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1、1-71-7 两个重要极限练习题两个重要极限练习题教学过程：x问题 1：观察当 x0 时函数的变化趋势：x0引入：考察极限limsinxx(弧度)0.500.95850.100.99830.050.99960.040.99970.030.99980.02.sinxx0.9999.sin x1，即sin x=1；limx 0 xx当 x 取负值趋近于 0 时，-x0,-x0,sin(-x)0于是sinxsin(x)lim limx0 x0 x(x)当 x 取正值趋近于 0 时，综上所述，得sinx1x0 xsinxlim1的特点：x0 x00(1)它是“”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的
2、结果是；00(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂一lim推广如果lim(x)=0,(a 可以是有限数 x0,或)，xa则lim例1求limxasinxsinx=lim=1x0 xxtanxx0 xsinxtanxsinx1sinx1解lim=limcosx lim limlim111x0 x0 x0 x0 x0 xxxcosxxcosxsin3xx0 xsin3x3sin3xsint解lim=lim(令3x t)3lim 3x0 x0t0 x3xt1cosx例3求limx0 x2例2求lim解lim1cosx=lim2x0 x0 x2sin2x2xxxxsin2sinsin2 lim2 l
3、im1221x0 x02xxx22()2222例4求limarcsinxx0 x解令 arcsinx=t，则 x=sint 且 x0 时 t0所以limarcsinxt=lim1x0t0 xsinttanx sinx例5求limx0 x3sinx1cosxsinxsinx tanx sinxcosx解lim=limcosx3 lim33x0 x0 x0 xxx=limsinx11cosx1limlim2x0 x0 x0 xcosx2x1考察极限lim(1)x exx问题 2：观察当 x+时函数的变化趋势：x1222.25102.59410002.717100002.71811000002.71
4、821000002.71828.1(1)xx11当 x 取正值并无限增大时，(1)x是逐渐增大的，但是不论 x 如何大，(1)x的值xx1总不会超过 3实际上如果继续增大 x即当 x+时，可以验证(1)x是趋近于一个确x定的无理数 e2.718281828.1当 x-时，函数(1)x有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于ex综上所述，得二lim(11)x=exxxlim(11x)=ex的特点：无穷大案（）lim(1+无穷小)；（）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数xa推广（）若lim(x)=,(a 可以是有限数 x0,或)，则lim(1xa1(x)1)lim1x(x)(x)(x)=e；
5、（）若lim(x)=0,(a 可以是有限数 x0,或)，则xalim1xxa1(x)limx01x1(x)=e11=t，则 x时 t0，代入后得到lim1tt et0 x如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1，因此通常称之为 1不定型变形令2例6求lim(1)xxx解令22=t，则 x=xt21当 x时 t0，2于是lim(1)x=lim(1 t)tlim(1 t)t2=e 2t0t0 xx3 xx例7求lim()x2 x3 x1解令=1+u，则 x=22 xu当 x时 u0，23 xx于是lim()=lim(1u)u lim(1u)u(1u)2u0u0 x2 x11=lim(
6、1u)1lim(1u)2=e-1u0u01u例8求lim(1 tanx)cotxx0解设 t=tanx，则当 x0 时 t0，于是lim(1 tanx)x01cotxt1tcotx=lim(1t)=et0小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。作业：见首页2-2-1 1 导数的概念导数的概念教学过程：教学过程：引入：引入：一、两个实例一、两个实例实例实例 1 1瞬时速度瞬时速度考察质点的自由落体运动真空中，质点在时刻t=0 到时刻 t 这一时间段内下落的路程12gt 来确定现在来求 t=1 秒这一时刻质点的速度2当t 很小时，从1 秒到 1+t 秒这段时间内，质点运
