17两个重要极限练习题.doc

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1、1-7 两个重要极限练习题 教学过程：引入：考察极限问题1：观察当x0时函数的变化趋势：x(弧度)0.500.100.050.040.030.02.0.95850.99830.99960.99970.99980.9999.当x取正值趋近于0时，1，即=1； 当x取负值趋近于0时，-x0, -x0, sin(-x)0于是综上所述，得 一 的特点： (1)它是“”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是； (2)在分式中同时出现三角函数和x的幂 推广如果j(x)=0,(a可以是有限数x0, 或)，则=1例1 求 解=例2 求 解=例3 求 解=例4 求解令arcsinx=t，则x=sint且

2、x0时t0所以=例5 求 解= 考察极限问题2：观察当x+时函数的变化趋势：x121.22.252.5942.7172.71812.71822.71828.当x取正值并无限增大时，是逐渐增大的，但是不论x如何大，的值总不会超过3实际上如果继续增大x即当x+时，可以验证是趋近于一个确定的无理数e2.718281828. 当x-时，函数有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e综上所述，得 二=e=e的特点：（）lim(1+无穷小) ；（）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数 推广（）若j(x)= ,(a可以是有限数x0, 或)，则 =e；（）若j(x)=0,(a可以是有限数x0, 或)，则

3、=e 变形令=t，则x时t0，代入后得到 如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1，因此通常称之为1不定型例6 求解令=t，则x=当x时t0，于是=e 2例7 求解令=1+u，则x=2当x时u0，于是=e -1例8 求解设t=tanx，则cotx当x0时t0，于是=e小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。作业：见首页2-1 导数的概念教学过程：引入：一、两个实例 实例1 瞬时速度 考察质点的自由落体运动真空中，质点在时刻t=0到时刻t这一时间段内下落的路程s由公式s=gt2来确定现在来求t=1秒这一时刻质点的速度当Dt很小时，从1秒到1+Dt秒这段时

4、间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平均速度作为质点在t=1时速度的近似 Dt (s)Ds(m)(m/s)0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.9.800049 上表看出，平均速度随着Dt变化而变化，当Dt越小时，越接近于一个定值9.8m/s考察下列各式： Ds=g(1+Dt)2g12=g2Dt+(Dt)2， =g=g(2+Dt)， 思考： 当Dt越来越接近于0时，越来越接近于1秒时的“速度”现在取Dt0的极限，得 g=9.8(m/s)为质点在=1秒时速度为瞬

5、时速度一般地，设质点的位移规律是s=f(t)，在时刻t时时间有改变量Dt，s相应的改变量为Ds=f(t+Dt)-f(t)，在时间段t到t+Dt内的平均速度为对平均速度取Dt0的极限，得 v(t)=，称v(t)为时刻t的瞬时速。研究类似的例子实例2 曲线的切线设方程为y=f(x)曲线为L其上一点A的坐标为(x0,f(x0)在曲线上点A附近另取一点B，它的坐标是(x0+Dx, f(x0+Dx)直线AB是曲线的割线，它的倾斜角记作b由图中的RtDACB，可知割线AB的斜率 f(x0+Dx)xyOABx0x0+Dxf(x0)TCbatanb=在数量上，它表示当自变量从x变到x+Dx时函数f(x)关于变

6、量x的平均变化率(增长率或减小率)现在让点B沿着曲线L趋向于点A，此时Dx0，过点A的割线AB如果也能趋向于一个极限位置直线AT，我们就称L在点A处存在切线AT记AT的倾斜角为a，则a为b的极限，若a90，得切线AT的斜率为 tana= tanb=在数量上，它表示函数f(x)在x处的变化率上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y=f(x)和自变量x具体内容不同，但本质都是要求函数y关于自变量x在某一点x处的变化率 1. 自变量x作微小变化Dx，求出函数在自变量这个段内的平均变化率=，作为点x处变化率的近似； 2. 对求Dx0的极限，若它存在，这个极限即为点x处变化率的的精确值二、导数的定义 1.

7、 函数在一点处可导的概念 定义 设函数y=f(x)在x0的某个邻域内有定义对应于自变量x在x0处有改变量Dx，函数y=f(x)相应的改变量为Dy=f(x0+Dx)-f(x0)，若这两个改变量的比当Dx0时存在极限，我们就称函数y=f(x)在点x0处可导，并把这一极限称为函数y=f(x)在点x0处的导数(或变化率)，记作或f(x0)或或即 =f(x0)= (2-1) 比值表示函数y=f(x)在x0到x0+Dx之间的平均变化率，导数则表示了函数在点x0处的变化率，它反映了函数y=f(x)在点x0处的变化的快慢 如果当Dx0时的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点x0处不可导或导数不存在在定义中

8、，若设x=x0+Dx，则(2-1)可写成 f(x0)= (2-2)根据导数的定义，求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤如下：第一步 求函数的改变量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)； 第二步 求比值； 第三步 求极限f(x0)= 例1 求y=f(x)=x2在点x=2处的导数 解 Dy=f(2+Dx)-f(2)=(2+Dx)2-22=4Dx+(Dx)2； =4+Dx； =(4+Dx)=4所以y|x=2=4 当存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x0处的左导数，记作；当存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x0处的右导数，记作据极限与左、右极限之间的关系 f(x0) 存在,，且= f(x

9、0) 2. 导函数的概念 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处都可导，就称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值x0都有对应着一个确定的导数f(x0)，这样就在开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f(x)的导函数，记作等f(x)或y等 根据导数定义，就可得出导函数 f(x)=y= (2-3)导函数也简称为导数注意（）f(x)是x的函数，而f(x0)是一个数值（）f(x)在点处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x0处的函数值 例2 求y=C (C为常数)的导数 解因为Dy=C-C=0，=0，所以y=0即 (C)=0

