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1、19.2.2菱形的判定 导学案【学习目标】1理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力【学习重难点】菱形的两个判定方法【学习过程】一、 温故知新：1菱形的定义： 2.菱形的性质：边：_;_角：_;_对角线：_对称性： .二、学习新知：探究一： 如图，四边形是菱形吗？为什么？归纳：有一组邻边相等的平行四边形是菱形探究二：用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？通过探究，容易得到：对角线
2、 的平行四边形是菱形证明上述结论：探究三：李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？请你画一画。通过探究，容易得到： 的四边形是菱形证明上述结论：例1. 如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5 ，AC=8，DB=6求证:四边形ABCD是菱形.三、练习1.判断题，对的画“”错的画“”(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）(3).对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）(4).对角线相等的四边形是菱形（ ）2
3、.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？求证：（1）四边形ABCD是平行四边形(2) 过A作AEBC于E点, 过A作AFCD于F.用等积法说明BC=CD.(3) 求证：四边形ABCD是菱形.3.已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F求证：四边形AFCE是菱形4.如图，在四边形ABCD中，ABCD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点ABNPQMDC求证：MN与PQ互相垂直平分。5如图，四边形ABCD中，ABCD，AC平分BAD，CEAD交AB于E(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断ABC的形状，
4、并说明理由6如图，ABCD中，ABAC，AB1，BC对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F(1)证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数四、中考链接一、选择题1. （2019西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A、一组临边相等的四边形是菱形B、四边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D、每条对角线平分一组对角的平
5、行四边形是菱形故选B2. （2019莱芜）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD下列结论：EGFH，四边形EFGH是矩形，HF平分EHG，EG=（BCAD），四边形EFGH是菱形其中正确的个数是（）A、1B、2 C、3D、4故选C3.（2019湖南益阳）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于CD，则直线CD即为所求根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（）A矩形B菱形C正方形D等腰梯形故选：B4. (2019襄阳)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是()A
6、菱形B对角线互相垂直的四边形 C矩形D对角线相等的四边形故选D5.（2019清远）如图若要使平行四边形ABCD成为菱形则需要添加的条件是（ ）A.ABCD B.ADBC C.ABBC D. ACBD故选C二、填空题1. （2019贵港）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，ABC=60，则四边形ABCD的面积等于18cm22. （2019福建省三明市，14,4分）如图，ABCD中，对角形AC，BD相交于点O，添加一个条件，能使ABCD成为菱形你添加的条件是 （不再添加辅助线和字母）故答案为：AB=BC或ACBD等三、解答题1. （2019江苏镇
7、江常州）已知：如图，在梯形ABCD中，ABCD，BC=CD，ADBD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形解答：证明：ADBD，ABD是RtE是AB的中点，BE=AB，DE=AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），BE=DE，EDB=EBD，CB=CD，CDB=CBD，ABCD，EBD=CDB，EDB=EBD=CDB=CBD，BD=BD，EBDCBD （SAS ），BE=BC，CB=CD=BE=DE，菱形BCDE（四边相等的四边形是菱形）2. （2019新疆乌鲁木齐）如图，在平行四边形ABCD中，DAB60，AB2AD，点 E、F分别是CD的中点，过点A作AGBD，交CB的延长线于
8、点G（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明解答：证明：（1）四边形ABCD是平行四边形ABCD且ABCD，ADBC且ADBCE，F分别为AB，CD的中点，BEAB，DFCD，四边形DEBF是平行四边形在ABD中，E是AB的中点，AEBEABAD，而DAB60AED是等边三角形，即DEAEAD，故DEBE平行四边形DEBF是菱形（2）四边形AGBD是矩形，理由如下：ADBC且AGDB 四边形AGBD是平行四边形由（1）的证明知ADDEAEBE，ADEDEA60，EDBDBE30 故ADB90平行四边形AGBD是矩形3.（2019云南保山）如图，在