7、动的速度变化不大，可以这段时间内的平均速度作为质点在t=1 时速度的近似s 由公式 s=t(s)0.10.010.0010.00010.00001上表看出，平均速度9.8m/s考察下列各式：s=s(m)1.0290.098490.00980490.0009800490.00009800049s(m/s)t10.299.8499.80499.800499.800049ss随着t 变化而变化，当t 越小时，越接近于一个定值tt111g(1+t)2g12=g2t+(t)2，222s12t (t)21=g=g(2+t)，tt22s思考：当t 越来越接近于 0 时，越来越接近于 1 秒时的“速度”现在取
8、t0 的极t限，得s1 limg2tg=9.8(m/s)0t02为质点在t=1 秒时速度为瞬时速度瞬时速度lim一般地，设质点的位移规律是 s=f(t)，在时刻 t 时时间有改变量t，s 相应的改变量为s=f(t+t)-f(t)，在时间段 t 到 t+t 内的平均速度为v=sft t ft，tt对平均速度取t0 的极限，得sft t ft，limt0tt0t称 v(t)为时刻 t 的瞬时速。瞬时速。研究类似的例子研究类似的例子实例实例 2 2曲线的切线曲线的切线设方程为 y=f(x)曲线为 L其上一点 A 的坐标为(x0,f(x0)在曲线上点 A 附近另取一点B，它的坐标是(x0+x,f(x0
9、+x)直线 AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作由图中的v(t)=limRtACB，可知割线 AB 的斜率CByfx0 x fx0tan=ACxx在数量上，它表示当自变量从x 变到 x+x 时函数 f(x)关于变量 x 的平均变化率(增长率或减小率)现在让点 B 沿着曲线 L 趋向于点 A，此时x0，过点 A 的割线 AB 如果也能趋向于一个极限位置直线 AT，我们就称 L 在点 A 处存在切线切线 AT记 AT的倾斜角为，则为的极限，若90，得切线 AT的斜率为tan=limtan=limx0yf(x0+x)Bf(x0)OAx0TCxx0+xf(x0 x)f(x0)y limx0 xx0 x在
10、数量上，它表示函数f(x)在 x 处的变化率上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y=f(x)和自变量 x 具体内容不同，但本质都是要求函数 y 关于自变量 x 在某一点 x 处的变化率1.自变量 x 作微小变化x，求出函数在自变量这个段内的平均变化率y=x 处变化率的近似；2.对y求x0 的极限limy，作为点xy，若它存在，这个极限即为点x 处变化率的的精确值x0 x二、导数的定义二、导数的定义1.1.函数在一点处可导的概念函数在一点处可导的概念定义定义设函数 y=f(x)在 x0的某个邻域内有定义对应于自变量x 在 x0处有改变量x，函数 y=f(x)相应的改变量为y=f(x0+x)-f(
11、x0)，若这两个改变量的比yfx0 x fx0 xx当x0 时存在极限，我们就称函数 y=f(x)在点 x0处可导可导，并把这一极限称为函数 y=f(x)df(x)dy在点 x0处的导数导数(或变化率或变化率)，记作y|xx0或 f(x0)或或即xx0 xx0dxdxy|xx0=f(x0)=lim比值f(x0 x)f(x0)y(2-1)limx0 xx0 xy表示函数 y=f(x)在 x 到 x+x 之间的平均变化率，导数y|00 xx0则表示了函数x在点 x0处的变化率，它反映了函数y=f(x)在点 x0处的变化的快慢如果当x0时y的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点x0处不可导或导数
12、不存在不可导或导数不存在x在定义中，若设 x=x0+x，则(2-1)可写成xx0f(x0)=limfx fx0(2-2)x x0根据导数的定义，求函数y=f(x)在点 x0处的导数的步骤如下：第一步求函数的改变量y=f(x0+x)-f(x0)；第二步求比值yf(x0 x)f(x0)；xx第三步求极限 f(x0)=limyx0 x例 1求 y=f(x)=x2在点 x=2 处的导数解y=f(2+x)-f(2)=(2+x)2-22=4x+(x)2；y4x x2y=4+x；limlim(4+x)=4x0 xxxx0所以 y|x=2=4当limfx0 x fx0存在时，称其极限值为函数 y=f(x)在点
