)t+3(2k-1)(2k-3)=0k=为定值.例2:过曲线交点的圆系. 174 第21讲:曲线系理论及其应用 始源问题:(2019年新课程高考试题)设00tan0c(81-48);f(t)的极小值=f(-2-)(t2+4t+1=0t2=-4t-1)=16c-4
6、8-810c(81+48);f(4)的极小值=16c-16180c18.综上,c(81-48),(8148);()由过抛物线C1:y2=4x与y=x2-2x+c交点的曲线系:(x2-2x+c-y)+(y2-4x)=0,即x2+y2-2(1+2)x-y+c=0;令=1曲线系:x2+y2-6x-y+c=0为圆这4交点共圆;圆的半径r=;由c(81-48),(81+48)r(0,例3:过两交点的圆系.始源问题:(2019年湖北高考试题)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.()求实数k的取值范围;()是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F
7、？若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.解析:()将y=kx+1代入2x2-y2=1中并化简整理得:(2-k2)x2-2kx-2=0,由已知得此方程有两个不小于的实根,解得:-2kb0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a.0)的直线与原点的距离为.()求椭圆C的方程;()已知直线y=kx+t与椭圆交于M、N两点,证明:对任意的t0,都存在k,使得以线段MN为直径的圆过定点.解析:()由直线AB:bx-ay-ab=0=;又由e=a2=3,b2=1椭圆C:+y2=1;()设过M、N两点的圆系方程为:x2+3y2-3+(kx-y+t)(kx+y+s)=0,即(1+k2)x2+(3-)y2+k
8、(t+s)x+(t-s)y+ts-3=0(1+k2)=(3-)=圆系方程为:x2+y2+x+y+=0;由于MN是圆的直径,故圆心(-,-)在直线y=kx+t上s=2t圆系方程为:x2+y2+x-y+=0;令y=0得:x2+x+=03(x2-1)k2+6txk+4t2+x2-3=0;令x=1得:6tk+4t2-2k=-对任意的t0,都存在k=-,使得以线段MN为直径的圆过定点(1,0).例4:四点共圆.始源问题:(2019年全国高考试题)已知O为坐标原点,F为椭圆C:x2+=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-的直线l与C交于A、B两点,点P满足+=0.()证明:点P在C上;()设点P关于点O
9、的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.解析:()设A(x1,y1),B(x2,y2),由F(0,1)直线l:y=-x+1,代入x2+=1得4x2-2x-1=0x1+x2=y1+y2=-(x1+x2)+2=1;由+=0=(-(x1+x2),-(y1+y2)=(-,-1)点P(-,-1)点P在C上;()(法一)直线l:y=-x+1,P(-,-1),Q(,1),过直线l与椭圆C交点的曲线系:2x2+y2-2+(x+y-1)(x-y+t)=0(2+2)x2+(1-)y2+(t-1)x+(t+1)y-t-2=0,由该曲线为圆2+2=1-=-圆的方程为:4x2+4y2-(t-1)x-(t+1)
10、y+t-6=0,若点P(-,-1)在该圆上t=0圆的方程为:4x2+4y2+x-y-6=0点Q(,1)在该圆上;(法二)直线l:y=-x+1,直线PQ:x-y=0,过直线l、PQ与椭圆C交点的曲线系:2x2+y2-2+(x+y-1)(x-y)=0(2+2)x2+(1-)y2-x+y-2=0,当=-时,曲线系:4x2+4y2+x-y-6=0为圆A、P、B、Q四点在同一圆上.原创问题:设A,B是椭圆3x2+y2=上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C,D两点.()确定的取值范围,并求直线AB的方程; 176 第21讲:曲线系理论及其应用 ()试判断是否存在这样
11、的,使得A,B,C,D四点在同一个圆上?并说明理由.解析:()3+912,直线AB:3x+3y=3+9x+y-4=0;()过直线AB、CD与椭圆C交点的曲线系:3x2+y2-+t(x+y-4)(x-y+2)=0(3+t)x2+(1-t)y2-2tx+6ty-8t-=0曲线系为圆t=-1圆的方程为:2x2+2y2+2x-3y+8-=0A,B,C,D四点在同一个圆上.例5:四点共圆的条件.始源问题:(1993年全国高中数学联赛试题)设0ab0)的左、右焦点,P是椭圆C上的任意一点,且的最大值是3,最小值是2.()求椭圆C的方程;()过两点F1和A(1,1)分别引直线l和m,使与椭圆C有四个不同的交
12、点.当这四个交点共圆时,求直线l与m的交点Q的轨迹方程.解析:()设P(acos,bsin),F1(-c,0),F2(c,0),其中a2=b2+c2,则=(acos+c)(acos-c)+b2sin2=a2cos2-c2+b2sin2=a2(1-sin2)-c2+b2sin2=(a2-c2)-(a2-b2)sin2=b2-c2sin2b2=3,b2-c2=2c2=1a2=4椭圆C:+=1;()设直线l:k1x-y+k1=0,直线m:k2x-y+1-k2=0,过这四点的曲线系:3x2+4y2-12+(k1x-y+k1)(k2x-y+1-k2)=0(3+k1k2)x2-(k1+k2)xy+(4+)
13、y2+k1x-(1+k1-k2)y+k1(1-k2)=0;该曲线系为圆3+k1k2=4+,(k1+k2)=0=,k1+k2=0;此时,由k1x-y+k1=0,k2x-y+1-k2=0(k1-k2)x+(k1+k2)-1=0x=y=k1+x(y-)=.例6:圆的双切线方程.始源问题:(2019年全国高中数学联赛试题)如图,P是抛物线y2=2x上的动点,点B,C在y轴上,圆(x-1)2+y2=1内切于PBC,求PBC面积的最小值.解析:由抛物线的对称性知,不妨设P(2t2,2t)(t0),圆(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0双切线PB与PC的方程为:4t4(x2+y2-2x)-2t2x
