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1、焦点三角形习题性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为性质二：椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中那么.证明：记，由椭圆的第一定义得在中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面积公式得：.同理可证，在椭圆0中，公式仍然成立. 性质三：椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中那么性质三证明：设那么在中，由余弦定理得： 命题得证。例1. 假设P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求的面积.例1解法一：在椭圆中，而记点P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：在中，由余弦定理得：配方，得：从而解法二：在椭圆中，而上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，假设，那么的面积为 A. B. C. D. 解：
2、设，那么，应选答案A.的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上. 假设P、是一个直角三角形的三个顶点，那么点P到轴的距离为 A. B. C. D. 或解：假设或是直角顶点，那么点P到轴的距离为半通径的长；假设P是直角顶点，设点P到轴的距离为h，那么，又，应选D.1. 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，那么的面积为 A. 20 B. 22 C. 28 D. 24 解：，.应选D.2. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当的面积为1时，的值为 A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 解：设，.应选A.3. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当的面积最大时，的值为 A. 0 B. 2 C
3、. 4 D. 解：，设， ，当的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，.故答案选D.4椭圆1的两个焦点为、，P为椭圆上一点，且，那么的值为 A1 B C D 解：，又，从而.故答案选C.5. 椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，的面积是20，且c/a=5/3，求椭圆的标准方程.解：设，那么. ，又，即.解得：.所求椭圆的标准方程为或.专题2：离心率求法：1假设椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，那么椭圆的离心率为()A. B. C. D.1.解析：选A.如下图，四边形B1F2B2F1为正方形，那么B2OF2为等腰直角三角形
4、，.2假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是()A. B. C. D.bac，又b2a2c2，4(a2c2)a2c22ac.3a22ac5c20.5c22ac3a20.5e22e30.e或e1(舍去)3假设椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，那么椭圆的离心率为_3.解析：依题意，得b3，ac1.又a2b2c2，解得a5，c4，椭圆的离心率为e. 答案：4.A为椭圆1(ab0)上的一个动点，直线AB、AC分别过焦点F1、 F2，且与椭圆交于B、C两点，假设当AC垂直于x轴时，恰好有|AF1|AF2|31，求该椭圆的离心率4.解：设|AF2|m，
5、那么|AF1|3m，2a|AF1|AF2|4m.又在RtAF1F2中，|F1F2|2m.e.5如下图，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率 5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c.那么焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，那么MF1F2为直角三角形在RtMF1F2中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2，即4c2b2|MF1|2.而|MF1|MF2|b2a，整理得3c23a22ab.又c2a2b2，所以3b2a.所以.e21， e.法二：设椭圆方程为1(ab0)，那么M(c，b)代入椭圆方程，得1，所以，所以，即e.椭圆中焦点三角形的性质及应用答案y F1 O F2 xP性质二离心率求法：