9、平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB，PFAD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 解答：解：是菱形理由如下：PEAB，PFAD，且PE=PF，AC是DAB的角平分线，DAC=CAE，四边形ABCD是平行四边形，DCAB，DCA=CAB，DAC=DCA，DA=DC，平行四边形ABCD是菱形4. （2019贵港）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD，BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若ABC=60，CE=2BE，试判断CDE的形状，并说明理由解答：（1）证明：如图，AE平分BAD，1=2
10、，AB=AD，AE=AE，BAEDAE，BE=DE，ADBC，2=3=1，AB=BE，AB=BE=DE=AD，四边形ABED是菱形（2）解：CDE是直角三角形如图，过点D作DFAE交BC于点F，则四边形AEFD是平行四边形，DF=AE，AD=EF=BE，CE=2BE，BE=EF=FC，DE=EF，又ABC=60，ABDE，DEF=60，DEF是等边三角形，DF=EF=FC，CDE是直角三角形5. （2019安顺）如图，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当B满足什么条件时，四边形ACEF
11、是菱形，并说明理由解答：（1）证明：由题意知FDC=DCA=90，EFCA，AEF=EAC，AF=CE=AE，F=AEF=EAC=ECA又AE=EA，AECEAF，EF=CA，四边形ACEF是平行四边形（2）当B=30时，四边形ACEF是菱形理由是：B=30，ACB=90，AC=，DE垂直平分BC，BE=CE，又AE=CE，CE=，AC=CE，四边形ACEF是菱形6. （2019西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DECA，AEBD（1）求证：四边形AODE是菱形；（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是矩形解答：解：（1）证明：矩
12、形ABCD，OA=OC，OD=OB，AC=BD，OA=OD，DECA，AEBD，四边形AODE是平行四边形，四边形AODE是菱形（2）DECA，AEBD，四边形AODE是平行四边形，菱形ABCD，ACBD，AOD=90，平行四边形AODE是矩形故答案为：矩形7. （2019临沂）如图，ABC中，AB=AC，AD、CD分別是ABC两个外角的平分线（1）求证：AC=AD；（2）若B=60，求证：四边形ABCD是菱形解答：证明：（1）AB=AC，B=BCA，AD平分FAC，FAD=B，ADBC，D=DCE，CD平分ACE，ACD=DCE，D=ACD，AC=AD；证明：（2）B=60，AB=AC， A
13、BC为等边三角形，AB=BC，ACB=60，FAC=ACE=120，BAD=BCD=120，B=D=60，四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，平行四边形ABCD是菱形8. （2019丽江市中考）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PEAB，PFAD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？解答：解：是菱形理由如下：PEAB，PFAD，且PE=PF，AC是DAB的角平分线，DAC=CAE，四边形ABCD是平行四边形，DCAB，DCA=CAB，DAC=DCA，DA=DC，平行四边形ABCD是菱形9. （2019浙江宁波）如图，在ABCD中，E、F
14、分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AGDB交CB的延长线于点G（1）求证：DEBF；（2）若G90，求证：四边形DEBF是菱形解答：证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，4C，ADCB，ABCD点E、F分别是AB、CD的中点，AEAB，CFCDAECF，ADECBF，3CBF，ADBCBD，2FBD，DEBF，（2）G90，四边形AGBD是矩形，ADB90，2+390，22+2318012，34DEAEBE，ABCD，DEBF，四边形DEBF是菱形10. （2019浙江衢州）如图，ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AEBC，过点D作DEAB，DE与AC、AE分别交于点O、
15、点E，连接EC（1）求证：AD=EC；（2）当BAC=Rt时，求证：四边形ADCE是菱形解答：（1）证明：DEAB，AEBC，四边形ABDE是平行四边形，AEBD，且AE=BD又AD是BC边上的中线，BD=CDAECD，且AE=CD四边形ADCE是平行四边形AD=CE（2）证明：BAC=Rt，AD上斜边BC上的中线，AD=BD=CD又四边形ADCE是平行四边形四边形ADCE是菱形11. （2019安顺）如图，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并
16、说明理由解答：（1）证明：由题意知FDC=DCA=90，EFCA，AEF=EAC，AF=CE=AE，F=AEF=EAC=ECA又AE=EA，AECEAF，EF=CA，四边形ACEF是平行四边形（2）当B=30时，四边形ACEF是菱形理由是：B=30，ACB=90，AC=AB，DE垂直平分BC，BE=CE，又AE=CE，CE=AB ，AC=CE，四边形ACEF是菱形12. （2019恩施）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PCCD与AE交于点P，QCBC与AF交于点Q求证：四边形APCQ是菱形解答：解：AC=AD，
17、AF是CD边上的中线，AFC=90，ACF+CAF=90，ACF+PCA=90，PCA=CAF，PCAQ，同理：APQC，四边形APCQ是平行四边形PECQFC，PC=QC，四边形APCQ是菱形13. （2019邵阳）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形（写出你添加的条件，不要求证明）解答：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形证明：连接AC、BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，EFAC，EF=AC，HGAC，HG=AC，GF=BD，EF=HG，EFHG，四边形EFGH是平行四边形（2）添加的条件是AC=BD第 9 页