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1、?根底拓扑学试卷?试卷2一、 填空题每题2分，共20分1. 设为离散空间的子集, 那么_.2. 设为度量空间的子集, 假设, 那么准确表示与的关系的式子是_.3. 拓扑空间的每一个有限集是闭集当且仅当是_空间.4. 设为拓扑空间,为的子集, , 如果_, 那么称是的凝聚点.5. 点集拓扑学的中心任务是研究_.6. 对于拓扑空间的一个子空间, 与满足: .7. 设为满足第一可数公理的拓扑空间, 那么每一个有一个的邻域基具有如下特点:_.8. 设为拓扑空间的积空间, , 是紧拓扑空间, 那么每一个为_空间.9. 任何一族连通空间的积空间都是_空间.10. 一个拓扑空间的可分性定义为_.二、单项选择
2、题 (每题2分, 共20分)11. 设, 那么下面不正确的命题是 A. B. C. D. 12. 设为拓扑空间, , 那么下面不正确的命题是( )A. B. C. D. 13. 设为拓扑空间, 是中的收敛序列, 那么下面正确的命题是( )A. 对于任何拓扑空间, 的极限唯一.B. 假设是Hausdorff空间, 那么的极限唯一.C. 假设是第一可数的, 那么的极限唯一.D. 假设是正那么空间, 那么的极限唯一.14. 设集合, 那么下面不是上的拓扑的集族是( )A. B. C. D. 15. 设为拓扑空间, 下面不正确的命题是( )A. 假设是第二可数的, 那么是第一可数的.B. 假设是第二可
3、数的, 那么是可分的.C. 假设是可分的度量空间, 那么是Lindelf的.D. 假设是Lindelf的空间, 那么是可分的.16. 对任意集合, 下面命题正确的选项是( )A. 假设cardcard Y, 那么是的子集.B. 假设是的子集, 那么cardcard Y.C. 假设是的子集, 那么cardcard Y.D. 假设, 那么cardcard.17. 设为拓扑空间, 下面正确的命题是( )A. 假设是正规空间, 那么是空间.B. 假设是空间且正那么, 那么是空间.C. 假设是正那么空间, 那么是空间.D. 假设是完全正那么空间, 那么是空间.18. 设为拓扑空间, 是的子集, 下面不正
4、确的命题是( )A. 是列紧的当且仅当是序列紧的.B. 假设是序列紧的, 那么是可数紧的.C. 假设是可数紧的, 那么是列紧的.D. 假设是紧的, 那么是列紧的.19. 设, 为拓扑空间, 关于的积拓扑, 分别是到与的投射, 那么下面不正确的命题是( )A. 是积拓扑的一个基.B. 是积拓扑的一个子基.C. 是积拓扑的一个基.D. 是积拓扑的一个子基.20. 设为拓扑空间, 为实数空间, 那么为连续映射的充分必要条件是(). 对任意实数是的开集. 对任意实数, 集合是的开集. 对任意实数, 集合是的开集. 对任意实数是的闭集.三、简答题 (每题5分, 共20分)21. 证明维实数空间的每一个子空间都是可分空间.22. 证明:假设是空间, 那么是空间.23. 证明:在一维实数空间的子空间中, 是开集.24. 表达度量的定义.四、反例论证题 (此题10分)25. 举例说明存在这样的一个集合与上的两个拓扑与, 使得不是上的一个拓扑.五、论证题 (每题15分, 共30分)26. 证明:假设是空间中的紧集, 那么是闭集.27. 设为拓扑空间, 映射是一个满的连续开映射, 满足第二可数性公理, 那么也满足第二可数性公理. 请证明.第 4 页