13、 x0处的左导数左导数，记作x0 x f(x0)；当limf x0 x f x0存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点 x0处的右导数右导数，x0 x(x0)记作f据极限与左、右极限之间的关系(x0),f(x0)，且f(x0)=f(x0)=f(x0)f(x0)存在f2.2.导函数的概念导函数的概念如果函数如果函数 y y=f f(x x)在开区间在开区间(a a,b b)内每一点处都可导，内每一点处都可导，就称函数就称函数 y y=f f(x x)在开区间在开区间(a a,b b)内可内可导导这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值 x0都有对应着一个确定的导数f(x0)，这样就在开区间(a
14、,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为 f(x)的导函数导函数，记作等 f(x)或 y等根据导数定义，就可得出导函数yfx x fxf(x)=y=lim(2-3)limx0 xx0 x导函数也简称为导数注意（）f(x)是 x 的函数，而 f(x0)是一个数值（）f(x)在点处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在点 x0处的函数值例 2求 y=C(C 为常数)的导数yy0解因为y=C-C=0，=0，所以 y=lim=0 x0 xxx即(C)=0 常数的导数恒等于零）常数的导数恒等于零）例 3求 y=xn(nN N,xR R)的导数解因为y=(x+x)n-xn=nxn-1x+Cn2
15、xn-2(x)2+.+(x)n，y=nxn-1+Cn2xn-2x+.+(x)n-1，xy从而有y=lim=lim nxn-1+Cn2xn-2x+.+(x)n-1=nxn-1x0 xx0即(xn)=nxn-1可以证明，一般的幂函数y=x,(R,x0)的导数为(x)=x-1111111例如(x)=(x2)=x2；()=(x-1)=-x-2=-2x2x2 x例 4求 y=sinx,(xR R)的导数y=sin(x x)sinx，在1-7 中已经求得xxy=cosx，limx0 x解即(sinx)=cosx用类似的方法可以求得y=cosx,(xR R)的导数为(cosx)=-sinx例 5求 y=lo
16、gax 的导数(a0,a1,x0)解对 a=e、y=lnx 的情况，在1-7 中已经求得为(lnx)=1xlnx，以下与1-7 完全相同推导，可得lna对一般的 a，只要先用换底公式得 y=logax=(logax)=1x lna三、导数的几何意义三、导数的几何意义方程为方程为 y y=f f(x x)的曲线，在点的曲线，在点 A A(x x0 0,f f(x x0 0)处存在非垂直切线处存在非垂直切线 ATAT 的充分必要条件是的充分必要条件是 f f(x x)在在 x x0 0存在导数存在导数 f f(x x0 0)，且，且 ATAT 的斜率的斜率 k=f f(x x0 0)导数的几何意义
17、函数 y=f(x)在 x0处的导数 f(x0)，是函数图象在点(x0,f(x0)处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)(2-4)过切点 A(x0,f(x0)且垂直于切线的直线，称为曲线y=f(x)在点 A(x0,f(x0)处的法线法线，则当切线非水平(即 f(x0)0)时的法线方程为1y-f(x0)=-(x-x0)(2-5)f(x0)例 6求曲线 y=sinx 在点(解（sinx）=cosx,1)处的切线和法线方程6 2=x6x63231=(x)，2262 31法线方程y=(x)326例 7求曲线 y=lnx 平行于直线 y=2x 的切线方程解设切
18、点为 A(x0,y0)，则曲线在点 A 处的切线的斜率为 y(x0)，1y(x0)=(lnx)xx0=，x0111因为切线平行于直线 y=2x，所以=2，即 x0=；又切点位于曲线上，因而 y0=ln=-ln222x0所求的切线和法线方程为y故所求的切线方程为1)，即 y=2x-1-ln22四、可导和连续的关系四、可导和连续的关系如果函数 y=f(x)在点 x0处可导，则存在极限y+ln2=2(x-limx0y=f(x)，则y=f(x)+(00lim=0)，或y=f(x0)x+x(lim=0)，x0 x0 xxx0所以limy=limf(x0)x+x=0 x0这表明函数 y=f(x)在点 x0