10、常数的导数恒等于零） 例3 求y=xn(nN, xR)的导数 解 因为Dy=(x+Dx)n-xn=nxn-1Dx+xn-2(Dx)2+.+(Dx)n， = nxn-1 +xn-2Dx+.+(Dx)n-1，从而有 y= nxn-1 +xn-2Dx+.+(Dx)n-1= nxn-1即 (xn)=nxn-1 可以证明，一般的幂函数y=xa, (aR, x0)的导数为 (xa)=a xa-1例如()=()=；()=(x-1)=-x-2=- 例4 求y=sinx, (xR)的导数 解=，在1-7中已经求得 =cosx，即 (sinx)=cosx 用类似的方法可以求得y=cosx, (xR)的导数为 (c

11、osx)=-sinx 例5 求y=logax的导数(a0, a1, x0) 解对a=e、y=lnx的情况，在1-7中已经求得为 (lnx)=对一般的a，只要先用换底公式得y=logax=，以下与1-7完全相同推导，可得 (logax)=三、导数的几何意义 方程为y=f(x)的曲线，在点A(x0,f(x0)处存在非垂直切线AT的充分必要条件是f(x)在x0存在导数f(x0)，且AT的斜率k=f(x0) 导数的几何意义函数y=f(x)在x0处的导数f(x0)，是函数图象在点(x0,f(x0)处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为 y-f(x0)=f(x0)(x-x0) (2-4) 过切点A

12、 (x0,f(x0)且垂直于切线的直线，称为曲线y=f(x)在点A (x0,f(x0)处的法线，则当切线非水平(即f(x0)0)时的法线方程为 y-f(x0)=-(x-x0) (2-5) 例6 求曲线y=sinx在点(,)处的切线和法线方程解（sinx）=cosx=所求的切线和法线方程为y=(x)，法线方程y=(x) 例7 求曲线y=lnx平行于直线y=2x的切线方程 解设切点为A(x0, y0)，则曲线在点A处的切线的斜率为y(x0)， y(x0)=(lnx)=，因为切线平行于直线y=2x，所以=2，即x0=；又切点位于曲线上，因而y0=ln=-ln2故所求的切线方程为 y+ln2=2(x-

13、)，即y=2x-1-ln2四、可导和连续的关系 如果函数y=f(x)在点x0处可导，则存在极限 =f(x0)，则=f(x0)+a (a=0)，或Dy= f(x0) Dx+aDx (a=0)，所以 Dy=f(x0) Dx+aDx=0这表明函数y=f(x)在点x0处连续但y=f(x)在点x0处连续，在x0处不一定是可导的例如：（）y=|x|在x=0处都连续但却不可导xyOy=|x|（）y=在x=0处都连续但却不可导注意在点(0,0)处还存在切线，只是切线是垂直的1xyOy=-1-11 学生思考： 设函数f(x)=，讨论函数f(x)在x=0处的连续性和可导性 小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化

14、率。 作业：见首页42换元积分法教学过程复习引入1 不定积分的概念； 2 不定积分的基本公式和性质。新课：一、第一类换元积分法例如：，积分基本公式中只有：=sinx+C为了应用这个公式，可进行如下变换：u=2x回代令2x=u sinu+C sin2x+C,因为(sin2x+C)=cos2x，所以=sin2x+C是正确的定理1设f(u)具有原函数F(u)，j(x)是连续函数，那么 =Fj(x)+C证明思路 因为F(u)是f(u)的一个原函数，所以F(u)=f(u)； 由复合函数的微分法得： d Fj(x)=F(u)j(x)dx=fj(x)j(x)dx，所以 =Fj(x)+C基本思想：作变量代换u

15、=j(x), (dj(x)= j(x)dx)，变原积分为，利用已知f(u)的原函数是F(u)得到积分，称为第一类换元积分法例1求, (a,b为常数)解 因为dx=d(ax+b)，所以令ax+b=u +Cu=ax+b回代 (ax+b)11+C例2求解 因为dx=d(lnx)，所以u=lnx回代令lnx=u 原式= u2+C (lnx)2+C例3求解 因为xdx=d(x2)，所以u=x2回代令x2=u 原式= =eu+C +C例4求令a2-x2=u解 因为xdx=d(x2)=d(a2-x2)，所以 原式= = +Ca2-x2=u回代 +C学生思考：求第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部

16、分，一部分为dj(x)，另一部分为j(x)的函数fj(x)，且f(u)的原函数易于求得因此，第一类换元积分法又形象化地被称为凑微分法常用微分式： dx=d(ax)； xdx=d(x2)； dx=d(ln|x|)； dx=2d()； dx=d()； dx=d(arctanx)； dx=d(arcsinx)； exdx=d(ex)； sinxdx=d(cosx)； cosxdx=d(sinx)； sec2xdx=d(tanx)； csc2xdx=-d(cotx)； secxtanxdx=d(secx)； cscxcotxdx=d(cscx)例6求解 原式= 例7求, (a0)解 原式=例8求解 原式=例9求, (常数a0)解 原式=例10求解 原式=ln|cosx|+C类似可得：=ln|sinx|+C例11求解原式=，利用例9的结论得原式=+C=ln|secx+tanx|+C类似可得：=ln|cscx-cotx|+C学生思考：1求2求 3求4求教师讲评小结 第一类换元积分法关键是凑微分，基本的凑微分方法要掌握。作业 见首页高等数学典型教案淮安信息职业技术学院数学教研室第 15 页