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1、三角形内角与外交平分线定理一、内角平分线定理：如下图，AD是ABC的内角BAC的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC; 思路1：过C作角平分线AD的平行线。 证明1：过C作CEDA与BA的延长线交于E。 那么： BA/AE=BD/DC; BAD=AEC；两线平行，同位角相等 CAD=ACE；两线平行，内错角相等 BAD=CAD； AEC=ACE；等量代换 AE=AC； BA/AC=BD/DC 。 结论1：该证法具有普遍的意义。 引出三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。思路2：利用面积法来证明。 ：如图8-4乙所示，AD是ABC的内角BAC的平分线。 求证
2、： BA/AC=BD/DC 证明2：过D作DEAB于E，DFAC于F； BAD=CAD； DE=DF； BA/AC=SBAD/SDAC； 等高时，三角形面积之比等于底之比 BD/DC=SBAD/SABCDAC；同高时，三角形面积之比等于底之比 BA/AC=BD/DC 结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法。二、外角平分线定理：如下图，AD是ABC中BAC的外角CAF的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC 思路1：作角平分线AD的平行线。 证明1：过C作CEDA与BA交于E。那么：
3、 BA/AE=BD/DC DAF=CEA；两线平行，同位角相等 DAC=ECA；两线平行，内错角相等 DAF=DAC； CEA=ECA；等量代换 AE=AC； BA/AC=BD/DC 。 结论1：该证法具有普遍的意义。 引出三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段与相邻的两边应成比例思路2：利用面积法来证明。 ：如图8-5乙所示，AD是ABC内角BAC的外角CAF的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC. 证明2：过D作DEAC于E，DFBA的延长线于F； DAC=DAF； DE=DF； BA/AC=SBAD/DAC；等高时，三角形面积之比等于底之比 BD/DC=SBAD/DAC ；同高时，三角形面积之比等于底之比 BA/AC=BD/DC 结论2：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底与高。在该证法中，我们看BAD与DAC的面积时，先以BA与AC作底，而以DF、DE为等高。然后以BD与DC为底，而高是同高3如图，在ABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.图第 4 页