19、处连续但 y=f(x)在点 x0处连续，在 x0处不一定是可导的例如：（）y=|x|在 x=0 处都连续但却不可导yy=|x|xO（）y=3x在 x=0 处都连续但却不可导注意在点(0,0)处还存在切线，只是切线是垂直的学生思考：学生思考：y1-1y=3xxO1-1x2,x 0设函数 f(x)=，讨论函数 f(x)在 x=0 处的连续性和可导性x 1,x 0小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化率。作业：见首页 4 42 2换元积分法换元积分法教学过程教学过程复习引入复习引入1 1 不定积分的概念；不定积分的概念；2 2 不定积分的基本公式和性质。不定积分的基本公式和性质。新课：一、第一类换
20、元积分法新课：一、第一类换元积分法例如：cos2xdx，积分基本公式中只有：cosxdx=sinx+C为了应用这个公式，可进行如下变换：1令 2x=ucos2xdx cos2x d(2x)2u=2x 回代11cosudu sinu+C221sin2x+C,211因为(sin2x+C)=cos2x，所以cosxdx=sin2x+C 是正确的22定理定理 1 1设 f(u)具有原函数 F(u)，(x)是连续函数，那么f(x)(x)dx=F(x)+C证明思路证明思路因为 F(u)是 f(u)的一个原函数，所以F(u)=f(u)；由复合函数的微分法得：d F(x)=F(u)(x)dx=f(x)(x)d
21、x，所以f(x)(x)dx=F(x)+C基本思想：作变量代换u=(x),(d(x)=(x)dx)，变原积分为f(u)du，利用已知f(u)的原函数是 F(u)得到积分，称为第一类换元积分法第一类换元积分法例例 1 1求(ax b)10dx,(a,b 为常数)1d(ax+b)，所以a11101111010令ax+b=u(ax b)dx(ax b)d(ax b)u du u+Ca11aau=ax+b 回代1(ax+b)11+C11alnx例例 2 2求dxx1解因为dx=d(lnx)，所以xu=lnx 回代1(lnx)2+Clnx=uudu 1u2+C原式=lnxd(lnx)令22解因为 dx=例
22、例 3 3求xexdx2解 因为 xdx=21d(x)，所以2原式=12x2e d(x)2令 x2=u11uuu=x2回代1x2+C=e+Ce due222例例 4 4求解因为 xdx=xa x22dx22211d(x)=d(a-x)，所以221原式=21a x22令 a2-x2=ud(a2 x2)121udu=u+Ca2 x2+Ca2-x2=u 回代sinxdx21cos x第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部分，一部分为 d(x)，另一部分为(x)的函数 f(x)，且 f(u)的原函数易于求得因此，第一类换元积分法又形象化地被称为凑微分法凑微分法常用微分式：211dx=d(ax
23、)；xdx=d(x)；2a1dx=d(ln|x|)；1dx=2d(x)；xx学生思考：学生思考：求111dx=d()；dx=d(arctanx)；22xx1 x1dx=d(arcsinx)；exdx=d(ex)；1 x2 sinxdx=d(cosx)；cosxdx=d(sinx)；22 sec xdx=d(tanx)；cscxdx=-d(cotx)；secxtanxdx=d(secx)；cscxcotxdx=d(cscx)11例例 6 6求2cosdxxx111解 原式=cosd()sinCxxx例例 7 7求1a x22dx,(a0)解 原式=a1x21(a)dx xxd()arcsinCa
24、1(x)2aa1例例 8 8求1dx22a x解 原式=1a2例例 9 9求111x1xdx d()arctan()C1(x)2x2a1(a)aaaa1dx,(常数 a0)a2 x2111111解 原式=()dx d(a x)d(a x)2aa xa x2aa xa x1a x =ln|C2aa x例例 1010求tanxdx解 原式=sin x1dx d(cosx)=ln|cosx|+Ccosxcosx类似可得：cotxdx=ln|sinx|+C例例 1111求secxdx1d(sinx)d(sinx)dx 1sin2x，cosxcos2x利用例 9 的结论得11sinx11sinx2原式=ln|C ln()+C=ln|secx+tanx|+C21sinx2cosx解原式=类似可得：cscxdx=ln|cscx-cotx|+C学生思考：学生思考：1 1求sin2xdx2 2求sin3xdx3 3求cos3x cos2xdx4 4求1 lnxdxx lnx教师讲评小结第一类换元积分法关键是凑微分，基本的凑微分方法要掌握。作业见首页高等数学典型教案淮安信息职业技术学院数学教研室