14、+2ty-(x+2t2)2=0,令x=0得:4t4y2-(2ty-2t2)2=0(t0)(ty)2=(y-t)2.因为当t=1时,只有切线PB与y轴相交;当0t1,且yB=,yC=|BC|=|yB-yC|=SPBC=|BC|xP|=22+(t2-1)+8.当且仅当t=时,等号成立.原创问题:设P是抛物线C1:x2=4y上的点.过点P做圆C2:x2+(y+1)2=1的两条切线,交直线l:y=-1于A,B两点.()若抛物线C1在P处的切线l1分别与x、y轴交于点M、N,求证:M是PN的中点;()是否存在点P,使线段AB被抛物线C1在点P处的切线l1平分？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由
15、. 第21讲:曲线系理论及其应用 177 解析:()设P(2t,t2),则抛物线C1在P处的切线l1:2tx=2(y+t2),即y+t2=txM(t,0),N(0,-t2)M是PN的中点;()圆C2:x2+y2+2y=0双切线PA与PB的方程为:(t4+6t2)(x2+y2+2y)-2tx+t2y+y+t22=0;令y=-1得:(t4+6t2)(x2-1)-(2tx-1)2=0(t4+2t2)x2+4tx-(t4+6t2+1)=0xA+xB=-=-AB的中点为(-,-1);线段AB被抛物线C1在点P处的切线l1平分点(-,-1)在y+t2=tx直线上-1+t2=-t=0,矛盾.不存在.例7:椭
16、圆合成的二次曲线分解为直线.始源问题:(2019年四川高考试题)椭圆有两顶 y点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l D与椭圆交与C、D两点,并与x轴交于点P.直线 CAC与直线BD交于点Q. A O B P x()当|CD|=时,求直线l的方程; ()当点P异于A、B两点时,求证:为定值.解析:()椭圆x2+=1,设直线l:y=kx+1,由(2+k2)x2+2kx-1=0|CD|=k=直线l:y=x+1;()设直线AC:y-k1x-k1=0,直线BD:y-k2x+k2=0则过A,B,C,D四点的曲线系:2x2+y2-2+(y-k1x-k1)(y-k2x+k2)=0(2+
17、k1k2)x2+(1+)y2-(k1+k2)xy-(k1-k2)y-k1k2-2=0;该曲线系变为直线AB与CD2+k1k2=0,此时曲线系:y(1+)y-(k1+k2)x-(k1-k2)=0直线CD:(1+)y-(k1+k2)x-(k1-k2)=0xP=;又由直线AC:y-k1x-k1=0,直线BD:y-k2x+k2=0k1xQ+k1=k2xQ-k2xQ=xPxQ=1.原创问题:已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率e=,长轴的左、右端点分别为A(-2,0)、B(2,0).()求椭圆C的方程;()设直线x=ky+1与椭圆C交于M、N两点,求证:直线AM与BN的交点P在定直线上.解析:()由e=
18、;又由a=2b2=3椭圆C:+=1;()设P(x,y),直线PA:y-k1x-2k1=0,直线PB:y-k2x+2k2=0过A、M、B、N四点的二次曲线系:3x2+4y2-12+(y-k1x-2k1)(y-k2x+2k2)=0(3+k1k2)x2-(k1+k2)xy+(4+)y2+2(k2-k1)y-4k1k2-12=0;该曲线系变为直线AB与MN3+k1k2=0,此时曲线系:y(k1+k2)x-(4+)y-2(k2-k1)=0直线MN:(k1+k2)x-(4+)y-2(k2-k1)=0;由直线MN过点(1,0)k1+k2=2(k2-k1)+=2(-)x=4点P在定直线x=4上.例8:双曲线合
19、成的二次曲线分解为直线.始源问题:(2019年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设点A(-1,0),B(1,0),C(2,0), y PD在双曲线x2-y2=1的左支上,DA,直线CD交双曲线x2-y2=1的右支于点E,求证:直线AD与BE的交点P在直线x=上. A B C x解析:设P(x0,y0),直线AD:y-k1x-k1=0,直线BE:y-k2x+k2=0,过A,B,E,D四点的曲 D线系:x2-y2-1+(y-k1x-k1)(y-k2x+k2)=0(1+k1k2)x2+(-1)y2-(k1+k2)xy-(k1-k2)y-k1k2-1=0,该曲线变为直线AB 178 第21讲:曲线系理论及
20、其应用 与CD1+k1k2=0直线CD:(-1)y-(k1+k2)x-(k1-k2)=0,由直线CD过点C(2,0)3k1+k2=0,x=.原创问题:已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率e=,实轴的左、右端点分别为A(-3,0)、B(3,0).()求双曲线C的方程;()设直线x=ky+3与双曲线C交于M、N两点,求证:直线AM与BN的交点P在定直线上.解析:()由a=3,e=c=5b=4双曲线C:-=1;()设P(x,y),直线PA:y-k1x-3k1=0,直线PB:y-k2x+3k2=0过A、M、B、N四点的二次曲线系:16x2-9y2-144+(y-k1x-3k1)(y-k2x+3k2)=0(16+k1k2)x2-(k1+k2)xy+(-9)y2+3(k2-k1)y-9k1k2-144=0;该曲线系变为直线AB与MN3+k1k2=0,此时曲线系:y(k1+k2)x-(-9)y-3(k2-k1)=0直线MN:(k1+k2)x-(-9)y-3(k2-k1)=0;由直线MN过点(3,0)k1+k2=k2-k1+=-x=3点P在定直线x=3上.第 12 页